Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

делить сопряженные

гомоморфизмы

р*: Ff

| S (Е) ->Fr_l

15 (£).

Го­

моморфизм

р: 2

^

S ( £ ) - 2 F 2 J

+ 1

S(E),

s

s

определенный

равенством

р(f„, /2 ,

/4 ,

. . . ) = = (p,f0

— p*f2> P3f2

—

— p*f4, . . . ) , является

изоморфизмом,

и

его гомотопический

класс

не зависит от выбора эрмитовых метрик

на Fr. По теореме

24.2.1

существует однозначно определенный

элемент

d(E)

= d (%F2s,

2

/V i ,

є

Я (В (£), 5 (В)),

Т е о р е м а

24.2.2. Пусть ц—непрерывное

U(q)-расслоение над

компактным

пространством

X, Е — векторное

расслоение,

ассоци­

ированное

с ц,

и

Ф.: Н'(Х,

0_)->Я*(В(£), S(E);

Q)

Д о к а з а т е л ь с т в о

(ср.

А т ь я

и Х и р ц е б р у х

[7],

предл.

3.5). Пусть т) индуцирован

из универсального U (q) -расслое­

ния

g

над ®(q,N;C)

с

помощью

отображения

/: X—*®(q,

N; С).

Рассуждения

п. 24.3

показывают,

что

2

(-l)rchXrt

Ф Г ' с г ^ ( £ ) = Г г==°

C q l

где

правая

часть

корректно

определена при

достаточно

боль­

ших N. Искомый результат следует теперь из

теоремы 10.1.1.

24.5. Элемент d(E)

можно

использовать для определения

го­

моморфизма

К (X) -модулей

Ф,: К(Х)^К(В(Е),

S(E)).

Положим

Ф,а = (— 1 )*</(£)'

- я'а

для

а^К(Х).

Тогда

ch фі а =

ф*( (td -п)- 1

- ch а) .

На

самом

деле

ф,

является изоморфизмом,

аналогичным

изо­

Т е о р е м а

24.5.1

( Б о т т

[2], [5]). Пусть

X — компактное

про­

странство. Имеет место коммутативная

диаграмма

K(X)®K(S2)

К (XX

S2)

ch ® ch|

ch|

Н'(Х,

Q)®H*(S\

Q ) — * t f * ( * X S 2

, Q),

в

которой

р

индуцировано

тензорным

умножением

расслоений,

а

индуцировано

^-произведением

и

а

и $ являются

изоморфиз­

мами.

Элементарное доказательство теоремы 24.5.1 было дано

А т ь е й

и Б о т т о м

[1]. По поводу

соответствующей

теоремы

периодично­

сти

для кольца

Гротендика

вещественных

векторных

расслоений

см. В у д [1].

Т е о р е м а

24.5.2. Пусть

к] — непрерывное

U(q)-расслоение над

2п-мерной

сферой

S2 n . Тогда

(chn n)[S2 "]—целое

число.

Это

экви­

валентно

также тому,

что cn(i])[S2n]

делится

на

(п—1)!.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

/i<=/((S2 ) — элемент,

соответ­

ствующий

U(1)-расслоению

лі над

S 2 = P i ( C ) , определенному

в

4.2. Тогда

1 и

h — образующие

для K(S2)

и, следовательно,

(chig)[S2 ] является целым числом

для всех

g e / ( ( S 2 ) .

Из теоремы 24.5.1 следует, что (ch„/)[S2

X • • • X S2]

является

целым

для всех f є

K(S2

X • • • X S 2 ) . Представим S 2 n

как редуци­

рованное

произведение

п экземпляров

S2,

и

рассмотрим

отобра­

жение

р: S 2 X . - - X

S 2 - *S 2 n . Тогда

(ch„ р> b)[S2

X • • • X S2]

будет

целым,

а следовательно,

и

(ch„ 6)[S2 n ]

будет

целым для всех b є

eK(S2n).

Последнее утверждение

следует

из формулы

Ньютона

(см. 10.1)

«!ch„6==( — \) п - ^пс п (Ь )

-f- произведения

членов меньших

степеней.

