Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

НР.

я

_^ Р. ЯЕ<У.Р+Я <_ Р. ЯЕР2, Р+Я=

НР. я{ р

) я

нр, С (

р )

совпадает

с гомоморфизмом, индуцированным

вложением

слоя.

Это опять следует

из элементарных

фактов

о спектральных по­

следовательностях.

7.5. Если

структурная группа для | связна, то

hp' q (Е,

#)< 2 hc'd (В,

W) • ha'"

(F).

а+с=р

b+d=q

Р. Я£

_

2

P-4£S,t

s,t>0

7.6. Наконец, заметим,

что если

G связно

и Г:

( £ ) - > Hg (F)

эпиморфно,

то Нд(Е) аддитивно

изоморфно

Hj{B) <8> H^(F).

Дей­

ствительно, Е2

как алгебра отождествляется

с тензорным

произ­

ведением

алгебр

Hg (F) ® 1 и

1 ® Нд (В),

которые

состоят из

универсальных

коциклов.

§ 8. Мультипликативное свойство %у-род,а.

8.1. Т е о р е м а .

Пусть

l =

(E,B,F,n)

—

комплексно-аналитиче­

ское расслоенное

пространство

со

связной

структурной

группой,

в котором

Е, В, F компактны

и связны,

a F кэлерово.

Пусть W —

комплексно-аналитическое

векторное

расслоение

над В.

Тогда

Xv(E,n*W)

= %y(B,

W)-xv(F).

Е2^НЪ(В,

W)®H-d(F).

(1)

Р

Из 2.1,3) следует, что

%y(E,n'W)

= %y(EJ.

(2)

Простое

вычисление,

использующее

(1), дает

%y(E2)

= xy(B,W)-Xy(F)

(3)

Пусть ( Р )

Е Г =

2

Р' q E r (f ^

2). Это — градуированное

пространство,

<?

равна х((р)^г)

Хр

( Е г ) ; оно

эйлерова

характеристика

которого

=

инвариантно

относительно dr, а его группа гомологии

совпадает

с WEr+\.

По

хорошо

известному

и

элементарному

результату

имеем x{(v)Er)

=

х{(р)Ет+\).

Следовательно, хр(Ет) =xp(Er+i),

г^2,

что вместе с

(2)

и (3)

и завершает

доказательство.

меоморфизмов

компактного

связного

комплексного

многообразия

X . Хотя это на самом деле и не нужно для дальнейшего, напо­

мним,

что по известной

теореме Бохнера — Монтгомери

А ( Х ) яв­

ляется комплексной группой Ли. Если X является

пространством

комплексно-аналитического расслоения (X,

У , F , я ) ,

то

всякий

эле­

мент из

А ° ( Х )

коммутирует

с

я

и,

следовательно,

имеется есте­

ственный

гомоморфизм

я 0 :

А°(Х)~*Л°(У)

(см.

Б л а н ш а р

[3],

стр.

160). В частности,

если

М и

N — связные

комплексно-анали­

тические

компактные

многообразия,

то

А ° ( М X N) — А ° ( М ) X

ХА°(М)

( Б л а н ш а р

(3),

стр.

161).

9.2.

Пусть

Мм , Л " , v є

Z; и, v ^

0) — произведение

S2 u +1 XS2 l '+1 ,

снабженное одной из

комплексных

структур, введенных

К а л а б и

и Э к м а н о м

[1]. Его

можно представить

как

пространство глав­

ного

комплексно-аналитического

расслоения

„

над BUi\v

=

=

Р„ (С) X Р 0

(С)

с

одномерным

комплексным

тором

Т в

ка­

честве слоя. Мы

имеем

А° (М„. v)

=

(GL (и +

1, С) X

GL (v +

1,

С))/Г,

где

Г — бесконечная

циклическая

дискретная

центральная

под­

группа

( Б л а н ш а р

[1]), а

отображение

v„,0 :

Л 0 ( М ц , о ) - > Л 0 ( В Ц і О )

=

Р О И « + 1 ,

C ) X P G L ( u

+

l , С),

ассоциированное

с

проекцией

я и >

0 :

М„, 0 - > В Ц

і 0

(см. 9.1),

совпа­

дает с

очевидным

гомоморфизмом.

