Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 83
Скачиваний: 1
25.5. Существуют два доказательства теоремы Атьи и Зин гера. Первое доказательство, построенное по образцу доказатель
ства теоремы 8.2.2, кратко изложено |
у А т ь и |
и |
З и н г е р а |
[ I ] 1 ) . |
|||||||||
Подробности |
можно найти у |
П а л е |
[1] и |
К а р т а н а |
и Ш в а р |
||||||||
ца |
[1]. Второе доказательство |
должно |
появиться |
в новой |
работе |
||||||||
Атьи и Зингера2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Исходным пунктом для обоих доказательств служит тот факт, |
|||||||||||||
что |
формула |
(8) |
определяет |
индекс |
у(Ь) |
для |
любого |
элемента |
|||||
b ЄЕ К(В(Х), |
|
S(X)). |
Мы |
хотим |
распространить |
аналитический ин |
|||||||
декс |
x(D) |
аналогичным |
образом, так |
чтобы |
он |
стал |
функцией |
||||||
т: К (В (X), |
S(X)) |
—* Q. Известно, что |
гомотопные |
операторы |
имеют |
одинаковый аналитический индекс и что символы, которые опре деляют одинаковое разностное расслоение, гомотопны. Таким об разом, индекс будет зависеть только от разностного расслоения, если гомотопия между символами может быть поднята до гомотопии между операторами. Далее, функция т будет определена, если всякий элемент b ^ K(B(X),S(X)) является разностным рас слоением, построенным по эллиптическому оператору. Однако в об щем случае ни одно из этих утверждений не имеет места для
эллиптических дифференциальных операторов. |
Необходимо |
вве |
сти эллиптические интегральные операторы3 ) |
(см. С и л и |
[1]). |
Этот класс включает в себя эллиптические |
дифференциальные |
операторы, и, кроме того, он достаточно велик, чтобы оба наши утверждения выполнялись в этом классе. Таким образом, анали
тический |
индекс определяет гомоморфизм т: К(В(X), |
S(X))—*Q, |
который |
всегда принимает целые значения. |
|
Оставшаяся часть доказательства посвящена тому, чтобы по
казать, что два гомоморфизма |
|
у: |
K(B(X),S(X))->Q, |
т: |
K(B(X),S(X))->Q |
совпадают. Мы очень кратко изложим оба метода. В первом ме тоде многообразие X предполагается ориентированным и четномерным.
на |
а) |
По 25.4 Ь) существует дифференциальный |
оператор |
D0 |
|||||||||||
X, |
топологический индекс которого совпадает с L-родом. Пусть |
||||||||||||||
Ь0 є |
К(В(Х), |
S(X)) |
— соответствующее |
разностное |
расслоение. |
||||||||||
Кольцо |
K(B(X),S(X)) |
|
является |
К(Х)-модулем |
(24.5), |
и |
функ |
||||||||
ция |
|
у |
полностью |
определена |
своими |
значениями |
на |
подгруппе |
|||||||
К(Х) |
-Ь0 конечного индекса. Определим функцию у(Х, |
) : K(X)-*Q |
|||||||||||||
формулой y(X,b) = |
y{bba)• |
В |
действительности |
это |
не |
что |
иное, |
||||||||
как /^-характеристика для b |
при |
у = |
1 (она |
определена |
и |
для |
|||||||||
гладких |
многообразий, |
и |
по |
12.2(13) |
определение |
может |
быть |
||||||||
|
') |
Полное |
изложение см. в А т ь я |
и З и н г е р [2]. — Прим. |
перев. |
|
|
||||||||
|
2 ) |
См. А т ь я и З и н г е р |
Щ. — Прим. |
перев. |
|
|
|
|
|
||||||
|
3 ) Которые также часто называются псевдоэллиптическими |
операторами. — |
|||||||||||||
Прим. |
перев. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
естественным образом расширено на элементы Ь^К{Х)). |
|
|
Этот |
|||||||||||||||||||||
гомоморфизм |
обладает следующими |
свойствами: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1) |
у(ХY, |
|
|
b ~\-с) = |
у(Х, b)-\-y(Y, |
с), |
где в левой части ра |
|||||||||||||||||
венства «-f-» обозначает |
дизъюнктное объединение; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2) |
y(XXY,b |
|
® с) = |
у(Х,Ь)у(Х,с), |
|
где |
<3> — тензорное |
|
произ |
|||||||||||||||
ведение; это следует из 12.2(14) при у = |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3) |
у(Х, |
Ь) — |
0, |
если |
существуют |
многообразие |
X' |
с |
границей |
|||||||||||||||
дХ' = X и элемент Ь'^К(Х'), |
|
|
ограничение |
которого |
на |
X |
совпа |
|||||||||||||||||
дает с 6; это доказывается с помощью |
более |
сложного |
варианта |
|||||||||||||||||||||
теоремы |
7.2.1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
y(S 2 n , h) = |
2", |
|
где |
h є= K(S2n)— |
определенный |
в 24.5 |
эле |
||||||||||||||||
мент, |
такой, |
что |
>c2 n [ch/i] = |
1; |
по |
12.2(10) |
мы |
имеем |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
