ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 296
Скачиваний: 1
Критерием для оценки нулевой гипотезы служит отношение
Г части У ^ V
УI ■— Г2
' часты
где п — объем выборки, а ѵ — число учитываемых признаков. Нулевая гипотеза, т. е. предположение о независимости варьиро вания двух признаков при исключении влияния третьего (или многих других учитываемых признаков) отвергается при
для k = n—3 и принятого уровня |
вероятности Р. Так, в данном |
||
случае |
|
|
|
0,566 У |
10 — 3 |
1,498 |
1,498 |
txy(z) — .... |
....... |
— |
■---- 1 ,8 . |
у 1 - |
0,5662 |
У0,68 |
0,825 |
Таким же способом |
находим: |
^(*>=1,24 и ^z(y)== 1,03. .Для |
Т >= 0,05 и k = 7 по таблице Стьюдента ist= 2,365. Во всех случаях іф<Ut, что не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу. Однако это не значит, что корреляция между признаками отсутствует. Этот факт скорее всего указывает на недостаточно большой объем выборки, а не на отсутствие парциальной корреляции.
Рассчитаем совокупный коэффициент корреляции между длиной колосьев (X) и двумя другими признаками — числом ко лосков (У) и количеством зерен (Z), содержащихся в отдельных колосьях:
2 __ |
fxy ”b ^xz |
1 — |
yz |
ryz |
|
Гxyz — |
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8762 + 0,8422 - |
2 X 0,876 X 0,853 X 0,842 |
0,1581 |
= 0,584, |
||
|
Г - 0,8532 |
|
0,2724 |
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
rXVz = |
У0 584 = 0,764. |
|
|
|
Сводный коэффициент корреляции оказался |
довольно |
высоким. |
|||
КОРРЕЛЯЦИОННОЕ ОТНОШЕНИЕ |
|
||||
Для измерения криволинейной зависимости между |
перемен |
||||
ными величинами |
X и У коэффициент корреляции непригоден. |
В таких случаях используется другой показатель, предложенный К. Пирсоном и называемый к о р р е л я ц и о н н ы м от н о ш ени- е м; его принято обозначать греческой буквой г) («эта»), В отли чие от коэффициента корреляции, который характеризует зависи мость между переменными І и Ус точки зрения прямой пропор-
7 |
195 |
циональности, корреляционное отношение описывает ее двусторонне. Поясним это на следующем простом примере. Возь мем несколько парных значений двух переменных величин X и У:
X: |
2 |
4 |
6 |
8 |
4 |
6 |
2 |
|
6 |
К: |
4 |
8 |
8 |
|
7 4 |
10 |
|
6 |
12 |
Ранжируем эту совокупность по Х\
X: |
2 |
2 |
4 |
4 |
6 |
6 |
6 |
8 |
У: |
4 |
6 |
4 |
|
8 10 |
8 |
12 |
7 |
Видно, что некоторые значения X повторяются, что позволяет распределить эту совокупность следующим образом:
2 |
4 |
6 |
8 |
?х5 |
6 |
10 7 |
Здесь Y x — частные или групповые средние, полученные усред нением значений У, соответствующих одинаковым значениям ве личины X. Например, (4 + 6) : 2=5, (10 + 8+12) : 3 = 10 и т. д.
