Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

последовательность, и мы имеем 2.1,4). Итак, остается

доказать

2.1,2).

4.2. Мы приведем сейчас несколько иное определение

фильтра­

ции, которое будет полезным для дальнейшего.

Пусть

Va

=

n-l(Ua).

Отождествим

Va с

UaXF

с

помощью

i|)a . Обозначим через МІь'

°'d

пространство

W форм

типа

(с, d)

на В с коэффициентами в формах

типа

(а, Ь)

для слоя

(см. д е

Р а м

[1], гл. I I , § 7). Используя

ф а , мы видим, что

мі

b - c - d ^

Тиа

(33 ® ъа-" ®

*),

(3)

AvAW\va)=

2

Mi

(4)

Тогда

а

0

a,b,c,d

L s

= {(i>(=AE(W);

a l ^ s ^ J a e ^ ) ) ,

(5)

где

=

2

Л #

(6)

c + d > s

Заметим, что, как и раньше, изоморфизм

(3) и разложение в пря­

мую

сумму

(4)

зависят

от

тривиализаций

ipa , однако

условие

со L

e l j

„ от них не зависит.

v а

ч

Е0, Е{

§

б. Члены

5.1.

Л е м м а .

Существует

канонический

изоморфизм

р- "kl: р- "Е*о~ 2

Г (2В ® Ъ"~'- q - s

+ l

® %'в *-')

(р, q, s > 0).

Сумма k0 отображений р' qkl переводит

d0

в

др.

о є " 'qLs,

Мы

сохраним

предыдущие

обозначения.

Пусть

и

пусть

й а — ограничение формы а> на я~'( £ / а ),

a e < s £ . Можно

на­

писать

(4.2):

c o a = ^ a ) r ^ - s + M ' s - ' m o d L , + I . a ,

(1)

где

а&ь-с-йе= Ml-b-e-d=r

TUa

(SB ®

® 2# %

(2)

ь

Мы утверждаем, что для всякого і формы <ара~^

t,

о

є

і ,

определяют

сечение

ю Р - < . «-«+'.'.«-«

в

зв ® gP-'.»-«+' 0

я » .

Действительно,

пусть

а и

В таковы, что иаГ\и$ф0.

Тогда

эле­

менты

соа

и

сор представляют

одну

и ту же

дифференциальную

форму, и

поэтому они

связаны преобразованием fa , g, получаю­

щимся из

координатных

преобразований т|>„р, <рар, т ц . В f a p

вхо­

дят также

производные

от t|)afj по локальным координатам

на В.

Однако, как уже было замечено в 3.4, каждый член, в который

входит

такая

производная,

имеет

строго большую степень по базе,

т.

е.

принадлежит

L s + U a

.

Таким образом, при

переходе - от

®а~1'

q ~ s + i '

s - '

к

q ~ $ +

i '

s~l

можно пренебрегать

этими про­

изводными

и

применять

только

преобразования,

определенные

вать

сечения пучка

SB ® %р~1' q~s+l

® %в-s~l

над

Ua

и

чтобы

получить сечение

над

Ua[)U&.

Сопоставим теперь форме ю сумму форм а>р~{<

І,

g T 0

определяет отображение

V : р-

-> 2 г (ав ® gp _ ''q-s+i

® ?l£

- ' ) ,

которое, очевидно, линейно и имеет ядро P'iLs+\.

Поэтому

оно

определяет инъективные линейные

отображения

qkl:

<ES0

р- qLjp'

qLs+l

-> Ц

Г (SB ® g p _ ' '

' - * + ' ® ^

' - ' ) .

і

Чтобы

вычислить

d0 (u), S є p "' £ o,

мы

должны

применить

д

к

представителю

со

элемента

й

из

L s

и

потом

редуцировать

m o d L s + i .

В локальных координатах это означает,

что

мы

можем

пренебречь дифференцированиями

по

локальным

координатам

на

В и принять во внимание только

координаты

слоя. Но

dF

именно

таким

образом и определен,

следовательно,

"•qks0(d0(b) =

dF(P'4ks0((b)).

Остается

показать, что р ' 4kl

эпиморфны. Пусть

и є

Ма'ъ'

d;

по­

ложим

р = а + с, q =

b -f- d,

s =

с +

d. Мы

должны

найти

со

є

є

р ' qLs,

такое, что р ' ' й 8

(со) =

и.

У

=

Существует

счетное

локально

конечное

покрытие

=

(Vj)

j =

i , г,... пространства £ малыми

открытыми

подмножествами

(см.

4.1),

такое,

что для

каждого / найдется а

=

а ( / ) є ^ ,

для

которого

я (V.,) с: <Уа. Так

как

Е

паракомпактно,

то

можно

найти

последовательность

открытых

покрытий

У{1)

— (V{p)l=1

2 ....

та­

кую,

что

V(P = V„VfczVri)

(Ul>\).

Положим

3 = 2 3 а Л

£ ? = 2

/ - о , і, ....

(2)

Р, я

ци проекцию

L u

a 0 то же самое, что и в 3.8(5). Обозначим

через

на EQ=LJLU+1

(ц

=

0, 1, . . . ) .

Пусть

а,

Ь, с,

d — положительные

целые

числа;

положим

р =

а +

с,

q = b +

d,

s =

c +

d. Пусть

и є

Г (2В ® £ а ' ' ( f ) ® «в d )

и

и' —элемент

из

Г (2В ® 3"' * ® 2ts' d ) ,

такой,

что

а («') =

«; такой

элемент

существует

по

3.8.

Пусть

о =

^Г1 (м)

и о ' . = /2,7'(«'). Мы

должны

показать,

что

_

kiid^

— du.

(3)

По

определению V'^Z(EO).

Следовательно,

существует

[ ) " е ! 4 ,

такое,

что

d ( e " ) s L , +

! . и J V / ' =

w ' - По предыдущему

мы имеем

и = kx

• х° • \is

(v")

=

o-k0-ns

(v").

(4)

С другой стороны, определение di дает

e?,t> = K ° H s + 1 ( 6 V ' )

и, следо­

вательно,

по

(1)

M d , о) = <т • V

(5 )

Далее,

(3)

эквивалентно

равенству

а • k0-ns+l{dv")

=

du.

(6)

Это

достаточно доказать

для

ограничения

v"

на ц - 1 (Ua)

для всех

о є і .

Мы можем

написать

(по

4.2)

•о" =

VА- Ъ< °-D +

о"-1 - *•C + I '<* +

V А - с > d

+

1

mod L s + % а ,

где

f

' g

' k

є= Г У а (SB ® 23е 'f ® %'вк)\

по

построению

іЛ *•с- d

может

быть отождествлено

с и'. Тогда мы имеем

dv"

=

ди'+Ъ

(va~l-ъ-

<* +

VА-

«•

mod L l

+ 2 t

e .

Так

как

мы

вычисляем

m o d L i + 2 , а ,

то

можно

пренебрегать чле­

нами, степень на базе которых >

с + d +

1» это означает, что

мы

также

имеем

"до" == oV +

5,

( и " 2 - 1 - ъ ' c + l - d

+

ов -ь -1 -*• d +

1 ) mod L s +

2 . а ,

*oH*+i^ ( у ") =

З " ' + <5F ( У А _ 1 ,

Ь ' С + 1

, D

+

V A ' Ь ~ И

Й + Х

)•

Второй

член

в правой

части

равенства

является

д^-кограницей

и

и потому

аннулируется

отображением а; следовательно,

ok0ns+ld

{v") =

ади'.

Но

ясно,

что

_

_

_

а

• д {и') = д{а

(и'))

=

ди,

откуда

и следует (6),