Файл: Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие.pdf

По итоговым данным этой таблицы находим:

Вычисленные по этому уравнению групповые средние (ух),

т.е. выравненный ряд регрессии окружности груди (F) по росту

(^)мужчин, приводятся в шестом столбце табл. 78. Видно, что

вычисленные значения ух хорошо согласуются с фактически полу­ ченными значениями у эмпирического ряда. Более наглядное представление дает рис. 22, на котором вместе с колеблющимися эмпирическими линиями нанесены и теоретически вычисленные прямые линии регрессии Y по X и X по Y.

На рис. 22 обращает на себя внимание тот факт, что линии регрессии пересекаются, образуя угол. Этот угол может быть и большим и малым, что зависит от степени сопряженности между признаками: чем сильнее связь, тем меньше этот угол, и, наобо­ рот, чем слабее корреляция между признаками, тем больше бу­ дет и угол, образуемый пересечением линий регрессии в системе координат. При г = 0, т. е. при полном отсутствии связи между признаками, линии регрессии пересекаются под прямым углом, а при г —\, т. е. при наличии функциональной зависимости между признаками, линии регрессии совпадают друг с другом. Линии регрессии пересекаются в точке, соответствующей величинам средних арифметических обоих признаков.

Дополнительно к графическому изображению регрессии мож­ но определить меру линейности у=г|2—г2 регресси в системе координат. При г= 0, т. е. при полном отсутствии связи между признаками, линии регрессии пересекаются под прямым углом, а при г —1, т. е. при наличии функциональной зависимости меж­ ду признаками, линии регрессии совпадают друг с другом. Линии регрессии пересекаются в точке, соответствующей величинам средних арифметических обоих признаков.

Дополнительно к графическому изображению регрессии мож­

между окружностью груди и ростом мужчин. Воспользуемся данными таблицы 78 и рассчитаем квадраты корреляционного отношения и коэффициента, корреляции. Последний определим по формуле 101, придав ей следующий вид:

234

Предварительно находим суммы квадратов отклонений:

ѵ0,037

подтверждается первоначальное предположение о линейности регрессии окружности груди у мужчин по длине их тела (росту).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ РАВНООТСТОЯЩИХ ЗНАЧЕНИЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Уравнение линейной регрессии (120) можно представить в виде отклонений вариант от средних арифметических:

Ух У — Ьу / х ( %і X ) ИЛИ Х у X — Ь х / у ( У і У ) .

Эти уравнения показывают, что отклонения вариант от средней по одному ряду (У) сопровождаются отклонениями вариант от их средней по другому ряду (X ) регрессии, а коэффициент b характеризует величину изменения одной переменной (У) при из­ менении другой (X).

235

В таком случае систему нормальных уравнений (121) молено представитъ в следующем виде:

2 г/ = па -f- 62 (Хі — х ) — первое уравнение,

2хг/ = а2 (хі — х) + 62х2 — второе уравнение.

нивания эмпирических рядов регрессии при наличии равноотсто­ ящих значений одной из переменных величин. Они особенно цен­ ны при выравнивании рядов динамики, когда изменения призна­ ка учитываются через равные интервалы или промежутки времени. В таких случаях равноотстоящие значения независимой переменной X выражаются числами натурального ряда («откло­ нениями»), идущими от центра ряда динамики в оба его конца;

ряда —1, —3, —5, ..., и +1, +3, +5, ... Порядковые числа («от­ клонения») со знаком минус идут в сторону меньших, а со знаком плюс в сторону больших значений регрессии.

Покажем применение этого способа на следующем примере. Наблюдения над развитием группы детенышей макаков-резусов показало’, что их вес на протяжении первого года жизни изменя­ ется следующим образом:

Если нанести эти данные на графики, можно убедиться в нали­ чии линейной зависимости между ними. Найдем эмпирическое уравнение этого ряда динамики. Расчет вспомогательных значе­ ний 2 у, 2 ху, и 2х2 приведен в табл. 79.

По итогам табл. 79 находим параметры:

Отсюда эмпирическое уравнение регрессии У по У оказывает­ ся следующим: ух= 1,20+ 0,0532 х. Ожидаемые значения веса де­ тенышей. (ух) поих возрасту рассчитываются так: г/ж=1,20 + + 0,0532 (—11) = 1,20-0,5882 = 0,6118 = 0,61 и т. д. Значения приведены в последнем столбце табл. 79. •

236

КОЭФФИЦИЕНТ РЕГРЕССИИ

Коэффициент регрессии играет в регрессионном анализе важ­ ную роль. Он является не только' параметром уравнения, но и мерой регрессии У по X и X по Y. Коэффициент регрессии позво­ ляет рассчитать, насколько в среднем изменится признак при из­ менении на единицу меры другого, связанного с ним признака. При этом, если известны коэффициент корреляции и средние ква­ дратические отклонения сопряженных распределений, коэффици­ ент регрессии У по X и X по Y вычисляется по следующим анало­ гичным формулам:

Или же, минуя вычисление средних квадратических отклонений, по формулам:

237