Если же ранжировать эту совокупность по У, получается сле дующее:
Г: |
4 |
4 |
б |
|
7 8 |
|
8 10 |
12 |
2f: |
2 |
4 |
2 |
8 |
6 |
4 |
6 |
6 |
Этот ряд состоит не из четырех, как в первом случае, а из шести
групп — 4 6 7 8 10 |
12, которым соответствуют частные сред |
|||||
ние (х) : (2 + 4) : 2 = 3, 2, 8, |
|
(6 + 4) : 2 = 5, 6 и 6, т. е. получается |
||||
следующее распределение: |
|
|
|
|
|
|
у: |
4 |
6 |
7 |
8 |
10 |
12 |
Ху. |
3 |
2 |
8 |
5 |
6 |
6 |
Таким образом выясняется, что зависимость между перемен ными X и Y выражается по-разному в зависимости от того, по значениям какой из них — X или У— ранжируется совокупность. Этот пример позволяет понять, почему корреляционное отноше ние характеризует связь между варьирующими признаками дву сторонне— У по X и X по У, — а потому и выражается не одним, а двумя показателями г\Уіхи т]Хш- Они определяются по следую щим аналогичным формулам:
т]у / х = У о2 /о 2 и ц х / у — У а2 /а 2 , |
(107) |
- 2 ( у х - у ) 2
где Оух = ——------- — средний квадрат отклонении част-
п
ных или групповых средних (ух) от общей средней (у), т. е. частная дисперсия, а
196
2 2 (у*— у) 2 |
|
|
|
|
Gy — I--------- |
-— —общая дисперсия совокупности. Соответствен |
|||
но: |
2 2 (х у — х ) 2 |
|
2 (Хі — х ) 2 |
|
|
и Ох = |
|||
|
аХу — |
-------------п |
п |
|
|
|
|
Эти формулы выражаются и в другом виде:
Чу/ х |
1/ Ъ(ух — у) 2 |
|
|
ч / 2 (х ѵ — х )2 |
(107а) |
|
|
|
ПЖ!/ *Ъ(Хі- х ) 2 |
||||
|
|
|
|
|||
или |
%7X— у |
— у) 2 |
2 (Уі — У х ) 2 |
|
||
|
2 (;У і - У )2 |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
-1/2(хг- - х ) 2- 2 |
|
(1076) |
|||
^ |
-------Г |
2"(— |
---------' |
|||
|
Обозначив частные или групповые суммы квадратов отклоне ний через Dxiy,а общие суммы квадратов отклонений — через £>, формулы 107а можно выразить в таком виде:
|
"1/ |
Dy!x |
|
|
|
~j/ Dx/y |
( 108), |
||
|
T)J//JC— V ~D~y |
И |
Т)у/а: — |
|
] |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
где |
Dyix — 2 (ух у) 2 — 2 |
(2Уі) 2 |
т |
2 .t |
|||||
|
|
|
|
|
Пі |
|
п |
|
|
|
Dx/y — 2 (Ху |
х ) 2 |
— Л L |
(2*г)21 |
(2*)2 |
_ |
|||
£>у = |
Пі |
|
п |
>(2х)2 |
|||||
2 ( у г - у ) 2 = |
2г/2 |
( М |
! |
и |
D,с= |
2х2 |
п |
||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
Итак, корреляционное отношение равно корню квадратному из отношений сумм квадратов отклонений групповых или частных средних (Ху и ух) от общих средних (х и у) к сумме квадратов отклонений отдельных вариант (xt и Уі) от общих средних дан ной совокупности.
Свойства корреляционного отношения
Как и коэффициент корреляции, корреляционное отноше ние— величина относительная; этот показатель принимает зна чения от 0 до 1: чем сильнее связь между признаками, тем выше
197
значение ц. При отсутствии корреляции г| = 0. Корреляционное отношение — величина всегда положительная, поэтому она не сопровождается знаком.
В отличие от коэффициента корреляции, который служит рав нозначной мерой связи для обоих коррелируемых признаков, показатели корреляционного отношения обычно не равны между собой, т. е. Цу/хФЦх/у Лишь при строго линейной связи между пе ременными X и У осуществляется равенство цух =Цхіу-Эта осо бенность корреляционного отношения позврляет характеризовать любую корреляционную зависимость между варьирующими при знаками— и линейную и криволинейную. Чем больше связь меж ду признаками приближается к прямолинейной функциональной связи, тем ближе по абсолютной величине показатели корреля ционного отношения друг к другу.
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОГО ОТНОШЕНИЯ НА МАЛЫХ ВЫБОРКАХ
На малых выборках коэффициенты корреляционного отноше ния можно вычислить по указанным выше формулам без группи ровки выборочного материала в вариационные ряды и в корре ляционную таблицу. Покажем это на следующем примере. В табл. 65 собраны данные о живом весе (У) самок павиановгамадрилов в том возрасте (X), когда у них наступает первый половой цикл, внешне выражаемый набуханием «половой кожи».
|
|
|
Т а б л и ц а 65 |
Возраст ( мес.) |
Вес (кг) |
Возраст (мес.) |
Вес (кг) |
(X) |
(У) |
(X) |
(У) |
33,0 |
7,5 |
24,0 |
5,0 |
31,0 |
5,7 |
28,5 |
5,0 |
31,0 |
5,4 |
26,0 |
5,4 |
32,0 |
5,8 |
28,5 |
6,7 |
34,0 |
6,8 |
32,0 |
5,3 |
26,0 |
6,2 |
31,5 |
5,5 |
29,8 |
8,0 |
32,5 |
6,4 |
31,0 |
6,1 |
34,0 |
6,3 |
32,5 |
6,8 |
33,5 |
5 (О |
32,5 |
5,6 |
33,5 |
6,0 |
Вычислим для этих данных корреляционное отношение. Сначала найдем коэффициент корреляционного отношения веса (У) по возрасту (X), т. е. г\уіх, для чего ранжируем выборку по X, т. е. расположим значения X в возрастающем порядке. Затем опре деляем частные средние (ух) и другие вспомогательные величи ны, нужные для вычисления корреляционного отношения У по X (табл. 66).
198
Возраст X |
Вес |
Ух |
У |
||
24,0 |
5,0 |
5,00 |
26,0 |
6,2 |
5,80 |
26,0 |
5,4 |
5,80 |
28,5 |
5,0 |
5,85 |
28,5 |
6,7 |
5,85 |
29,0 |
8,0 |
8,00 |
31,0 |
5,7 |
5,73 |
31,0 |
5,4 |
5,73 |
31,0 |
6,1 |
5,73 |
31,5 |
5,5 |
5,50 |
32,0 |
5,8 |
5,55 |
32,0 |
5,3 |
5,55 |
32,5 |
6,8 |
6,27 |
32,5 |
5,6 |
6,27 |
32,5 |
6,4 |
6,27 |
33,0 |
7,5 |
7,50 |
33,5 |
5,5 |
5,73 |
33,5 |
6,0 |
5,73 |
34,0 |
6,3 |
6,55 |
34,0 |
6,8 |
6,55 |
2:616,0 |
121,0 |
— |
«=1 X 1 421
1,05
0,25
0,25
0,20
0,20
1,95
0,32
0,32
0,32
0,55
0,50
0,50
0,22
0,22
0,22
1,45
0,32
0,32
0,50
0,50
—
|
|
Т а б л и ц а 66 |
(Ух - У ) г |
у— У |
(у- уУ |
1,1025 |
1,05 |
1,1025 |
0,0625 |
0,15 |
0,0225 |
0,0625 |
0,65 |
0,4225 |
0,0400 |
1,05 |
1,1025 |
0,0400 |
0,65 |
0,4225 |
3,8025 |
1,95 |
3,8025 |
0,1024 |
0,35 |
0,1225 |
0,1024 |
0,65 |
0,4225 |
0,1024 |
0,05 |
0,0025 |
0,3025 |
0,55 |
0,3025 |
0,2500 |
0,25 |
0,0625 |
0,2500 |
0,75 |
0,5625 |
0,0484 |
0,75 |
0,5625 |
0,0484 |
0,45 |
0,2025 |
0,0484 |
0,65 |
0,4225 |
2,1025 |
1,45 |
2,1025 |
0,1024 |
0,55 |
0,3025 |
0,1024 |
0,05 |
0,0025 |
0,2500 |
0,25 |
0,0625 |
0,2500 |
0,75 |
0,5625 |
9,1722 |
— |
12,5700 |
Средние арифметические признаков X и У—£ = ^ = 3 0 ,8 мес. и
121 |
Частные средние определяем по значени |
у — — = 6,05 кг. |
У20
ям X. Например, значениям У, равным 6,2 и 5,4, соответствует
6 2 + 54
одна и та же величина х = 26,0, откуда?/* = -1-------— == 5,8 и т.д.
Остальные действия понятны из табл. 66. Подставляя итоговые значения указанной таблицы в соответствующую формулу, нахо дим коэффициент корреляционного отношения веса по возрасту:
|
T / A |
|
1 \у/х |
|
12, = У0,73 = 0,85. |
Таким же способом определяем корреляционное отношение возраста (X) по весу (У), ранжируя совокупность наблюдений по У, и затем рассчитываем частные средние ху и другие вспомо гательные величины, как показано в следующей табл. 67.
199