у (S2 r a , h) = |
п2п |
[ 2 |
|
e26i] |
= 2 V n [ch h] = |
2n, |
|
|
|
|
|
|||||||||
если |
ch h = |
2 |
e6'> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) у(Ргп(С), 1 ) = |
1. Это |
следует |
из теоремы 1.5.1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Следующий |
и |
самый |
трудный |
|
этап |
доказательства |
состоит |
|||||||||||||||||
в том, чтобы показать, что аналитический индекс т также |
обла |
|||||||||||||||||||||||
дает свойствами 1)—5). |
|
Наконец, |
показывается, |
что |
функция |
|||||||||||||||||||
K(X)-+Q |
однозначно |
определяется |
свойствами |
1)—5). Как |
и в 7.1, |
|||||||||||||||||||
мы рассмотрим группы кобордизмов Qn. |
Для всякого |
п ^ |
|
0 |
груп |
|||||||||||||||||||
па Qn |
строится |
из пар |
(X, Ь), |
где X — компактное ориентированное |
||||||||||||||||||||
n-мерное гладкое многообразие, а Ь^К(Х). |
|
Пара |
(X, Ь) |
является |
||||||||||||||||||||
границей, если |
существуют |
многообразие |
X |
и элемент |
Ь' є |
|
К(Х'), |
|||||||||||||||||
такие, что |
X = |
дХ' |
и |
b = |
b'\X. |
Группы |
Qn |
® Q вычисляются |
так |
|||||||||||||||
же, как и в теореме 7.2.3: элемент |
из й„ <8> Q |
однозначно |
опреде |
|||||||||||||||||||||
ляется смешанными числами Понтрягина — Чженя |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
р, |
(X) ... |
p. |
(X) |
• chft |
(b) ... |
ch, (b) [X]. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
' 1 |
|
|
|
'Г |
|
|
|
1 |
|
у |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства |
1)—3) |
|
показывают, |
|
что |
определяет |
функцию |
|||||||||||||||||
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = |
2 Q „ - * Q . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
rt=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойств 4), 5) достаточно, чтобы определить у на образующих |
||||||||||||||||||||||||
кольца |
Q ® Q |
и, |
следовательно, чтобы |
определить |
у |
однозначно. |
||||||||||||||||||
Общую |
теорию |
таких |
групп |
кобордизмов |
для |
пар можно |
|
найти |
||||||||||||||||
у К о н н е р а |
|
и Ф л о й д а |
|
[1]. Теорема |
для |
нечетномерного |
X |
|||||||||||||||||
следует |
из рассмотрения |
X X |
S1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ь) Второе доказательство того, что гомоморфизмы у и т совпа |
||||||||||||||||||||||||
дают, не использует теории кобордизмов. Согласно 25.3, |
расслое |
|||||||||||||||||||||||
ние на единичные шары В(Х) |
|
является |
почти |
комплексным |
мно |
|||||||||||||||||||
гообразием |
с |
границей |
|
S(X). |
|
Для |
удобства |
мы |
будем |
писать |
||||||||||||||
Т*Х вместо B(X) — S(X) |
|
и |
К(Т*Х) |
|
вместо |
K(B(X),S(X)). |
|
|
|
Пусть |
||||||||||||||
V == RN, |
так |
что |
K(T*V) |
|
= |
K(S2*, |
у0 ) = |
Z. Вложение |
XczV |
|
опре |
|||||||||||||
деляет вложение /: Т*Х—*T*V. Теперь |
из |
подходящего |
аналога |
|||||||||||||||||||||
теоремы 24.5.3, относящегося к многообразиям с краем, |
следует, |
|||||||||||||||||||||||
что существует |
гомоморфизм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/,: |
( r X ) - > / C ( n / ) = Z, . |
|
|
|
|
|
|
|
такой, что jfi — ^'"[cha-td-n], |
где |
m — размерность |
X и т)-—ка- |
сательное GL(m, С)-расслоение |
для |
Т*Х. По 25.3(5) |
гомоморфизм |
/ совпадает с гомоморфизмом |
у: |
К(Т*Х)—>Q. Заметим, в част |
ности, что у всегда принимает целые значения, так что для при
ложения |
теоремы |
Атьи — Зингера к теоремам |
целочисленности |
(см. 26.2 |
и М а й е р |
[1]) доказательства в полном |
объеме не тре |
буется. |
|
|
|
Остается доказать, что гомоморфизм /( совпадает с аналити ческим индексом т: К(Т*Х)—>Z. Первая часть доказательства со стоит в том, чтобы распространить определение на операторы на некомпактных многообразиях U, V. Это сделано С и л и [1]. В ре зультате получена диаграмма гомоморфизмов
К (Т*Х) —-> К (T*U)—+ К (ТУ) —> К (г/о)
|
т| |
|
т| |
|
т| |
т| |
|
|
^ |
id |
rj |
Id |
^ |
I |
|
|
Z |
rj |
Id |
|
|||
|
—-> |
z |
—-> |
Z |
—-> Z |
|
|
|
|
|
|||||
в которой U является трубчатой окрестностью X в V, ср; —изо |
|||||||
морфизмы |
Тома (см. 24.5) |
и г! |
индуцировано |
отображением |
|||
T*V —*T*U, |
стягивающим |
все, |
что вне TU, |
в точку. |
Вторая и бо |
лее трудная часть доказательства состоит в проверке того, что каждый квадрат этой диаграммы коммутативен.
