Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Скачать файл (14,00Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 85

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г ( £ ) , T(F)

— соответствующие

векторные

пространства

глобаль

ных гладких сечений. Линейное отображение

T(E)-*T(F)

называется

дифференциальным

оператором

порядка

г,

если суще

ствует

открытое

покрытие

для

координатными

окрестностями

Uj, такое, что Е — UjX,A,

F —

Uj^B

над Uj и D задается диф

ференциальным

оператором Df.

C°°(Uh

А)—* C°°(Uj,

В)

порядка

г.

Рассмотрим

л*Е,

n*F

как

подпространства

в В(Х)уЕ

B(X)y<F,

соответственно, и определим

гомоморфизм

(D):

л'Е

л'Е,

называемый символом

для D,

положив

ar (D)

(v, s (х0))

[v,-jrD

(frs)

(х0)),

(3)

где х 0 є=Х,

» є В ( 1 ) ,

л(Ь)

—

х0,

s^T(E)

и / — гладкая

функция,

такая,

что

f(x0)

— 0,

df =

терминах

локальных

координат

Х\,

хп

в окрестности

точки

Хо

имеем

Dl(fr,

s)Ха

— О для

для

| / | =

г. Следовательно, or(D)

(v, s(xo))

зависит

только от ко

ординат

•••>

для df и от значения

s(x0)

для s.

ох і

0Хц

Это

показывает,

что

гомоморфизм расслоений

o>(D)

корректно

•определен и что он совпадает в точке х0

с гомоморфизмом, опреде

ленным

по формуле

(2).

Если

Е, F, G — комплексные

векторные расслоения

над X и

«ели

£>ь

T{E)-*T(F)

D2:

T(F)-*Г(Q)

— дифференциальные

операторы

порядков

г2, то

D2DX

будет

дифференциальным

оператором "порядка

г , | г 2 и

o r i + r j ( D 2 D , ) = = a r 2 {D2)ori

(Di).

О п р е д е л е н и е .

Дифференциальный

оператор

эллиптичен

порядка

г,

если

о =

or{D)

\S(X) — изоморфизм.

З а м е ч а н и е .

Если

D эллиптичен,

то

и F

имеют

одинако

вую размерность слоя. Мономорфизм векторных расслоений, имею щих одинаковую размерность слоя, обязан быть изоморфизмом. Следовательно, D эллиптичен, если Е и F имеют одинаковую раз

мерность слоя	и если из	того,	что	s e T ( £ ) — сечение с		s(x)^0
и f — гладкая	функция	с	/(x) =	0, df{x)=£0,	следует,	что

25.2. Предположим теперь, что X компактно и снабжено римановой метрикой. Наличие элемента объема позволяет определить

интегрирование по X. Предположим, что комплексные

векторные

расслоения Е, F снабжены эрмитовыми метриками # ( , ) . Диффе

ренциальный

оператор

D*: T(F) —•Т(Е)

называется

формально

сопряженным

к D, если

для всех

s є

Г ( £ ) ,

t є

T(F)

Эрмитовы метрики на Е и F определяют эрмитовы

метрики

на

п*Е, я*Е;

следовательно,

определен

гомоморфизм,

сопряженный

к символу

ar(D)*:

n*F-*n*E.

Т е о р е м а

25.2.1.

Пусть X — компактное

гладкое

многообра

зие, снабженное римановой

метрикой,

и пусть Е, F — гладкие

ком

плексные

векторные

расслоения

над

снабженные

эрмитовыми

метриками.

Тогда

для

существует

единствен

формально

со

пряженный

оператор

D* и ОгФ*)

—er(D)*.

Доказательство

см. у П а л е [1].

• Если D — дифференциальный

оператор

порядка

г,

то по

25.1

D*D: Т(Е) -*-Г(£)—дифференциальный оператор порядка 2г. По отношению к эрмитовым метрикам на Е и F

Н (е, a2r (D*D) е) = Н (аг (D) е, ar (D) е)

для всех е Ф 0 в п*Е. Следовательно, если D эллиптичен, то D*D

строго эллиптичен, т. е. Н(е, 02r(D*D)e) > 0 для всех е ф О в л*Е.

Обратно если Е и F имеют одинаковую размерность слоя и если D*D строго эллиптичен, то or(D)\S(X) — мономорфизм и, следо вательно, D эллиптичен.

Пусть

kerD

cokerD —ядро

коядро

дифференциального

оператора D. Если D эллиптичен, то D* тоже эллиптичен,

ядро

kerD

конечномерно

и dim ker D* = dim cokerD

(см.

