Файл: Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие.pdf

Характеристики этого распределения оказались: х = 394,0 мг; я=41,6 мг\ С1/ = 10,6% и Лх=+0,56. Видно, что перегруппировка вариант сильнее сказалась на величине коэффициента асиммет­ рии и совсем незначительно на других характеристиках ряда. Из приведенных примеров видно, что асимметрия действительно мо­ жет быть кажущейся, возникающей по чисто техническим причи­ нам как следствие группировки совокупности наблюдений в ва­ риационный ряд. Вместе с тем асимметрия может иметь и не случайный, а систематический характер, являясь следствием гетерогенности выборочного материала. В литературе имеются указания на то, что асимметрия и эксцесс могут возникать не только при смешении генетически неоднородного материала, но и вследствие модифицирующих влияний условий среды, в кото­ рых существует популяция. В частности, асимметрия в распреде­ лении некоторых признаков у сельскохозяйственных растений вызывается такими условиями, как засуха и невыравненность агрофона в отношении питания растений (Иогансен, 1933; Кон­ стантинов, 1952 и др.). В качестве примера приводим данные, по­ казывающие, как при прочих равных условиях изменяются ха­ рактеристики распределения озимой ржи по длине колосьев в за­ висимости от густоты стояния растений в посевах этой культуры |табл. 34).

Т а б л и ц а 34

С уплотнением массы растений на единице площади умень­ шается средняя длина колосьев, и параллельно с этим увеличи­ вается значение коэффициента асимметрии.

Итак, отклонения от нормального распределения могут быть вызваны разными причинами. По-видимому, не всегда эти при­ чины носят случайный или временный характер. Многие факты говорят о том, что в отношении ряда изученных признаков асим­ метрия является неотъемлемым атрибутом их варьирования. Та­ кого рода отклонения от кривой нормального распределения мо­ гут служить показателем величины тех изменений, которые признак претерпевает в процессе своего развития. Разумеется, помогая исследователю характеризовать ту или иную форму рас­ пределения, биометрия не претендует на причинный анализ асим­ метрии и других отклонений от нормального закона. Она лишь может указывать, в каком направлении следует вести биологиче­

232

ский анализ для того, чтобы вскрыть биологическую природу асимметричных распределений.

ОЦЕНКА ЭМПИРИЧЕСКИХ РЯДОВ ПО НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ

Оценка закона распределения довольно просто и с достаточ­ ной точностью достигается путем нахождения теоретических час­ тот по частотам эмпирического вариационного ряда, с последую­ щим сопоставлением эмпирического и вычисленного рядов друг с другом. Нахождение теоретических частот вариационного ряда по тому или иному закону распределения вероятностей носит на­ звание выравнивания эмпирических распределений. Будучи вы­ ражен в графической форме, эмпирический вариационный ряд выглядит обычно не в виде плавной, а ломаной вариационной кривой. Отсюда возникает необходимость выравнивания таких рядов и кривых распределения с тем, чтобы освободить их от всего случайного, выявить основную тенденцию варьирования и вместе с тем закон распределения.

Для нахождения теоретических частот вариационного ряда по нормальному закону Гаусса — Лапласа служит следующая рабо­ чая формула:

где р' — вычисленная или теоретическая частота; п —-сумма всех частот, т. е. объем эмпирического вариационного ряда; і — вели­

нормированного отклонения, значения которой (ординаты нор­ мальной кривой) приведены в табл. II приложений.

Таким образом, для нахождения теоретических частот эмпи­ рического вариационного ряда достаточно значения вероятности, соответствующие нормированным отклонениям частот эмпириче­

ского ряда умножить на - ^ 1. Продемонстрируем эту методику

о

на примере распределения 267 датских угрей по числу позвонков. Средняя арифметическая этого ряда 114,74 позвонков, а 0 = 1,35 позвонков. Для получения теоретических частот этого распреде­ ления нормируем его, т. е. находим отклонения вариант от их средней арифметической, выражая каждое отклонение в долях среднего квадратического отклонения (табл. 35).

Затем из табл. II приложений выписываем ординаты нормаль-

X — X

ной кривой для каждого значения t = ------- эмпирического рас-

0

пределения. Перемножая значения ординат на величину п Х і»

вычисленные частоты данного распределения (см. последнюю гра-

Рис. 17. Эмпирическая и выравненная по нормально­ му закону кривые распределения 267 датских угрей по числу позвонков:

на оси абсцисс — количество позвонков, на оси ординат — частоты

фу табл. 35). Из табл. 35 видно, что вычисленные и эмпирические частоты в общем неплохо согласуются между собой, что более наглядно показано на рис. 17.

Описанный способ применяется и к расчету теоретических частот непрерывно варьирующих признаков, с предварительным превращением интервальных вариационных рядов в ряды дис-

134

кретных распределений. Покажем это на примере распределе­ ния кальция (мг%) в сыворотке крови павианов-гамадрилов с его характеристиками: ж = 11,9 мг% и о=1,2 мг%. В данном слу-

В данном случае также обнаруживается довольно хорошее сов­ падение эмпирических частот с вычисленными частотами вариа­ ционного ряда, что служит основанием считать его соответству­ ющим нормальному закону.

ОЦЕНКА ЭМПИРИЧЕСКИХ РЯДОВ ПО ЗАКОНУ ПУАССОНА

В общем по той же методике, что описана выше, но еще более просто, определяются теоретические частоты тех эмпирических распределений, которые следует закону Пуассона. Для этого не­ обходимо воспользоваться таблицей Пуассона (см. приложения

ат

табл. III), в которой помещены значения — е~а ,входящие в co­ rn!

став формулы, определяющей функцию распределения редких событий. Зная среднюю (ж) эмпирического распределения, по указанной таблице находят вероятности, соответствующие значе­ ниям т : 0, 1, 2, 3 и т. д. Затем вероятности умножаются на общее число наблюдений (п) . В результате получаются вычисленные или теоретические частоты (р') для каждого т.

Продемонстрируем эту методику на примере распределения поражаемости клеток альфа-частицами по данным, приведенным в табл. 22 (пятая глава). Средняя арифметическая этого распре­

135

деления я = 1,54. Расчет теоретических частот показан в следую­ щей табл. 37.

Т а б л и ц а 37

Видно, что вычисленные частоты довольно хорошо согласуются с распределением эмпирических частот этого ряда. Следователь­ но, есть достаточные основания считать, что в данном случае час­ тота поражаемое™ клеток альфа-частицами распределяется по закону Пуассона.

КРИТЕРИИ СООТВЕТСТВИЯ ЭМПИРИЧЕСКИХ И ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Критерий хи-квадрат (х2)

Статистическая оценка расхождений, наблюдаемых между эмпирическими и теоретическими или ожидаемыми частотами вариационного ряда, производится с помощью особых критериев соответствия, называемых также критериями согласия. Одним из таких критериев, широко используемых в биометрии, является критерий X2 (хи-квадрат), предложенный Пирсоном в 1901 г. Он представляет сумму квадратов отклонений эмпирических частот от частот теоретачееких, отнесенную к теоретическим частотам вариационного ряда, т. е.

(р — р' ) 2

%2 = 2 U- nf L - t (72)

Р

где р — эмпирическая, а р' — соответствующая теоретическая,

т.е. вычисленная, или ожидаемая, частоты, 2 — знак суммы. Обозначив разность между эмпирическими и теоретическими

136