Техника, развитая в. этом доказательстве, была усовершен ствована Атьей, чтобы получить обобщение теоремы Атьи — Зин гера об индексе, относящееся к многообразиям с границей, к се мействам эллиптических операторов и к действиям компактных групп Ли на гладких многообразиях.
25.6. Последнее кратко может быть описано следующим об
разом. |
Пусть X — компактное пространство, |
G— компактная |
груп |
||||
па Ли, |
действующая на |
А'. Тогда векторное |
G-расслоение |
над X |
|||
состоит |
из |
комплексного |
векторного расслоения Е |
над |
X |
вместе |
|
с действием |
G на Е, согласованным с действием |
G на |
X , т. е. |
||||
задаваемого |
линейными |
отображениями g: |
Ex-+Egx, |
g e G , |
х^Х. |
Определения п. 24.1 могут быть имитированы и в этом случае и
приводят |
к кольцу |
Гротендика |
KG(X) |
векторных |
G-расслоений |
||||||||
над X . В частном случае, когда G состоит из единичного элемента, |
|||||||||||||
KG(X) |
совпадает |
с К(Х). |
Когда |
X — точка, то |
Ка(Х) |
совпадает |
|||||||
с кольцом |
R(G) |
представлений группы G. Если У есть |
G-инва- |
||||||||||
риантное замкнутое подпространство в X , то определены отно |
|||||||||||||
сительные |
группы |
K G ( X , |
У). Заметим, |
что |
группы |
Ко(Х), |
|
K G ( X , |
У) |
||||
зависят не только |
от G, X , У, но |
и |
от действия |
G |
на |
X . Все |
ре |
||||||
зультаты /(-теории, упомянутые в § 24, распространены |
(Атьей и |
||||||||||||
Сигалом) на случай /С0 -теории. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Предположим теперь, |
что |
X — компактное гладкое |
многообра |
||||||||||
зие |
и что |
G действует гладко |
на |
X . Если Л —гладкое |
векторное |
G-расслоение над X (т. е. Е и действие G на Е гладки), то опре делено действие G на пространстве Г( £ ) гладких сечений рас слоения Е:
(gs)(x)==g-s(g-lx), |
ge=G, s s r ( £ ) , Ї Є І |
Пусть Е, F — гладкие векторные G-расслоения над X и
D:T(E)->T(F)
—эллиптический дифференциальный оператор, совместимый с дей ствием G на X. Тогда G действует линейно на конечномерных век торных пространствах kerD и cokerD.