П а л е

[1],

Г е л ь ф а н д

[1]). Индекс

(или

аналитический

индекс)

T ( D ) для D

определяется как

т (D) =

dim ker D — dim coker D =

dim ker D — dim ker D \

(4)

В е к у а

Г е л ь ф а н д [1]

предположили,

что

целое

число

T ( D ) может

быть выражено через топологические инварианты. Эта

гипотеза

была

проверена

в частных

случаях

А г р а н о в и ч е м [1],

Д ы н и

н ы м

[1], В о л ь п е р т о м

[1] и другими.

25.3.

Пусть

X — компактное

гладкое m-мерное многообразие,

не обязательно ориентируемое, и пусть R 0 — касательное GL(m, R)-

расслоение для X. Пусть Т* — пространство ковариантных			каса
тельных векторов для X,	и пусть л: Г—Х — проекция; Т можно
рассматривать как 2т-мерное многообразие		с касательным
GL(2«r, R)-расслоением	я9фя9*. Риманова	метрика	на X

7.8*

определяет изоморфизм R9 = R9* и, следовательно,			изоморфизм
(в обозначениях п. 4.5)
я ; е	+ я* 9* s& я^9 ф я;0 ^	р (я*г\|> (R 6)).
Следовательно,	GL(m, С)-расслоение	г) = я*гр(к 9)	задает на

многообразии 7* почти комплексную структуру. Подробное иссле


дование этой почти		комплексной	структуры		на Т*	проведено
у Д о м б р о в с к о г о		[1].
В терминах локальных координат хи				..., хт	элемент v		из слоя
расслоения	Т*, лежащего над точкой			(0,	0),	имеет вид
YiVjuXj.	Упорядочение координат		(хх,	vu	• xm,	vm)	опреде-

/=1

ляет ориентацию в Т*, индуцированную т|. Эта ориентация инду цирует ориентацию на В(Х) и на S(X) и, следовательно, опреде ляет фундаментальный класс в

H2m(B(X),S(X);Q).

Значение

класса

когомологий

H*(B(X),S(X);Q)

на

этом

фундаментальном

классе

будет

обозначаться через к2т[и].

Пусть

D: Г(Е)-+

Г ( F ) — эллиптический

дифференциальный

оператор по

рядка

символом

or(D).

Согласно

24.2,

ограничение

о =

or(D)\S(X)

определяет

разностное

расслоение

d(n*E, n*F, а)

в К{В(Х),

S(X))

с характером

Чженя

с Ь й є Я ' ( В ( X ) ,

S(X); Q).

Относительную

группу

когомологий

Н*(В(Х),

S(X); Q)

можно

рассматривать

как модуль над H*(B(X),Q),

используя

относи

тельное

-произведение.

Топологическим

индексом

для

назы

вается

Y ( D ) = K 2 m [ c h D

• td ті].

(5)

Т е о р е м а

25.3.1

( А т ь я

З и н г е р

[1]). Пусть

Е, F —

глад

кие

комплексные

векторные

расслоения

над

компактным

гладким

многообразием

D: T{E)-*T(F)—эллиптический

оператор.

Тогда

x(D)^y(D).

С л е д с т в и е ,

y(D) — целое

число.

Из

теоремы

Атьи —Зингера

об

индексе

вытекает

теорема

"21.1.1 (РР) для

произвольных

комплексных

компактных

многооб

разий

V. Кроме

того,

из

нее следует

теорема

об индексе

из

гл. 2

(теорема 8.2.2). Эти следствия доказаны в 25.4. Доказательство теоремы 25.3.1 весьма коротко обсуждается в 25.5. В некоторых случаях можно прямо доказать, что y(D) = 0. Из теоремы 25.3.1 следует тогда, что x(D) = 0. Например, имеет место

Л е м м а	25.3.2.	Пусть D — эллиптический	дифференциальный
оператор на	компактном гладком многообразии		нечетной размер
ности. Тогда	y(D) =	0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .					Пусть оператор			D:	T(E)-+T{F)		эллип
тичен	порядка		г.	Если		v^S(X),		nv	= х,	то	символ
or(D)(x,v):		EX-*FX		является		однородным		многочленом			степени г
от локальных координат vit						vm	в слое		над В(Х).		Следова
тельно,			or(D)(x,-v)			= (-\yor(D)(x,v).					(6)

Пусть	/:	(B(X),S(X))		->	(B(X),S(X))		—отображение,				сопостав

ляющее точке х из некоторого слоя точку —х из того же слоя, и

пусть р: n*F—*n*F—

скалярное

умножение

на

(—1)г . Тогда (6)

дает

(Заг

(D) =

Гаг (О): / У £

fn'F,

и так

как

= я и /*я* =

я.*, то

d (п'Е,

n'F, fa) = d {пЕ,

я'Р,

Ра).

