ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 294
Скачиваний: 1
отклонения классов (или классовых вариант). Коэффициент кор реляции определяется по следующей формуле:
г _ Ърахау — п Ь х Ьу |
^ і о з ^ |
?1(Ух@у |
|
Здесь а — отклонения классов или классовых вариант от услов ных средних Ах и Ау, отнесенных к величинам классовых интер валов, т. е. ах= (Хі—А) : іх и ау= (уі—А) : іу; р — частоты клас-
, Spa
совых вариант; о = —----- условный момент первого порядка;«—
общее число наблюдений или объем выборки; ax w оу — средние квадратические отклонения рядов, вычисляемые без умножения на величину классового интервала.
Продемонстрируем описываемый способ вычисления коэффи циента корреляции на следующем примере. В табл. 61 собраны данные о годовом удое коров горбатовской породы в зависимости от их живого веса. Выборка составлена по материалам Госплем книги этой породы скота, в нее вошли 100 измерений коров, вклю чая первотелок и коров по второму и третьему отелам.
Т а б л и ц а 61
Вес (кг) |
Удой (кг) |
Вес (кг) |
Удой (кг) |
Вес (кг) |
Удой (кг) |
Вес (кг) |
Удой (кг) |
327 |
2325 |
440 |
3219 |
287 |
1396 |
360 |
2696 |
327 |
2310 |
323 |
2803 |
295 |
2523 |
245 |
2615 |
302 |
1761 |
405 |
1806 |
337 |
1819 |
324 |
2510 |
294 |
2035 |
411 |
2385 |
339 |
2133 |
345 |
2715 |
410 |
2172 |
434 |
2826 |
400 |
1918 |
368 |
2103 |
342 |
2277 |
352 |
1832 |
306 |
1302 |
397 |
2023 |
409 |
2784 |
'295 |
2413 |
335 |
2372 |
405 |
2162 |
311 |
1523 |
369 |
2625 |
341 |
2688 |
368 |
2403 |
297 |
1838 |
444 |
2614 |
343 |
2131 |
418 |
2483 |
364 |
1984 |
319 |
3297 |
411 |
2901 |
371 |
2016 |
377 |
1775 |
303 |
1946 |
316 |
2151 |
382 |
2715 |
358 |
2700 |
352 |
2278 |
314 |
1734 |
410 |
2878 |
284 |
2241 |
344 |
2111 |
396 |
2537 |
443 |
2431 |
314 |
1954 |
361 |
3082 |
339 |
1979 |
385 |
3048 |
352 |
2046 |
303 |
2478 |
332 |
2142 |
285 |
1791 |
387 |
2323 |
328 |
2801 |
328 |
1917 |
321 |
2554 |
375 |
1710 |
344 |
2248 |
314 |
1873 |
351 |
2281 |
311 |
1868 |
284 |
1085 |
409 |
2630 |
331 |
2292 |
332 |
2166 |
295 |
2293 |
367 |
2100 |
355 |
2340 |
262 |
1384 |
360 |
2282 |
396 |
2493 |
396 |
2606 |
333 |
2288 |
244 |
1736 |
384 |
2632 |
390 |
2499 |
381 |
2249 |
279 |
1446 |
356 |
2043 |
426 |
3013 |
320 |
1520 |
303 |
2376 |
426 |
2358 |
430 |
2933 |
295 |
2389 |
329 |
1937 |
338 |
2309 |
386 |
2682 |
345 |
2012 |
323 |
1999 |
300 |
1442 |
331 |
1689 |
Чтобы разобраться в этом материале и выяснить, существует ли связь между весом коров и их годовым удоем, обозначим через X — удой, а через У — вес животных. В совокупности наблю-
184
дений находим минимальные и максимальные варианты, они ока
зываются следующими: xmln=1085 и |
%тах= 3219; утт=244 и |
і'тах = 446. В пределах этих значений |
нужно разбить вариации |
признаков на классы, предварительно выбрав ширину классовых интервалов. При этом следует иметь в виду, что выбор очень круп ных интервалов снижает точность определения коэффициента корреляции. Опыт показал, что при п^Ю О лучше брать не менее 12—15 интервалов. Этому условию не удовлетворяют формулы Стерджеса (1) и Брукса-Карузерс (2), которые использовались выше. Учитывая отмеченное обстоятельство, наметим ширину
классовых |
интервалов, равную: |
по удою іх=150 кг, |
а по весу |
|||||
коров гу=15 кг. Затем намечаем |
следующие классы |
распреде |
||||||
лений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
х: |
1000 —1150 —1300 —1450 —1600 -1750 —1900 -2050— |
|||||||
—2200 —2350 —2500 -2650 -2800 —2950 —3150 —3300 |
||||||||
у: |
235 -2 5 0 |
-2 6 5 |
—280 |
-2 9 5 |
-3 1 0 |
-3 2 5 |
-3 4 0 |
— |
у: |
—355 -3 7 0 |
-3 8 5 |
—400 -4 1 5 |
-4 3 0 |
-4 4 5 |
-4 6 0 |
В каждом ряду получилось по пятнадцать классов. Уточнив гра ницы классов (сокращением верхних границ на 0,1), строим кор реляционную решетку и все 100 вариант разносим по ее клеткам, т. е. соответствующим классам сопряженных вариационных ря дов (табл. 62).
