Файл: Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие.pdf

Для нахождения величины критерия хи-квадрат необходимо: 1) по каждому классу вариационного ряда найти разницу между фактическими и вычисленными частотами, т. е. р — p' = d; 2 ) возвести разницу в квадрат (d2) и отнести к вычисленным час­ тотам (р') для каждого класса и 3) суммировать полученные от-

/ d 2 \

ношения^__j для всех классов вариационного ряда — это и

будет величина хи-квадрат. Так как отклонения эмпирических частот от частот вычисленных возводятся в квадрат, то величина критерия хи-квадрат всегда положительная. Поэтому при уста­ новлении разности р — p' = d знаки можно не учитывать.

Если 2 (р —р') =0, то %2=0, что указывает на полное соот­ ветствие фактических частот вычисленным частотам вариацион­ ного ряда. Если же критерий хи-квадрат не равен нулю, это может указывать на несоответствие фактических частот вычис­ ленным частотам данного вариационного ряда. В таких случаях нужно оценить величину критерия хи-квадрат, которая теорети­ чески может изменяться от 0 до оо. Оценка значимости критерия хи-квадрат производится с помощью специальной таблицы, при­ веденной в приложениях под № VIII. В этой таблице содержат­ ся критические (стандартные) значения критерия хи-квадрат для трех уровней доверительной вероятности и разных чисел степе­ ней свободы, которые берутся по правилам, указанным ниже.

Если % нулевая гипотеза сохраняется, т. е. оправдывается предположение, что расхождение между фактическими и теорети­ ческими или ожидаемыми частотами носит исключительно слу­ чайный, а не систематический характер. В противном случае, т. е. ПРИ Уф2^ :Г) н у л е в а я гипотеза отвергается. Таким образом с помощью критерия хи-квадрат выясняется, соответствует ли эм­ пирическое распределение тому закону, по которому вычислены теоретические частоты ряда.

Распределение вероятных значений случайной величины %2 является непрерывным и ассимметричным (рис. 18); оно зави­ сит от числа степеней свободы (k) и приближается к нормаль­ ному распределению по мере увеличения числа наблюдений

(п). Поэтому применение это­ го критерия для оценки дис­ кретных распределений сопря­ жено с некоторыми погрешно­ стями, которые особенно сильно сказываются на малочислен­ ных выборках В силу отмечен­ ных особенностей показателя­ ми правильного применения

137

критерия хи-квадрат считается наличие в выборке достаточного числа вариант и чтобы в крайних классах сравниваемых распре­ делений имелось минимально допустимое количество теоретиче­ ских частот. Обыкновенно не рекомендуется, чтобы число вари­ ант в крайних классах теоретически рассчитанного ряда было меньше 5. Однако по данным Ван дер Вардена, исследовавшего этот вопрос, количество вариант в крайних классах вариационно­ го ряда следует связывать с числом ступеней свободы следую­ щим образом:

При наличии в крайних классах теоретически вычисленных час­ тот меньше указанного количества следует объединить теоретиче­ ские частоты смежных классов так, чтобы выполнялись требова­ ния Ван дер Вардена. Соответственно объединяются и частоты крайних классов эмпирического вариационного ряда. Число сте­

ного ряда. Чтобы получились достаточно надежные результаты, общее число наблюдений (п), распределяемых в вариационный ряд, должно быть не менее 30.

Так как точность вычисления величины критерия хи-квадрат в значительной мере зависит от точности самих значений р', при установлении разности р —p' = d следует пользоваться неокруг­ ленными теоретическими частотами (р' ). Следует также иметь в виду, что критерий хи-квадрат не применим к частотам, выра­ женным в процентах, долях единицы, т. е. в относительных еди­ ницах измерения.

138

Продемонстрируем применение критерия хи-квадрат на при­ мерах. Воспользуемся данными табл. 35 и вычислим критерий хи-квадрат для распределения датских угрей по числу позвонков, имея в виду гипотезу о нормальности этого распределения. Ход

VIII находим Xst2=11,1. Так как фактическая величина критерия

степеней свободы, нулевая гипотеза сохраняется; небольшие рас­ хождения между частотами эмпирическими и вычисленными по нормальному закону следует признать случайными.

Применим тот же критерий к оценке эмпирического ряда рас­ пределения числа клеток, пораженных альфа-частицами. Теоре­ тические значения частот этого ряда приведены в табл. 37. Расчет критерия хи-квадрат показан в следующей табл. 39.

Т а б л и ц а 39

2

В данном случае %ф=8,Ъ2. Для Р = 0,95 и числа степеней свобо­ ды k = tii — 2 = 7—2 = 5 по табл. VIII находим %si2= 11,1. Посколь­

ку X(f)<%st >нулевую гипотезу отвергнуть нельзя. На этом осно­ вании следует заключить, что данное распределение следует за­ кону Пуассона.

Критерий хи-квадрат можно использовать и для сравнения друг с другом двух однородных эмпирических распределений, т. е. таких, у которых одни и те же границы классов. Критерий хи-квадрат в таких случаях определяется по формуле

139

где п\ и п2— объемы сравниваемых распределений; рі и р2— час­ тоты соответствующих классов или классовых вариант.

Рассмотрим следующий пример. Урожай фасоли от посева крупных и мелких семян распределился следующим образом:

В данном случае через х обозначены классовые варианты по весу отдельных семян фасоли, выраженному в мг, а через р\ и р2— распределение урожая, полученного в одних и тех же усло­ виях выращивания растений от посева крупных (рі) и мелких (р2) семян. Сопоставим полученные данные, как того требует формула 73 (табл. 40). Подставляя известные значения в фор­

вую гипотезу; расхождение между этими распределениями нель­ зя признать случайным.

Критерий хи-квадрат применим не только к оценке вариаци­ онных рядов, но и к выборкам, группируемым в четырехпольные и многопольные таблицы. Поэтому он находит широкое примене­ ние в генетике, селекции и семеноводстве, а также в фармаколо­ гии при оценке действия лекарственных веществ и во многих дру­ гих областях знания. Соответствующие примеры приводятся ниже.

140