Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

носительно А веса г, обозначается через Yir(M, А). Так как

Кг

положительно,

то

теоремы

18.2.1 и 18.2.2 показывают,

что

группы

когомологий для

У с коэффициентами

в

пучке

ростков

голоморф­

ных сечений расслоения Ку равны

нулю

во всех

размерностях

=т^0,

если

г

2,

и

равны

нулю

во всех

размерностях

фп,

если

г

— 1 . Следовательно

(см. 20.5(13)),

11ДМ, Д )

=

0

для

г < - 1 ,

П 0 (М,

Д )

=

1,

П , ( М, Д) = £„,

( 6 )

1\(М,

Д )

=

% ( У , KY)

ДЛЯ

Г > 2 .

Здесь gn

— число

линейно

независимых

голоморфных

форм

сте­

пени п на

У =

М/А.

М

однородна,

Предположим

теперь, что

ограниченная

область

т. е. что'М допускает транзитивную группу

комплексно-аналитиче­

ских гомеоморфизмов. Классы Чженя cf

для

У можно предста­

вить

дифференциальными

формами,

так

что

любое

разбиение

я =

(/і, . . . , / р ) числа

п

определяет

дифференциальную

форму

Р(л)

степени

2п

и

типа

(п,п),

которая

представляет

класс кого­

мологий Cj{ . . . с/

. Так

как

М

однородно,

то

р*Р(л)

= s(n)

• V,

где

s(jt) — вещественное число,

зависящее только от М и

от

разбие­

ния

л, а

V — инвариантный

элемент

объема на

М

по

отношению

к метрике Бергмана

( Х и р ц е б р у х [5], §

2).

Т е о р е м а

22.2.1.

Пусть

Аі,

Аг — две

подгруппы

группы

1{М),

удовлетворяющие

условиям

(а) — (с),

о,- — объем

У,-

=

M/At

по от­

ношению

к метрике

Бергмана

на ограниченной

однородной

обла­

сти М, и пусть

с =

Vi/v2.

Тогда

%У (Yd =

с%у

( У 2 ) ,

П г

(Л*, А,) =

cTL (М,

А2)

для

г >

2.

Д о к а з а т е л'ь с т в о. Пусть

Si (л)

— числа Чженя с/

...с,

\Y Л

для

У Г , соответствующие разбиению

п. Тогда

(я) =

s (п) и* и

s i

(п)

—

cs2(л)

Для

всех

я =

0*1» •••» /'/>)•

мана — Роха показывают,

что указанная пропорциональность имеет

место для %y(Yi) и для П

Г (Л1, Д Г ) , г ^ 2.

еще и

симметрична,

т. е. что для любой точки

х є М

существует

комплексно-аналитический гомеоморфизм ох:

М-+М,

который

имеет

х в качестве

изолированной неподвижной

точки

и является

Т е о р е м а

22.2.2

( Б о р е л ь

[4]).

Пусть

М — ограниченная

од­

нородная

симметрическая

область,

и

пусть I (М) —группа

комп­

лексно-аналитических

гомеоморфизмов

для

М.

Тогда

I)

1(М)

содержит

подгруппу

А,

удовлетворяющую

условиям

( а ) . - ( с ) .

II)

Если

А

является

подгруппой

группы

1(М),

удовлетворяю­

щей

условиям

(а)

и

(Ь), то А

содержит

нормальную

подгруппу

конечного

индекса,

удовлетворяющую

условиям

(а) — (с).

З а м е ч а н и е .

В

рассматриваемом

случае

(а)

выполняется

тогда

и

только

тогда,

когда

Д — дискретная

подгруппа

группы

1{М),

а условие

(Ь)

эквивалентно компактности

1(М)/А ( Б о р е л ь

[4],

стр.

112).

22.3. Пусть

М — ограниченная

однородная симметрическая об­

ласть в С„. Тогда М разлагается

в произведение M = N\ X • • • X Ns

неприводимых

ограниченных

однородных

симметрических

обла­

стей Nh- Каждая из

областей Nk является факторпространством

N=G/H

некоторой

простой некомпактной группы Ли G с триви­

альным

центром

по

максимальной компактной

связной подгруппе

лексно-аналитически гомеоморфное

N ( Б о р е л ь

[1]). Полное

опи­

сание этой конструкции можно найти у Х е л г а с о н а

([1], стр. 321).

