ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 276
Скачиваний: 1
Здесь-------= m - — ошибка выборочной средней. Отсюда грани-
Ѵ п
цы доверительного интервала для генеральной средней М можно обозначить так:
x —t r r i j ^ M
Величина tmx, которую обозначим греческой буквой А (дельта), т. е. А — tmx, является максимальной погрешностью оценки ге нерального параметра М по величине выборочной средней х; &х называют также предельной или максимальной выборочной ошибкой средней арифметической.
f(x)
Рис. 10. Доверительные интервалы для трех порогов дове рительной вероятности — І3!= 0,95, Р 2 = 0,99, Р 3=0,999
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ
Определение возможных значений генеральных параметров по величине выборочных показателей носит общее название оценки генеральных параметров. Критерием оценки служит стан дартная величина нормированного отклонения (ist), с которой сравнивается фактическое значение этого критерия (/ф). В от ношении генеральной средней М этот критерий выражается сле дующими аналогичными отношениями:
X — М |
X — М |
|
tffi = ------, или |
L5 = ----------frt. |
|
тх |
а |
|
При t$<.tgt нулевая гипотеза сохраняется. Если же |
ну |
левую гипотезу следует отвергнуть. Например, в одной из кошар овцесовхоза на 95 особях средний настриг шерсти на одну овцу
100
составил 6,2 кг при а = 0,43 кг. Можно ли на основании этого ре зультата заключить, что настриг шерсти на этой кошаре досто верно снижен по сравнению со средним настригом шерсти по совхозу, равным 6,4 кг на овцу? Нормируя известные величины, находим:
6,2 - |
6,4 |
- 4 ,5 . |
|
t, |
У95 = |
|
|
0,43 |
|
|
|
Для Р = 0,99 tst = 2,58. Так как t$>tst, |
нулевая гипотеза |
отвер |
|
гается. |
|
|
|
Критерием достоверности |
различий, наблюдаемых |
между |
сердними х\ и Х2 , служит отношение разности х\ — x 2 — D к своей статистической ошибке. Именно:
при |
Пі = |
п2 |
Іф = |
X I |
— Х2 . |
|
|
(k — Пі -f- п2-f- 2 ) |
||
of + |
су2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
или |
|
|
х, — Хп |
|
= |
D > |
|
{k = n1 + n2 - 2 ); |
||
|
Г ф = ------- |
|
|
— |
|
|
|
|||
|
|
|
г .2 |
|
2 |
|
т т |
|
|
|
|
|
|
- J ± + * |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
«1 |
|
Щ |
|
|
|
|
|
при |
Щ ф п 2 |
іф= - |
|
|
|
Хі |
х 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
-I f |
(П 1 — |
U |
а І ~ H ^ 2 — |
0 |
g 2 п 1~\- П 2 |
||
|
|
|
У |
|
|
п1 -\-п2 — 2 |
|
пх X Щ |
||
|
|
|
|
> |
tstik = n1 -\-n2 - |
2 ). |
||||
Нулевая |
гипотеза заключается в |
предположении, что средние |
Мі и М2 генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, не отличаются друг от друга, т. е. Мі = М2.
Например, по данным госплемкниги, коровы горбатовской по роды по шестому отелу имеют средний суточный удой, равный х \= 13,12±0,46 кг, а коровы той же породы по третьему отелу дают в сутки в среднем х2= 14,28±0,73 кг. Разница в пользу ко
ров второй |
группы составляет: |
14,28— 13,12= 1,16 кг. |
Ошибка |
||
этой |
разницы: mD= -]/0,732 + |
0,462 = |0,74 = |
0,86 кг, |
откуда |
|
іф = |
—— = |
1,35. По табл. I приложений для |
^ = 1,35 находим |
||
|
0,86 |
|
|
|
|
Р = 0,82. Так как эта величина не достигает даже первого порога доверительной вероятности (Р = 0,95), нулевую гипотезу отверг нуть нельзя; наблюдаемую разницу в суточном удое между ко ровами разных групп следует считать статистически недостовер
101
ной. Это значит, что вопрос о больших удоях коров по третьему отелу остается открытым.
Нулевую гипотезу можно испытать и путем сопоставления доверительных интервалов сравниваемых параметров. В данном случае при Р = 0,95 доверительные интервалы для генеральных параметров будут следующими:
х х ± tm—= 13,12 ± 1,96 X 0,46= 13,12 + 0,90= 12,2214,02;
*7+ t m - = 14,28 ± 1,96 X 0,73= 14,28 ± 1,43= 13,8515,71;
Видно, что границы доверительных интервалов почти совпадают друг'с другом, что не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу.
Рассмотрим следующий пример. Анализы сыворотки крови, взятой у клинически здоровых и страдавших припадками тета нии обезьян, дали следующие результаты (табл. 26).
Таблица 26
|
|
Количество |
электролитов в сыворотке мг% |
|
||||
|
|
калий |
|
|
кальций |
|
||
Группы животных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
х + т п — |
а 2 |
п |
x +m— |
а 2 |
||
|
|
~ |
X |
|
|
~ |
X |
|
Нормальные |
89 |
1 8 ,5 6 |
± 0 , 2 0 |
3 , 4 2 |
100 |
1 1 , 9 0 + 0 , 1 2 |
1 ,4 4 |
|
Припадочные |
107 |
1 8 ,1 4 |
± 0 , 1 1 |
3 , 7 6 |
42 |
8 , 9 2 + 0 , 1 7 |
1 ,2 5 |
Нужно сравнить нормальных и припадочных животных по этим показателям. Разность по калию равна: 18,56—18,14 = = 0,42 мг%. Находим ошибку этой разности:
|
Л/ |
(Пі — 1) оі2 + (п2— 1) ст22 |
X+1 + |
n2. |
||
|
mD |
Пі |
ТІ2 — 2 |
|
X ~ |
|
|
' |
|
Пі X «2 |
|||
-і/ 88 X 3,42 + |
106 X 3,76 |
ч/89 + |
107 |
|
196 |
|
V |
8 9 + 107 — 2 |
X 89X |
107 |
3,61 X 9523 |
||
|
|
= У0,074 = 0,27 мг % • |
|
|||
|
|
|
0,42 |
1,56. |
Оценим эту ве |
|
Критерий достоверности ■— |
|
|||||
|
|
|
0+7 = |
У |
|
личину по табл. V приложений, в которой для Р = 0,05 и числа степеней свободы k= (п\— 1) + («2— 1 ) = п і + я 2— 2 = 89+107— —2=194 находим ^г = 1,96. Так как 7ф= 1,56<7S(= 1,96, нулевая гипотеза сохраняется; разницу между нормальными и припа-
102
дочными особями по уровню калия |
(мг%) |
в сыворотке |
крови |
||||||||||
нужно |
признать статистически недостоверной. |
|
|
||||||||||
Разница между теми же группами животных по уровню каль |
|||||||||||||
ция |
в |
|
сыворотке |
крови |
составляет: |
11,90 — 8,92 = 2,98 |
мг%. |
||||||
Ошибка этой разницы: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
m D |
і / |
2 |
|
пі + |
л2 |
38 X |
100 + |
42 |
У0,047 = |
0,22 |
мг%, |
||
= |
|/ |
OsX' |
Пі X |
п2 Ь |
|
|
= |
||||||
откуда |
|
|
|
|
100X42 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2,98 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Іф |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0,22 |
13,5. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В данном |
случае |
k = 100 + 42 — 2= 140 |
и |
^<= 1,96. |
Поскольку |
||||||||
|
|
|
нулевая гипотеза |
отвергается; |
разница между |
припа |
дочными и нормальными обезьянами по этому признаку оказа лась статистически достоверной. ■
При оценке разности между средними х\ и х 2, характеризую щими редкие события, которые распределяются по закону Пуас сона, критерием достоверности можно взять отношение
Достоверность (т. е. неслучайность) разности между сред ними зависит не только от абсолютной величины этой разности, но также от объемов выборок, на которых вычислены эти пока затели, и от размаха варьирования признаков. Неопровержение нулевой гипотезы еще не служит доказательством того, что раз ница между генеральными параметрами отсутствует. Статисти ческая недостоверность разницы свидетельствует лишь о том, что такая разница не доказана и вопрос остается открытым.
При сравнении статистических показателей друг с другом следует учитывать, на каких совокупностях — зависимы^ или независимых-— они получены. Если варианты одного признака^ распределяются независимо от распределения значений другого признака Y, -они называются независимыми. Если же значения одного признака в той или иной степени связаны с соответствую щими значениями другого признака, они зависимы друг от друга. Выше рассматривались примеры независимых выборок. Случаи зависимых переменных рассматриваются ниже.
МА Л Ы Е В Ы Б 0 Р К И Т-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА
Во многих случаях объем выборочной совокупности не пре вышает 20—30 наблюдений. Такие выборки называются м а л ы
103
/
м и. Представление о малых и больших выборках связано с ис следованиями Вильяма Госсета (1908), печатавшегося под псев донимом Стьюдент (Student). Исследуя закон распределения ма
лой выборки («< 30), он |
впервые |
установил, что выборочная |
|||||
случайная величина |
t = |
X — М г |
имеет |
непрерывную |
' |
||
---------уп |
функ- |
||||||
|
|
а |
|
|
|
|
|
цию распределения |
(для — о о < ^ < + оо) |
с плотностью, |
равной |
||||
|
|
/ |
і2 |
- |
* |
|
|
|
|
\ 2 |
|
|
|||
/ ( / ) = с п_Л і + — -) |
, |
|
|
||||
где Сп-і — константа, зависящая только от числа |
степеней сво |
||||||
боды k = n—1. |
^-распределения |
Стьюдента |
оказывается |
||||
Характерным для |
то, что оно строго симметрично относительно нулевой точки в системе координат, где г“= 0; оно зависит от двух величин: нор мированного отклонения t и объема выборки (п), который берет ся числом степеней свободы; степень различия ^-распределения Стьюдента от нормального распределения определяется только числом степеней свободы k\ с увеличением п распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному с параметрами
М= 0 и а=1 и уже при |
30 практически не отличается от него |
(табл. 27). |
Т а б л и ц а 27 |
|
В табл. 27 приведены значения функции нормального рас пределения и распределения Стьюдента для разных значений t (значения функции даны трехзначными числами после запятой). Из этой таблицы видно, что, начиная с « = 30, распределение кри терия t Стьюдента практически уже не зависит от п. Наглядное представление об особенностях ^-распределения дает рис. 11, на
* Под плотностью распределения понимается число случаев, приходящихся на единицу ширины классового интервала непрерывно варьирующей величины. Иначе, плотность распределения — это отношение частоты данного интервала к его ширине, выраженное в единицах измерения вариант данного ряда.
104