Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Пусть © — когерентный

аналитический

пучок над

X

с

задан­

ной с помощью векторных расслоений резольвентой

(7).

Тогда,

можно определить

характер

Чженя для ©

по

формуле

ch (©) =

п

= 2 ( — l ) ' c h ( W i ) -

По теореме 23.4.1 это

не

зависит

от

выбора

1=0

резольвенты. Если

0 ^ 6 ' - > © " - * 0

— точная последовательность когерентных

аналитических

пучков,

то (см. 10.1)

ch (<S) =

ch (®') + ch (<3").

ch: Ка(Х)-+Н*(Х,

Q).

Т е о р е м а

23.4.3

(теорема Гротендика — Римана — Роха,

или

сокращенно теорема ГРР) . Пусть

X,

У— алгебраические

многооб­

разия

и f: X —> У — голоморфное

отображение.

Тогда

для всех

Ь є

є/С(о(Х)

в Я*(У,Q) выполняется

равенство

ch(flb)-td(Y)

=

ft(ch(b)-td(X)).

(8)

Пусть

/: X—*Y,

g:

Y-*Z

— голоморфные

отображения

алгеб­

раических

многообразий. Из

(3)

и (5) следует, что если теорема

ГРР

справедлива

для

f и

для g, то

она справедлива

и

для

gf:

X—*Z.

Так как X — алгебраическое

многообразие,

то

существует

голоморфное вложение X—* PJV(C)

при некотором N.

Отображение f: X—*Y

можно

разложить

тогда

в

композицию

вложения

X—• У X PJV(C)

и

проектирования

У X

PJV(C) —>• У. По­

этому

достаточно доказать теорему ГРР для

двух

случаев:

I)

/: X—• У— вложение. Для

этого случая

имеются

алгебраи­

ческое доказательство

у Б о р е л я

и С е р р а

[2] и комплексно-ана­

литическое доказательство

у ' А т ь и и

Х и р ц е б р у х а

[8]. Частный

случай, когда

X — неособый

дивизор

на У и

Ь^.К^Ка(Х)

воз­

смотрен в

23.5.

П) /:

y X P j v ( C ) — * Y — проекция

в прямом

произведении. Ал­

гебраическое доказательство дано у

Б о р е л я

и С е р р а [2].

Это

доказывает

(9)

в нашем частном случае, а также

помогает

объяснить тот факт,

почему в теореме ГР Р возникает класс

Тодда."

Рассмотрим

теперь частный случай теоремы ГРР, когда

Y со­

стоит из одной

точки, а / — постоянное отображение.. Пусть Ъ є

є і ( в

( І ) — элемент,

представленный пучком ростков

голоморфных

сечений

Q(W)

комплексно-аналитического векторного расслоения

W над

X. Ввиду

(4) левая

часть равенства

(8)

превратится в

l(X,

W).

Следовательно, теорема Римана — Роха в форме

Гротен-

дика

влечет теорему

21.1.1 ( Р Р ) :

%(X,W)^T(X,W).

23.6. Пусть

Е,

F, V — алгебраические

многообразия,

и

пусть

ф: Е—• V — голоморфное расслоение со слоем

F и связной

струк­

турной группой

(см. теорему

18.3.1*). Как

и в лемме 23.2.2,

пусть

U — голоморфно полное открытое подмножество в V, над которым

Е тривиально. Тогда

по теореме Кюннета

о когерентных

аналити­

Я Ч Ф - Ч С ) . 1)

= н°(и, і)®я'(Л

і).

Следовательно,

ф'£2(1) =

£2(№^) для некоторого комплексно-

аналитического векторного

расслоения Wt

над

V, размерность

слоя которого равна

йітНЦр,

1). Тот факт,

что структурная груп­

ch0 (ф,Q (1)) = 2

( - 1 ) ' dim Hl (F, \) — %(F) — T (F),

'

'

(10)

сЬ/

(ф,О(1))=0

для

/ > 0 .

С

другой стороны,

теорема

ГРР,

примененная

к

отображению

ф: Е—* V и к пучку

Й(1)

над Е, дает

ch (<p,Q (1)) td (V) =

ф, td (Е) =

ф. td (Є) • td

(V),

где

0 — расслоение

над

Е, состоящее

из касательных

векторов

«вдоль слоев».

Следовательно, (10) влечет

T(F)-M(V)

=

<pttd(E),

(11

7-(F).

l = V . t d ( e ) ,

(11*)

где

1 є Я ° ( У , Q) — единичный

элемент.

Формула

(11*)

выражает

строгую

мультипликативность,

изу­

ченную Б о р е л е м

и Х и р ц е б р у х о м

[1], § 21. Если

£ — непре­

рывное GL(q, С)-расслоение над V,

то, умножая

обе части

фор­

мулы (11) на ch(£), находим

Т (F) • (ch (?) • td (У)) -

Ф, (ch (ф*£) • td (£)).

Т е о р е м а

23.6.1

( Б о р е л ь

и С е р р

[2], предл.

16). Пусть

Е,

F, V — алгебраические

многообразия,

и

пусть

(р: E—*V

— голо­

морфное

расслоение

со слоем F

и со

связной структурной

группой.

Пусть

£ — непрерывное

GL(q,

С)-расслоение

над

V.

Тогда

T(F)-T(V,

I) —

Т(Е,

ф»£).

Второе приложение теоремы ГРР относится к моноидальным

преобразованиям.

Пусть

X — подмногообразие

коразмерности

q

алгебраического

многообразия,

У, і: X—• У— вложение,

v — ком­

зываемое

моноидальным

преобразованием

У вдоль

X,

вложение

у. X'—*Y'

и отображение g:

У'—» У, такие, что диаграмма

X'—-> Y'

X — >У

коммутативна. Пусть

U — открытое подмножество

в

У,

допускаю­

щее локальные аналитические координаты. Если U не пересе­

кается с X, то g~l(U)

биголоморфно

эквивалентно

U. Если

U

пе­

ресекается с X, то существуют голоморфные

функции /і, . . . ,

fq

на

U,

такие,

что

U0X

совпадает с подмногообразием

( и є

U; /,(«)

=

=

... =

fq(u)

—

0} и

дифференциалы

dfi,

dfq

линейно

неза­

висимы в

каждой

точке

из

U(]X.

В терминах однородных

коорди­

нат

z =

(z\:...:

zq)

на

P9 _i (С)

открытое

подмножество

g~l{u)

биголоморфно

эквивалентно

подмногообразию

{(и, г ) є £ / Х

X Р,-і (С); ztfj(и)

=

ZjU(и),

К

і < J < q)

в UX

P,-i (С).

Пусть

£ ,

& ' — комплексно-аналитические

касательные

вектор­

ные расслоения

к

У,

У,

и

пусть

9Ї— нормальное

векторное

рас­

слоение к X в У, ассоциированное с v. Пусть

И — одномерное рас­

слоение над У, определяемое неособым дивизором X' на Y'. Одна

лемма Портьюса [1] утверждает, что в Д'Ш (У/ )

выполняется

ра­

венство

Q (g*Z) -

Q (V) = ' / , (Q (ГЩ -

Q (/*#)).

По теореме РР

для вложений (9) класс Чженя

для

правой

части

этого равенства

равен

•

L((rch(v)-feb).f(-^f^)),