У Б о р е л я

и Х и р ц е б р у х а

([1], часть

1,

стр. 520)

пока­

зано, что каноническое одномерное расслоение

для

N'

отрица­

тельно в смысле Кодаиры (и,

следовательно,

N'

является

алгеб­

раическим

многообразием).

Пусть

е є

N cz N' — точка,

соответствующая

единичному

эле­

менту групп G, G'. По формуле Э. Картана тензор кривизны

в е,

вариантной

метрикой

на N

(см. X и р ц

е б р у х [5]).

Пусть

M' = N[X

как

XN'S и е =

(е1 . . . е в ) є

Af.

Тогда М

можно рассматривать

открытое подмножество

в

М', и инва­

действовать

на

М.

Тогда

М/Т

будет

[i-листным

накрытием

для

У =

М/А,

и

из

теоремы

Римана — Роха

следует,

что

Ху(М/Т)

=

= ІіуіУ(У).

В

силу

теоремы

22.3.1

и

упомянутых

выше

равенств

%(М')=

1 и с =

х(М)

%у(М/Т)

=

Пу(У)

=

п(У)Ху(М')

где

%(У)>0,

если

п четно,

и х ( ^ ) < 0 ,

если

п

нечетно. В

частно­

сти, если М есть произведение

многообразий

из списка

(5),

то п

четно

и т ( М / Г ) =

\аі{У)х{М')>

x(Y)->0,

т ( Л І ' ) > 0 .

Этим

спосо­

бом можно строить алгебраические многообразия М/Т

со

сколь

угодно большим

индексом.

U ( 3 ) / U ( 2 ) X U ( l ) =

Р 2 ( С ) .

Первый пример получим, взяв М' =

В этом случае

%{М')=

1 и

М

совпадает

с

открытым

единичным

шаром

В 2

cz С2 . Таким

образом,

существуют

алгебраические

по­

верхности

М/Т

со

сколь

угодно

большим

индексом. Это

опровер­

гает

одну

гипотезу

Ц а ' п п ы

[1].

Подробности

можно

найти

у А. Б о р е л я

[4].

Теоремой 22.3.1 можно воспользоваться также для вычисления

целых

чисел

ПГ (М, Л). Ввиду

(3)

предположим

г ^

2.

Для

про­

стоты

пусть

М — неприводимая

ограниченная

однородная

симмет­

рическая область. Тогда

М — одно

из

многообразий,

перечислен­

ных в

(4). Значения для Ur(M,

А) были

подсчитаны

Х и р ц е б р у -

х о м

[4, 5]

с

помощью

формул

для

%(-М', (Км'У)- Последние

могут

быть

найдены

с помощью

теоремы

Римана — Роха

и

связаны

с формулами

Г. Вейля

о

степенях

неприводимых представлений

( Б о р е л ь

и

Х и р ц е б р у х

[1]).

Ответ для

каждого

случая

следующий:

I)

Tlr(M,

A) =

( - l ) /

" ? x ( W A ) n

r{p + q) — i — i

p+q-i—j

где

произведение

берется

по

всем 0 ^

і ^

р — 1,

1 ^

/ ^

q.

II)

Ur(M,

Д) =

( - 1 )

T P ( P - I >

%(М/А)П

2 (г - l ) ( p -

+ i + j

і + І

где

произведение

берется

по

всем

0 ^

і <с j ^

р — 1.

III)

ПДМ,

Д) =

і 1

Х(М/А)11

2 ( л - 1 ) ( р + 1 ) + / + /

( - 1 )

i + 1

где

произведение

берется

по

всем

0 ^

і ^

/ ^

р.

IV)

Пг

(М,

А) =

(-

If

х (М/А)

((гр

~ 1

) +

(

) ) .

V)

Пг

(М,

А) =

х (М/А)

П 1 2

( Г

~ 1

) +

^

,