Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

d2 (*i,o) =

0, то *і,о был бы универсальным

циклом

и

принадле­

жал бы

(см. 7.4), что противоречит 9.4. Следовательно, можно

предполагать,

что d2 (xi, о) =

Хі, ь Простое вычисление

показывает

тогда, что

E3

Л (yv+u

v ,

x0,i),

где

#0+1,

о =

*3 U l , 1 <8> Xl, о) Є

Е3 .

Так как

#„+і,« и х0 , і имеют

степень

слоя

1, то они являются

^ - к о ­

циклами

для

г ^

3;

следовательно,

Е3 =

Еоо. Так

как

£ оо — сво­

бодная

антикоммутативная

градуированная

алгебра,

то

Е х ^

/Y-j(MU | „) также и мультипликативно.

Если

теперь

0 <

ы ^

v,

то

рассмотрим

расслоение

т]и, „

мно­

гообразия M U j „ над

Р М (С)

со

слоем

М0 , „

(см. 9.2).

Его

структур­

поскольку база односвязна. Мы можем,

следовательно,

приме­

нить 2.1; получаем

£ 2 = С [ х 1 1 ] / ^ + ' ) ® Л ( х в + ] о , х м ) .

Как и прежде, Xoi

является е?2-коциклом, следовательно, универ­

сальным коциклом.

Если

« <

в, то

в спектральной

последователь­

ности нет

элемента

типа

( о + 1 , 0 + 1 )

со

строго

положительной

степенью

базы;

следовательно, x„+i, „ также

является

универсаль­

ным коциклом. Так как

базисные

элементы — универсальные

ко­

циклы, то отсюда следует, что dr

=

О, г ^

2. Мы

имеем,

следова­

тельно, Е2 = Ех,

по

крайней

мере

аддитивно.

Но

представители

классов х и + 1 , t,,

х0 , і

в

Я-, (Ми , „)

обращаются в

нуль

при

возведе­

нии в квадрат,

и

имеется представитель

уіг і для хи

ь а

именно

я* „ (Xj ,),

такой,

что

г/"+,' == 0.

Отсюда

немедленно

следует,

что

Еоо и Я з ( М и > г ) )

изоморфны

как

алгебры,

что

и

доказывает

тео­

рему.

З а м е ч а н и е .

<Э-когомологии

для

многообразий

Хопфа М0 , v

вычислены у К о д а и р ы

и С п е н с е р а

([5],

§

15)

для

случая

v =* 1 и у И с э

[1] для любого v. Теорема

4 из И с э

[1] дает также

описание

d-когомологий

многообразий

Хопфа

с

коэффициентами

в одномерном векторном

расслоении.

а)

Теорема

Римана — Роха

в форме Гротендика. Изложенная в § 23 теория

Гротендика была обобщена на семинаре Гротендика 1966—1967 гг. (SGA6)

в Ин­

ституте

высших

исследований

( В е р т е л о , Г р о т е н д и к и И л л ю з и

[1*]).

В этой

работе теорема Римана — Роха устанавливается в контексте теории

схем

в) Теорема Атьи — Зингера

об индексе. Появилось подробное изложение ра­

бот Атьи — Зингера об индексе

( А т ь я и З и н г е р [2*, 3*], А т ь я и С е г а л [2*]).

Особенно многочисленны

приложения эквивариантных аналогов индекса.

С эквивариантными

аналогами

индекса

тесно

связана

формула Лефшеца —

Атьи — Ботта

(Лефшец,

А т ь я и

Б о т т

[4*]),

которая

доказывается

совсем

иначе, чем теорема об индексе. Для теории

Атьи — Ботта построен также

инфи-

нитезимальный аналог, в котором рассматриваются

векторные поля, а не действия

групп ( Б о т т

[9*, 10*], Б а у м [1*], Б а у м и Б о т т

[1*]). Недавно Ботт применил

эту теорию к слоениям

(см. его доклад на международном

конгрессе в Ницце).

Р э ю

и З и н г е р у

[1*]. Они предложили аналитическую

конструкцию

для из­

вестного

комбинаторного

инварианта

многообразий

кручения

Радемайстера —

Франца.

Хотя

окончательно

еще не

доказано,

что их аналитическое

кручение

совладает

с

кручением

Радемайстера — Франца,

однако

показано,

что оба

инварианта обладают одинаковыми свойствами.

В

заключение

обратим

внимание

на работу

Х и р ц е б р у х а

[9*], в первой

[1] Note

on

Kodaira — Spencer's proof of Lefschetz theorems, Proc. Japan.

Acad.,

30

(1954), 266—272.

(6] Vector bundles and the Kunneth formula,

Topology,

1 (1962), 245—248.

[7] On the К-theory of compact Lie groups.

Topology,

4 (1965), 95—99.

[4*] A

Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes. I, II, Ann. Math.,

86

(1967), 374—407; 88 (1968), 451-"-491.

Атья, Ботт и Зингер

(Atiyah М. F., Bott R., Singer I. М.)

[1*] Topoology seminar, Harvard, 1962.

Атья, Ботт и Шапиро

(Atiyah М. F., Bott R., Shapiro A.)

[1] Clifford modules, Topology, 3 (1964), Suppl. 1, 3—38.

Атья и Зингер

(Atiyah M. F., Singer I. M.)

[1]

The index

of elliptic operators on compact manifolds, Bull. AMS, 69

(1963),

[2*]

The

index

of

elliptic

operators.

I,

III, IV, V, Ann.

Math.,

87

(1968),

422

433.

484—530;

87

(1968),

546—604;

93

(1971),

119—138;

93

(1971),

139—149.

[Русский перевод: Индекс эллиптических операторов. I, УМН, 23

(1968),

№ 5, 99 — III,

УМН, 24

(1969), № 1, 127—182.]