Для

и = 0

или

о =

0 Мц , 0

есть

многообразие

Хопфа. Пусть

сти, „ — отображение,

являющееся

композицией

проекции

я„, 0 и

проекции

многообразия

ВИ і „

на

первый множитель. Тогда стЦі v

является

проекцией в комплексно-аналитическом

расслоении

т]Ці 0

со

слоем

М0, D . Чтобы это увидеть,

можно воспользоваться

сле­

дующим

фактом

(Бланшар

[1]): M u ,v

является

базой

комплексно-

аналитического

главного

расслоения, пространство

которого

со-

впадает с

М„,0 X М0 , „,

слоем служит

комплексный

одномерный

тор, а

проекция

v такова,

что

я„. v ° v = я„, о X яо. „: МВ і

о X М0 , „ -> В„, „.

9.3. Л е м м а .

Группа

Л°(М„ „)

действует

тривиально

на

Наше расслоенное пространство имеет связную структурную

группу и кэлеров слой (а именно

Т); поэтому 2.1 применимо. По

9.1

Л°(М и і „) является

группой автоморфизмов всей

расслоенной

структуры,

поэтому она

действует

на

спектральной

последователь­

ности.

Это

действие тривиально

на

Е2

=

Н-д (B u , 0 ) ® Я^ (Т),

так

как

и

В и , и и Т кэлеровы (см. 1.4); поэтому

действие

тривиально и

на

Еоо. Но

Еоо =

Gv(Hg(N\.Ui„));

в силу полной приводимости лю­

бая

компактная

подгруппа

из Л°(М„, „)

действует

тривиально

на

Я § ( М И , „ ) . Таким

образом,

ядром

действия

Л ° ( М и і В )

на Я ^ ( М О і 0 )

9.4. Л е м м а .

Я 1

, 0 ( М 0 , о ) =

0 при

v ^> 1.

Эта лемма известна. Для полноты напомним ее доказательство.

Многообразие

Мо, „

может быть определено как

факторпростран-

ство C„+i — {0} по дискретной

подгруппе,

порожденной

гомотетией

у: г—+c-z,

сФ\.

со*

Пусть

со — голоморфный

дифференциал

на M0 ,„.

Его прообраз

в

C„+i — {0} может быть

записан

в

виде со* =

=

gi-dzi

•••

+

gv+i• dzv+\,

где zt

— координаты, a

gi

голоморф­

ны

в

Сг;+1 — {0}.

Форма

со* инвариантна

относительно

у;

отсюда

следует, что

gt

(сп • z) =

с~п •g i (z),

n<=Z, t =

l , 2,

. . . . o +

l ;

это

показывает, что

если

g{ Ф

0, то gi не ограничена в окрестно­

сти начала координат, что противоречит теореме

Гартогса.

d-когомологии

многообразия М и > « порождаются

элементами,

тип которых будет указан индексами.

9.5. Т е о р е м а .

Пусть

и ^

о. Тогда

(М„, о) — С [*,. , ] / № ' ) ® А ( ж в + 1 і

„

х0<

Рассмотрим

сначала случай, когда и =

0.

В

спектральной

по­

следовательности для расслоения g0, v имеем

^ « c K i J / № ' ) ® A K o .

\

где

первый

множитель

в правой

части

равенства

представляет

собой

когомологий

базы

Р„(С), а

второй — когомологий

слоя

Т,

Элемент х0, і порождает

°' 1Е2 1

и переводится отображением d2 в

°* 2 2?|'°,

что

есть

нуль;

следовательно,

^2(^о, і) =

0-

Если

бы