Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Пусть

R2C —

комплексификация

вещественного

кокасательного

расслоения

R2* ДЛЯ X. Изоморфизм

цТс = Т®Т

(см. 4.7(12))

определяет отображение р: в%*с—>Т. Индуцированное

отображение

R£* —>• Т может

быть использовано для того, чтобы отождествить

расслоение

на

шары В (X) =

B ( R £ * )

с В(Т).

Произведем это ото­

ждествление на

время

вычисления

символа

для

дифференциаль­

ного

оператора

D.

Согласно

(3),

значение

символа

для

д: Г(кг~1Т)-*Т(1г,Т)

на

элементе

d / e f i ( R 2 c )

задается

фор­

мулой

(«і Л «2 Л

• • • Л « г - 1 є

хг~]т)

ox0)(df,

щ

Л

• • •

Л ur-x)

=

idf

Л щ

Л

•, •

Л

« г - 1 ,

а на элементе р (df)

=

df ^

В (Т) — формулой

о ,

(д) (df,

их

Л

•••

Л и г - і )

=

/ д /

Л «і Л

• • • Л

«л-1-

GX(D)\S(X)

=

ах (д) =

фг,

=

і'Р: я* 2

W ® A 2

s f | 5 (X) -> я* 2

W ® A 2 s + I T | S (X)

Согласно 24.4 р является изоморфизмом, следовательно D эллип­

тичен. Иначе можно показать явным вычислением,

что оператор

D*D

— •

строго

эллиптичен,

что опять дает эллиптичность D .

Как и в теореме 24.4.2, имеем

ср4 - 1 ch (£>) = ФГ1 ch d (п 2 W ® А2 ї Г, я* 2 W ® Я 2 ї + 1 Г , р) =

=

( - 1 ) "

ch W • (td б*)- 1 ,

где 0 — касательное U (п) -расслоение

для

Vn.

Тогда

y(D)

= Kn[(-lfnchW

• (td Є*)- 1

. tde - tde ]

=

= xn[chW-tdQ]

= T(Vn,W).

(11)

Соотношения

(10)

и

(11)

показывают, что теорема 25.3.1 вле­

чет

теорему Римана — Роха

для

произвольного

компактного ком­

плексного

многообразия

Vп.

Та

же

самая

теорема,

примененная

к векторному

расслоению

W ® №Т,

дает

Xp(Vn,W)

= T'(Vn,W)

и

%y(Vn,W)

=

Ty(Vn,W).

b) Пусть теперь X — компактное ориентированное

гладкое

мно­

гообразие

размерности 2п. Мы хотим

показать, что теоремы

4 . 1 1 . 4

и 8 . 2 . 2 следуют обе из теоремы 2 5 . 3 . 1 .

Пусть

цХс — комплексификация

вещественного

ковариантного

касательного векторного расслоения

(см. 4 . 6 ) . Положим

d: Г (W)

Г (W)

является

дифференциальным

оператором

степени

1

(см.

2 . 1 2 ) .

Уравнение ( 3 ) показывает,

что

если

v =

df,

n(v) — x, f(x) = Q

и ш є Г ( ^ ) , то символ для d задается

формулой

a, (d) (v, со (x)) =

(v, iv

А

со (x)).

Риманова

метрика на X определяет

гомоморфизм

*. A-R-i-c -"*• Л

R^C

и, следовательно, гомоморфизм *: T(W)-*T(W).

Так как X

имеет

четную размерность, то формальный сопряженный

б к d в смысле

п. 2 5 . 2 определен равенством

6 =

— К

а

к

и в

15.4, мы имеем

dd = бб =

0 и (й + 6) (d +

б) = d6 + 6d =

А . Форма

to из

T(W)

называется

гармонической,

если

Лео =

0.

Форма

со

гармонична

тогда и только тогда, когда

da = бсо =

0.

Если

через

ВТ(Х)

обо­

значить векторное пространство

гармонических

форм

степени г,

то имеет место естественный изоморфизм

(де

Р а м [1], Х о д ж [1];

(см. 1 5 . 7 )

dim

ВГ(Х)

=

ЬГ(Х),

где ЬТ(Х) есть г-е число

Бетти для Я.

б: Г (W) —• Г(W)

самосопря­

Дифференциальный

оператор

d +

жен,

поэтому естественно

искать

разложения

W = Е ф F, такие,

что оператор

D =

d + b:

T(E)-+T{F)

эллиптичен. Рассмотрим

эндоморфизмы пространства

W,

опреде-

_

.г(г+1)—л

. г » '

«2п-Г(>'

-т.

v

ляемые с помощью * и

а =

і

*: A R ^ C - * ^

R*C- Так как А

имеет

четную

размерность,

то

** =

( — 1 ) Г

и

а2

= ( — 1 ) Г * * = 1.

Собственные пространства для инволюций ** и а

и дают

требуе­

мое разложение для W.

^ = SA,2 S + RJC И

1)

Положим

£ = 2 ^ R 2 c ,

D =

d + 6:

r{E)~+T{F).

5

5

Нп(Х,

R) =

Bn+,R(X)(BBn-,R(X),

где В±, R — подпространство

{со є В± (X) | со =

со} в В± (X).

Скалярное

произведение

(соь со2) —- J"

Л * со2

на

В\ (X) =

х

— Нп(Х,

R) положительно

определено,

и если п четно,

то

В+,ц(Х)

и В-

ц Ш ортогональны

относительно

этого

скалярного

произ­

ведения. Квадратичная форма Q(CU!, сдг)^ { ш і

Л Щ положительно

X

определена на B+, R (X) и отрицательно определена на

В-,ц(Х).

Следовательно, если п четно, то dimB+(X)

и dim £ !L (X) совпа­

дают

с

числами р+

и р_

положительных и

отрицательных соб­

ственных

значений

для

Q. Поэтому,

x(D) = p+ — р_

совпадает

с индексом многообразия X, определенным в 8.2.

Вычисление

на классифицирующем

пространстве

©+(2п, /V; R),

ностями у П а л е

[1], показывает, что

ch Е -

ch F =

П

{e~yi

-

eyl),

где

Р ( * ) = = П ( І + 4 $ ,

« ( / ) = П ^

и, следовательно,

по 24.3(7) и

24.4(7)

Ф Г 1 с Ь / ) = Д -е-у1-еу1

/=1

у (D) = к2п ( - і ) " П

Є - у і

- е У і

У!

•у,

У/

'

1 - е

п

I I

У

І—J—

,2«

/=1

sh — ^

/=1

2n

0/

4=1

Следовательно,

из теоремы

25.3.1 следует теорема 8.2.2. Слу­

чай нечетномерного

X снова покрывается

леммой 25,3.2.