[3*] Index

theory for skew-adjoint Fredholm operators, Publ. Math.

Hautes

Etudes Sci., Paris, 37, 1969.

Атья и Сегал (Atiyah M. F., Segal G. B.)

[1]

Equivariant

./(-theory,

Oxford,

1965.

[Русский

перевод: Эквивариантная

К-теория,

приложение

к книге

М. А т ь я ,

Лекции

по

К-теории,

«Мир»,

1967.]

elliptic operators. II, Ann. Math., 87 (1968),

[2*] The index

of

531—545. [Русский

перевод: Индекс эллиптических операторов. II, УМН, 23

(1968);

№

6,

135—149.]

[3*] Equivariant K-theory and completion, /. Diff. Geom., 3 (1969),

1—18.

Атья и Хирцебрух

(Atiyah M. F., Hirzebruch F.)

Bull.

AMS,

[1] Riemann-Roch theorems

for

differentiable

manifolds,

65

(1959),

276—281.

[2]

Quelques

theoremes

de

non-plongement pour

les varietes

differentiables,

Bull. Soc. Math. France,

87 (1959), 383—396. [Русский перевод: Несколько

теорем о непогружаемости дифференцируемых многообразий, Математика,

5:3

(1961),

3—5.]

[6]

Charakteristische Klassen

und Anwendungen,

Enseignement

Mathematique,

7

(1961),

188—213.

[7]

Analytic cycles on complex maifolds, Topology, 1

(1962),

25—45.

[8]

The Riemann-Roch theorem

for

analytic embeddings,

Topology, 1

(1962),

151-165.

[9*] Spinmanifolds

and

group

actions, Essays

of Topology and Related To­

pics, Memoires dedies a Georges de Rham, Springer, 1970, 18—28.

Баум (Baum P.)

Gauss-Bonnet, Bull. AMS,

[2*] Vector

fields

and

76 (1970),

1202—1211.

Баум и Ботт (Baum P., Bott R.')

[1*] On the

zeroes of

meromorphic vector fields,

Essays

on

Topology and

Rela­

ted Topics, Memoires dedies a Georges

de

Rham,

Springer,

1970,

29—47.

Вертело,

Гротендик

и Иллюзи (Berthelot P.,

Grothendieck A., Illusie L.)

[1*] Theorie

des

intersections

et

theoreme

de

Riemann-Roch,

SGA6,

Lecture

Notes in Mathematics, 225, Springer, 1971.

Бланшар

(Blanchard A.)

complexes, C.

R.,

[1] Automorphismes

des

varietes

fibrees

analytiques

233

(1951),

1337—1339.

[21

Espaces fibres kahleriens compacts, C. R., 238

(1954),

2281—2283.

{1] Les foncxions

automorphes de plusieurs variables complexes, Bull. Sop,

Math, France,

80 (1952), 167—182.

[2] Sur la cohomologie des espaces fibres principaux et des

espaces homogenes

de groupes de Lie compacts, Ann. Math., 57

(1953),

115—207. [Русский

перевод: О когомологиях главных расслоенных

пространств и однородных

Борель и Серр (Borel A., Serre J.-P.)

{1]

Groupes

de

Lie et puissances reduites de Steenrod, Am. J. Math., 75

(1953), 409—418. [Русский перевод: Группы Ли и приведенные степени

Стинрода, Сб. «Расслоенные пространства», ИЛ, 1958, 247—281.]

[2]

Le theoreme

de Riemann-Roch (d'apres Grothendieck),

Bull. Soc. Math.

France,

86 (1958), 97—136. [Русский перевод: Теорема

Римана — Роха,

Математика,

5:5 (1961), 17—54.]

Борель и Хирцебрух

(Borel A., Hirzebruch F.)

Ботт (Bott R.)

1] Homogeneous vector bundles, Ann. Math., 66

(1957), 203—248.

2] The stable

homotopy

of the classical

groups,

Ann.

Math.

70

(1959),

313—337.

a Lie group. Mich.

Math. J.. 5 (1958), 35—61.

3] The space of

loops on

4] On a theorem of Lefschetz, Mich. Math. J., 6 (1959),

211—216.

5] Quelques remarques sur Ies theoremes

de

periodicite,

Bull.

Soc.

Math.

France, 89 (1959), 293—310.

[7] Math.

Rev.,

22 (1961), 171—174;

22

(1961),

1153—1155;

28

(1964),

129—130.

[8] Report on the fixed point formula,

Seminaire

Bourbaki, 9295,

1965/66,

[9*] Vector

fields

and characteristics

numbers,

Mich.

Math.

/.,

14

(1967),

231—244.

fields, J. Diff.

Geom., 1

[10*] A residue formula for holomorphic

vector

(1967),

311—330.

Брискорн (Brieskorn E.)

'

[1]

Ein Satz fiber die

komplexen Quadriken, Math. Ann.,

155 (1964), 184—193.

[2]

Uber holomorphe

Pn-Bundel fiber Pu Math. Ann., 157

(1965), 343—357.

Бурбаки

(Bourbaki N.)

[1]

Алгебра,

Физматгиз, 1962.

Ван дер Варден

(van der Waerden В. L.)

Ван де Вен (van de Ven A. J . H. M.)

Indag.

Math., 18

[1] Characteristic

classes and

monoidal

transformations,

(1956),

571—578.

[2] An interpretation of the formulae of Kundert concerning higher obstructions,

Indag. Math., 19 (1957), 196—200.

Ван Эст (van Est)

[1] Proc. Konikl. Neder. Ak. van Wet., set.

A,

61 (1958), 399—413.

Вейль A. (Weil A.)

Math. Pures

Appl.,

[1] Generalisation

des fonctions

abeliennes,

/.

17 (1938),

47-87.