Аналитическим индексом для D будет элемент
х (D) = ker D — coker D
из кольца |
представлений |
R(G) |
|
группы G. Если G состоит из од |
||||||||||||||||
ного тождественного элемента, то R(G) — |
Z |
и |
это |
определение |
||||||||||||||||
совпадает |
с 25.2(4). |
|
|
|
|
|
|
|
топологический |
индекс |
||||||||||
С |
другой |
стороны, |
можно |
определить |
||||||||||||||||
y(D)en R(G), |
который |
сводится |
к определенному |
в 25.3, если |
G — |
|||||||||||||||
единичная |
группа. Определение |
зависит не |
только от |
символа |
D |
|||||||||||||||
и классов Понтрягина для X, |
но и |
от множеств |
Xs |
неподвижных |
||||||||||||||||
точек для |
элементов g є |
G. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Второе |
доказательство |
теоремы |
Атьи •— Зингера |
|
об |
индексе |
||||||||||||||
(см. |
25.5) |
может быть |
проведено в |
рамках |
/(й-теории. |
Оно |
пока |
|||||||||||||
зывает, что x(D) = y(D) |
для |
всякого |
эллиптического |
дифферен |
||||||||||||||||
циального |
оператора |
D, |
согласованного |
с |
действием |
группы |
G. |
|||||||||||||
На X существует G-инвариантная метрика, |
и, |
следовательно, |
на |
|||||||||||||||||
В(Х) |
существует действие |
G, |
при |
котором |
S(X) |
G-инвариантно. |
||||||||||||||
Эллиптические |
интегральные, |
или псевдоэллиптические |
операторы |
|||||||||||||||||
Сили позволяют определить |
гомоморфизмы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
т: |
|
|
|
KQ(B(X),S(X))->R(G), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
у: |
|
|
|
Ka(B(X),S(X))->R(G), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
о которых доказывается, что они совпадают. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Рассмотрим |
частный |
случай, |
когда |
G — циклическая |
группа |
и |
||||||||||||||
когда образующая g: X—*Х |
|
имеет |
только |
простые |
неподвижные |
|||||||||||||||
точки (простой |
неподвижной |
точкой х |
называется |
такая |
неподвиж |
|||||||||||||||
ная |
точка, |
что |
det (1— dgx ) ф |
О, где |
dgx |
— индуцированное |
ото |
бражение в касательном пространстве к точке х; из этого опре
деления |
следует, |
что |
х — изолированная |
неподвижная |
точка). |
||
В этом частном случае равенство |
x(D) = |
y(D) |
получается |
также |
|||
из теоремы Лефшеца |
о неподвижной |
точке, |
принадлежащей |
||||
Атье и |
Ботту. |
Эта |
последняя |
теорема, |
которая доказывается |
совсем другими методами, применима |
к |
более общим отображе |
||
ниям |
/: X—*Х (снова имеющим только |
простые |
неподвижные |
|
точки, |
но не обязательно являющиеся |
образующими |
циклической |
группы, действующей на X). Как и в 25.4, отсюда можно получить различные приложения, рассматривая различные дифференциаль ные операторы D.
Так, оператор из 25.4а дает теорему о неподвижных точках го ломорфного отображения /: V—*V компактного комплексного мно
гообразия |
V, аналогичную теореме PP. Оператор из 25.4Ь |
дает: |
1) теорему, |
аналогичную теореме Хирцебруха об индексе, и 2) |
пер |
воначальную теорему Лефшеца о неподвижной точке для ком пактного ориентированного гладкого многообразия. Полное изло жение этих результатов с наметками доказательств общей фор мулы можно найти у А т ь и и Б о т т а [З]1 ).
§26. Теоремы целочисленности для гладких многообразий
26.1. Из |
теоремы |
Атьи — Зингера об |
индексе следует, в част |
|
ности (см. 25.4а), |
что |
Г-характеристика |
T(Vn, г\) комплексно-ана |
|
литического |
GL(q, |
С)-расслоения т) над |
компактным комплексным |
многообразием V является целым числом. Это частный случай бо лее общей теоремы, относящейся к непрерывным GL(q, С)-рас слоениям над компактными ориентированными гладкими много образиями.
Пусть [Ak(pu ...,pk)} |
— мультипликативная |
последовательность |
|
|
|
2 |
|
с характеристическим |
степенным рядом Q(z) |
— — l A |
_ , опреде- |
|
|
sh 2 у |
г |
ленная в 1.6. Степенной ряд ——:—— определяет мультипликатив-
ную последовательность [Aj(p\ |
|
|
р3 )} с Aj |
= |
24jAj. |
|
|
|||||||
Во всем этом параграфе мы будем |
предполагать, что X — ком |
|||||||||||||
пактное |
ориентированное |
гладкое |
многообразие |
размерности |
m |
|||||||||
с классами Понтрягина Рг- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Т е о р е м а |
26.1.1. Пусть |
d — элемент |
из |
H2(X,Z), |
редукция |
ко |
||||||||
торого |
по модулю |
2 совпадает |
с |
классом |
Уитни |
W2{X), |
и пусть |
|||||||
г\ — непрерывное |
GL(q, С)-расслоение |
над |
X. |
Тогда |
|
|
||||||||
|
Л[Х, |
I d , n ) = x m |
Г |
і |
|
|
|
0 0 |
|
|
...>P/) |
|
|
|
|
|
є2*- |
|
ch л - 2 ^ ( p i , |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = о |
|
|
|
|
|
— целое |
число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е . |
Так как |
X |
ориентировано,, то г0ц+\(Х) |
является |
||||||||||
редукцией mod 2 |
целочисленного |
класса |
Штифеля — Уитни W2i+u |
1 ) См. также А т ь я и Б о т т [4]. — Прим. черев.