Теорема 24.5.2 также принадлежит Ботту, который - первона­

чально

доказал ее с помощью теории

Морса

( Б о т т [3]). Из этой

теоремы следует,

что сфера

S 2 n не допускает почти

комплексной

структуры,

если

п ^

4, так как если

бы 8 было комплексно-ана­

литическим

касательным

расслоением,

то

из 4.11(16)

следовало

бы,

что

(c„8)[S2 n ] =

2.

Кервэр

и

Милнор

вывели

из

тео­

ремы 24.5.2, что S 2 r a _ 1 параллелизуема

тогда

и только

тогда,

когда

п=\,

2,

4 ( К е р в э р

[1], М и л н о р

[2]; см. также

Б о р е л ь и

Х и р ц е б р у х

[1], §

26.11,

и А т ь я

и

Х и р ц е б р у х [5]).

Рассмотрим

гомоморфизм

<р,: К(Х)-*K(B(E),S(E)),

где X —

точка.

Тогда

К(В(Е),

S ( £ ) ) = / ( ( S 4 у0)

для

некоторой

точки

i / 0 e S ! «

и <р,: Z-»/C(S2 «, уо)

является

гомоморфизмом, таким, что

(chgcp, 1)[S2«] =

1. В этом

случае можно

показать, что

ри.К(S2i)—*•

~ + / C ( S 2 X - . . X

S2 )

будет

мономорфизмом,

а

ср,: Z-+/((S2 «,у0 )-~•

изоморфизмом. Часто удобно ввести

элемент h — 1 + ф, le/((S 2 9) .

Для q = 1 этот элемент совпадает

с элементом, введенным при

остается в силе, если S2 заменить

на

S2i

для любого

q > 0.

Теорема периодичности

Ботта

является

основным

средством

для определения полной экстраординарной теории

когомологий

К*(Х,

У)

(см. 24.1), а

следовательно, для

доказательства; изомор­

физма

Тома, упомянутого

выше.

Мы

приведем

еще

одно

приложение — к

доказательству

диф­

ференцируемого

аналога

теоремы

Римана — Роха.

Пусть /: X~*Y

— вложение компактных

связных

ориентирован­

ных

гладких

многообразий, и пусть нормальное расслоение

Е для

X

в

Y

допускает

комплексную

структуру,

т. е. Е

ассоциировано

с

некоторым

U (q) -расслоением

ц,

как

в

теореме

24.4.2.

Тогда

имеется

отображение

г: Y —> В (Е) /S (Е),

при

котором

все точки

вне

B(E)czY

стягиваются

в

отмеченную

точку;

тем

самым

определен

гомоморфизм

ru. К(В(Е),

S(Е))—+K(Y),

Определим

/,:

К(Х)-+

K{Y)

равенством

/,a =

r^ia ;

тогда

ch jia =

г*ф,((ісі т])~' • ch а) — j t

((td г))- 1

• ch a),

где

/*: H*(X, Q)—»•#*( У, Q) — гомоморфизм

Гизина.

Это — диффе­

ренцируемый

аналог

теоремы

Римана — Роха

для

вложений

[23.5(9)].

Приведем два

следствия, относящихся

к

случаю,

когда

X — почти комплексное

многообразие.

Т е о р е м а

24.5.3.

Пусть

X — связное

почти

комплексное

мно­

гообразие.

Тогда

существуют

вложение

/: X —+ S2N

и

гомоморфизм

K(X)-+K(S2N),

такие, что

chy,a =

/.(td(A)-ch

а).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

0 — касательное

U(n)-расслоение

для

X.

Для

достаточно

больших

q

найдется

Li (q) -расслоение ц

над X,

такое,

что 0 + Т| будет тривиальным

U (п -f- q) -расслоением,

жения Х—*Сп+д.

Мы

можем

рассмотреть

S2N

как

одноточечную

компактификацию

для

CN,

N — п -f- q. Теорема

следует

теперь из

равенства td0 - tdn = 1.

Т е о р е м а

24.5.4.

Пусть

X — почти

комплексное

многообра­

зие,

и пусть

ц ~

U (q)-расслоение

над

X.

Тогда

Т(Х,х\)—-целое

число.

С л е д с т в и е .

Род

Тодда

для

X цел.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

j:X—*S2N

— вложение,

построен­

ное

в теореме

24.5.3. Тогда г) определяет элемент

Й Є / ( ( I ) и

Т (X,

ті) =

xN

[j, (td (X) • ch a)] =

KN

[ch j{a]