Распределив все варианты по классам, подсчитываем их ко личество в каждом классе по ряду х и по ряду у. В итоге получа ем два сопряженных вариационных ряда с их частотами рх и ру (см. нижнюю строку и крайнюю графу решетки). Далее находим значения моментов Ьх и Ьѵ, рассчитываем средние квадратиче ские отклонения — ах и оѵ— и определяем величину Ърахау. Что бы избежать вспомогательных таблиц, расчет указанных значе
ний производим |
прибавив |
к корреляционной |
решетке нужные |
||
столбцы и строки; по их суммам находим: |
|
||||
, |
2рах |
769 |
7,69; |
2рау |
715 |
Ьх = |
------ |
= |
п |
.= 7,15; |
|
|
п |
TÖ0 |
|
100 |
и/ 6731
Ох — ' 100
у 6021
Оу — ' Too
Наибольших усилий требует вычисление величины Еражяу. Для этого частоты (рху) каждой клетки корреляционной решетки умножаются на соответствующие отклонения классов (или клас-
185
Т а б л и ц а 62
'S . |
Вес |
к. ' |
235 — 250— 2 6 5 - |
2 8 0 - |
2 9 5 - 310 — ' 325— |
340— |
355— |
370— 385— 400-— 415— 430— |
445— |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
249 |
|
264 |
279 |
294 |
309 |
324 |
' |
339 |
354 |
369 |
384 |
399 |
414 |
|
429 |
|
4 4 4 - |
459 |
|
|
|
|
Удой |
X |
|
242,5 |
257,5 |
272,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
X |
РаX |
Ра1 |
|
|
287,5 |
302,5 |
317,5 |
|
332,5 |
347,5 |
362,5 |
377,5 |
392,5 |
407,5 |
|
422,5 |
437,5 |
452,5 |
|
|
|
|
|||||||
1000-1149 |
1075 |
• |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1150-1299 |
1225 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1300-1449 |
1375 |
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
10 |
20 |
|
1450-1599 |
1525 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
6 |
18 |
|
1600-1749 |
1675 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
16 |
64 |
|
1750-1899 |
1825 |
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
9 |
5 |
45 |
225 |
|
1900-2049 |
1975 |
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
14 |
6 |
84 |
504 |
|
2050—2199 |
2125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
10 |
7 |
70 |
490 |
|
2200-2349 |
2275 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
5 |
4 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
16 |
8 |
128 |
1024 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
I |
1 |
1 |
|
1 |
||
|
---- ЧС*^.-------- ---- |
- ' — |
"• .................................... «Ч*- ' |
.............. .......................... ........................ .................. - - - |
- - |
|
• |
- |
- *W - |
|
--Ѵ |
» ' • ' |
|
|
■ |
■чЯ |
|||||||||
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
I |
|
1 |
||
2350-2499 |
2425 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
12 |
9 |
108 |
972 |
|
2500-2649 |
2575 |
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
10 |
10 |
100 |
1000 |
|
2650-2799 |
2725 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2. |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
7 |
11 |
77 |
847 |
|
2800—2949 |
2875 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
6 |
12 |
72 |
864 |
|
2950-3099 |
3025 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
13 |
39 |
507 |
|
3100-3249 |
3175 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
14 |
14 |
196 |
|
|
Ру |
|
2 |
|
1 |
1 |
5 |
10 |
12 |
|
15 |
12 |
11 |
6 |
8 |
9 |
|
3 |
|
4 |
1 |
100 |
— |
769 |
6731 |
|
а У |
|
0 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
12 |
|
13 |
14 |
— |
|
|
|
|
Рау |
|
0 |
|
1 |
2 |
15 |
40 |
60 |
|
90 |
84 |
88 |
54 |
80 |
99 |
|
36 |
|
52 |
14 |
715 |
|
|
|
|
Р а 2 |
|
0 |
|
1 |
4 |
45 |
160 |
300 |
|
540 |
588 |
704 |
486 |
800 |
1089 |
432 |
|
676 |
196 |
6021 |
|
|
|
|
|
г у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р хУахау |
0 |
|
2 |
4 |
63 |
260 |
405 |
|
654 |
644 |
768 |
396^ 760 |
869 |
|
372 |
|
559 |
196 |
5952 |
|
|
|
совых вариант) сначала одного, а затем другого вариационных рядов. Полученные результаты суммируются и записываются в строке (или в столбце) 2,рахау. Например, число рахау= 4 полу чено следующим образом: в третьей клетке решетки, смотря сле ва направо и сверху вниз, имеется всего одна варианта, т. е. Рху= 1. Каждый класс, к которому относится эта варианта, откло няется от условного начала (А), где а = 0, на две единицы. Отсю да находим:
Р х у X ß y X ^X =: Pt t yQx
1 X 2 X 2 = 4.
Таким же образом определяется рхахау следующего столбца:
Р х у X fly X Аж — p C ty ü X
1Х З Х 0 = 0 1Х З Х 2 = 6
1 X 3 X 5 = 1 5
1 X 3 X 6 = 1 8
1 X 3 X 8 = 2 4
Сумма = 63
И так каждую частоту (рху) решетки умножаем на ау и ах, сум мируя результаты, а в итоге получаем значения, приведенные в нижней строке табл. 62 и их сумму 2ражау = 5952. Определив вспомогательные величины, находим значение коэффициента корреляции:
Г — 5952 - 100X7,69X7,15 100X2,86X3,015
В табл. XV приложений для га = 100 и Р = 0,99 находим критиче
ское значение г=2,553. Оно значительно меньше |
г У га—1 = |
= 0,527 Y 99 = 5,244, что указывает на достоверность |
найденной |
величины г = 0,527. |
|
Способ суммирования |
|
Коэффициент корреляции довольно просто определяется по способу суммирования, который рассматривался выше примени тельно к расчету средней арифметической и среднего квадрати ческого отклонения. При определении коэффициента корреляции этим способом вместо отклонений классов (или классовых вари ант) от условных средних ставятся порядковые номера классов— в направлении от меньших значений вариант к большим, кото рые перемножаются на соответствующие частоты, что и дает в итоге величину рахау. Вместо центральных или условных момен тов-первого порядка здесь используются первая (S') и вторая (S") суммы полных накопленных рядов, которые получаются ку муляцией частот каждого вариационного ряда в направлении от больших значений признаков X и У к их меньшим значениям.
188
Коэффициент корреляции в этом случае вычисляется по формуле
/ |
|
^X K Sy \ |
|
(104)^ |
|
I' |
n |
n X n '/ : |
Oy. |
||
|
Здесь 2paxay — сумма произведений частот корреляционной ре шетки (рху) на соответствующие порядковые номера классов (обозначаемые теми же символами ах и аѵ, что и отклонения классов от условного начала А), которые идут в направлении от меньших к большим значениям классовых вариант; S ' — сумма первого полного ряда накопленных частот, получаемого кумуля цией частот каждого ряда в направлении обратном порядковой нумерации классов, т. е. от больших значений классовых вариант к их меньшим значениям; ох и аѵ— средние квадратические от клонения рядов; п — общее число парных наблюдений или объем
выборки.
Расчет вспомогательных значений — 5 /, 5 /, Ърахау, нужных для вычисления коэффициента корреляции между весом коров горбатовской породы и их годовым удоем по способу суммирова ния приводится в следующей табл. 63. Вторые ряды накопленных частот — Sx" и Sy" необходимы для определения средних квад ратических отклонений, которые в данном случае получаются так:
2 X 4619 |
869 |
1 + - § ^ |
/ |
= 1/8,17 = |
2,86; |
|
100 |
100 |
|||||
100 |
|
|
||||
1 / 2X4 18 3 |
815/ |
815 |
|
,09 = |
3,015. |
|
|
|
|
|
'100 ТСЮ' + 100
Значения рахау получаются аналогично тому, как и при вычи слении коэффициента корреляции по описанному выше способу условных средних. Например, величина рахау—16 получена сле дующим образом:
Р х у У ( & у X &Х = Р & У & Х
1X 1Х 5 = 5
1 X 1 X 1 1 = 11
С у м м а = 1 6 и т. д.
Подставляя найденные значения в формулу 104, находим:
7536 |
869 |
815 \ „ 0/, w0ft1_ |
4,54 |
' = ( ---------------100 |
100 |
X ——■) :2,86 X 3,015 |
= + 0,527. |
100 ' |
8,62 |
Получился тот же результат, что и выше.
189