Из теоремы 24.2.1 следует, поскольку р гомотопно

тождествен

ному отображению, что

d {fn'E,

fn'F,

Го)

d (п'Е, n*F,

а),

Г ch D =

другой

стороны,

tdn

является

классом

из

H*(B(X),Q)

—

— H*(X,Q.)

и поэтому

f* td г) =

td ту

Если

нечетномерно,

то f

меняет ориентацию и, следовательно, —y(D) =

y(D).

Если X ориентируемо, то R£ ассоциированно с SO (m) -расслое

нием

«0. Имеется изоморфизм Тома

<р,: Я* (X,

Q) -> Я* (В (X),

S (X); Q),

(7)

определенный ориентацией'X,

если'ориентация

В(Х)

задана

упо

рядочением

координат

[xi,

xm, vu

vm).

Эта

ориентация

отличается от использованной раньше на множитель

(—I)- 4

Следовательно,

(£>) = ф - 1

( ( - 1 ) * m ( m

- 1 )

ch D • td J [X]

ф - Ч ( - І ) 2 ' "chDJtdop(R 8)

(8)

Класс

Тодда

t d ^ ( R 0 )

может

быть записан как

многочлен от

клас

сов

Понтрягина pj(X)

= (— 1)jc2j-(гр (R9) )

для

А": если

Р(Х)

Щ1

У2^Н-(Х,Ъ),

8 Фг Хирцебрух

то

(см. 4.5)

с (op (R 8)) =

(1 -

УЪ =

(1 +

У,) О ~

У,)

(9)

Правая

часть

равенства

является

симметрической

функцией

от у? и, следовательно, является многочленом от pj(X)

(ср. с со

ответствующей формулой в 1.7).

25.4. В этом пункте мы наметим два важных приложения тео

ремы

Атьи — Зингера.

Подробности

можно

найти

у П а л е

[1] и

у К. а р т а н а

и Ш в-а р ц а [1].

а)

Пусть

— компактное

комплексное

многообразие размер

ности

п,

W — комплексно-аналитическое

векторное

расслоение

над

V„

со

слоем

С„. Мы

хотим

показать,

что

из теоремы

25.3.1

сле

дует

теорема

Римана — Роха

%(Vn, W) =

Т(Vn, W). Пусть

Т —

комплексное

ковариантное

касательное

векторное

расслоение

Vn.

обозначениях

п.

15.4

T(W

® №Т) = А°>Р(W).

Дифферен

циальный

оператор

самосопряжен

(15.4(9)).

Так

как

имеет

степень

+ 1 , a f> — сте

пень — 1,

то дифференциальный оператор д -4- f) отображает формы

нечетной

степени

в формы

четной

степени,

и наоборот. Пусть

£ = 2 г ® Л ,

F =

^W®I2S+1T,

d +

T(E)->T{F).

Дифференциальный оператор

D имеет

порядок 1.

Разложение

А0, р

(W) =

д~А°- р-х

(W) ф ЪА°-p+1

(W) ф В 0 , р

(V, W)

из

15.4

показывает,

что

если

да + f}|3 =

0, а е

Л°> Р~1 (W),

р е

А0' Р+1

(W),

то да =

г>р — 0.

Следовательно,

ker

2 B ° ' 2 S ( F , W),

kerD*

,0, 2s+l

(V, W).

2 B'

По теореме 15.4.1

имеем

т (£>) =

dim ker D — dim ker D*

= 2 ( - I f dim H" (V, W) — % (V, W).

(10)

p..

Смотрите также файлы

1 вопрос. Натуральные числа имеют вид 1,2,3 которые используют для счета предметов, людей и др. Простым.doc

Цель занятия закрепление знаний об основных видах педагогической деятельности, формирование умения применять их. Задание 1.docx

Развивающие игры как средство обучения детей дошкольного возраста.docx

Используя данные таблиц 15, исчислите величину налоговых обязательств и налоговое бремя организации по всем отчетным периодам в течение одного календарного года по налогу на добавленную стоимость.docx

Физическая передача данных по линиям связи.pdf

Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно