Файл: Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие.pdf

2. Выборочная ошибка суммы нескольких средних арифмети­ ческих, сопровождаемых их ошибками, равняется

Применительно к тому же примеру обобщенная ошибка трех средних

т7 = іЛ),122 + 0,1824-0,092=0,21.

3. Ошибка произведения двух выборочных средних с их ошибками определяется по формуле

Например, нужно найти произведение:

хі = 10,3 ±0,11

Х2 = 8,2 ± 0,12

Хі X Х2 = 10,3 X 8,2 = 84,46.

Ошибка произведения этих средних будет равна:

тп = 84,46 У ( ^ і )2 + ( - ^ - ) 2 = 84,46 X 0,18 = 15,2.

4. Ошибка частного от деления средних арифметических с их ошибками определяется по следующей формуле:

=1,26X0,18=0,22.

5.Ошибка разности выборочных средних (х\—хг = D) двух

95

6. Ошибка разности выборочных средних (хі—х 2 — D) двух независимых, но неравновеликих выборок (т. е. при Піфп2) рав­ няется:

7. Выборочная ошибка разности средних {х\—х 2 = D) сопря­ женных распределений, т. е. таких, которые находятся в зависи­ мости друг от друга или от какой-нибудь общей причины, вычис­ ляется по формуле 58 с поправкой на сопряженность т. е.

Здесь г —•коэффициент корреляции, показывающий степень со­ пряженности двух рядов распределений (см. ниже).

Выборочную ошибку разности средних арифметических сопря­ женных распределений можно вычислить, не прибегая к исполь­ зованию коэффициента корреляции, по следующим аналогичным формулам:

Здесь d — разность между соответствующими вариантами сопря­ женных рядов X и Y, т. е. d = x—у; d — средняя разность, т. е. 2d

— = d — X — у — D\ п — общее число парных наблюдений.

п

Соответствующие примеры по использованию этих формул при­ водятся ниже.

96

Показатель точности оценки параметров

Сама по себе абсолютная величина выборочной ошибки как показатель именованный мало пригодна для случаев сравнитель­ ной оценки точности, с какой определены средние результаты на­ блюдений по отношению их к генеральным параметрам. Напри­ мер, имеются средние: хі = 86,1 ±0,7 см и х2 = 17,4 ±0,2 г. По аб­ солютной величине их ошибок трудно сказать, какая средняя определена более точно, поскольку средние с их ошибками вы­ ражены разными единицами меры.

Чтобы получить определенное представление о точности, с какой определен тот или иной средний результат, принято исполь­ зовать так называемый показатель точности (Cs), представляю­ щий отношение выборочной ошибки к своей средней арифмети­ ческой:

X

Когда известно значение коэффициента вариации (СУ), показа­ тель точности можно определить по следующей формуле:

Под точностью определения выборочной средней понимается степень приближения ее к средней генеральной совокупности. Чем точнее определен средний результат, тем меньше будет Cs, и наоборот, при менее точном среднем результате показатель Cs окажется больше. Точность считается достаточной, если Cs не превышает 3—5%. Так, для приведенных выше средних показа­ тель точности в обоих случаях оказывается очень высоким:

Вместе с тем видно, что первая средняя определена более точно, чем вторая.

С Т А Т И С Т И Ч Е С К А Я П Р О В Е Р К А Г И ПО Т Е З

НУЛЕВАЯ ГИПОТЕЗА і " '"

Почти во всех случаях выборочного наблюдения параметры генеральной совокупности остаются неизвестными. О них прихо­ дится судить по выборочным данным, т. е. гипотетически, так как выборочные показатели являются величинами случайными. Для оценки величины генеральных параметров по выборочным показателям в биологии используется так называемая н у л е в а я

г и п о т е з а , т. е. предположение о том, что генеральные пара­ метры, о которых судят по выборочным данным, не отличаются друг от друга, и что разница, наблюдаемая между выборочными показателями, носит не систематический, а исключительно слу­ чайный характер. Выдвигая нулевую гипотезу, экспериментатор исходит из предположения, что наблюдаемая изменчивость при­ знака зависит не от действия организованного фактора, а опре­ деляется второстепенными, нерегулируемыми в опыте случайны­ ми причинами.

УРОВНИ ЗНАЧИМОСТИ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Сформулированная гипотеза нуждается в проверке. Чтобы ее принять или отвергнуть, нужны основания. Их дает теория веро­ ятностей, позволяющая увязывать статистические гипотезы с оп­ ределенной вероятностью. Следуя закону нормального распреде­ ления, можно утверждать, что в 95% случаев выборочная средняя

(х) не отклонится от средней (М) генеральной совокупности

X — .A4

больше, чем на 2t, іде t = -------- . И только 5% случаев, считая

а

отклонения от М в + и — направленных, выйдет за эти границы. Это значит, что вероятность получить в выборке средний резуль­ тат, который отклонится от генерального параметра на 2 t, равна лишь 0,05. Если же речь идет об отклонении от М только в одну сторону, вероятность будет вдвое меньше (Р = 0,025). Процент таких маловероятных случаев, которые противоречат принятой ги­

нимается 5%-й уровень значимости, которому соответствует ве­ роятность Р = 0,05. В более ответственных случаях, когда выводы должны быть особенно строгими, принимается 1%-й или 0,1 %-й уровни, которым соответствуют ^ 2 = 0,01 и Р 3 = 0,001.

Таким образом, вероятность, которой решено пренебречь при оценке генеральных параметров по данным выборочных наблю­ дений, выражается принятым уровнем значимости. Вероятность же обратных случаев, когда гипотеза заслуживает доверия, на­ зывается д ов е р и т ел ь н о й вероятностью. Обычно в исследо­ вательской практике принимаются три порога доверительной ве­ роятности: Р] = 0,95; Рг = 0,99 и /%=0,999. Из табл. I приложений видно, что каждый порог, или уровень доверительной вероятнос­

Величина доверительной вероятности или уровень значимо­ сти при проверке гипотез устанавливается самим исследовате­

98

лем в зависимости от степени точности, с какой проводится ис­ следование и ответственности выводов, вытекающих из него. При этом уровни значимости и доверительные вероятности обо­

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ И ЕГО ГРАНИЦЫ

Границы, в которых с той или иной вероятностью находится параметр генеральной совокупности, называются доверительны­ ми, а интервал, заключенный между этими границами, носит название доверительного. Опираясь на закон нормального рас­ пределения, который утверждает, что вероятность отклонения любой варианты от центра распределения определяется функ­ цией нормированного отклонения, можно в общей форме следую­ щим образом установить доверительный интервал для неизвест­ ного генерального параметра М\

М

+ і-

Преобразуя это выражение, получаем: х — to ^ М ^ х + to. Это и есть доверительный интервал, в котором находится величи­

неизвестный генеральный параметр М нормально распределяе­ мой совокупности находится в интервале

X — 1,96а ^ М ^ X + 1,96а.

На рис. 10 изображена нормальная кривая и указаны довери­ тельные границы интервалов, соответствующие трем порогам доверительной вероятности.

Так как выборочная средняя х варьирует вокруг генеральной

средней М в У п — раз меньше, чем любая отдельно взятая вари­ анта данной совокупности, распределяемой по нормальному за­ кону, то нетрудно установить доверительные границы интервала для генерального параметра М по величине выборочной сред­ ней X: