Файл: Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие.pdf

А также:

~Ъ ( У і - у ) г

По формулам 126, 127, и 128 определяется среднее (ожидаемое) значение У при изменении на единицу меры X, а по формулам 126а, 127а и 128а находят среднюю величину х ѵ при изменении на единицу меры признака У. Например, коэффициент корреля­

<тх=2,86 кг. Так как эти показатели вычислялись на интервальных вариационных рядах, то необходимо учесть и величины классо­ вых интервалов: % = 15 кг и г* =150 кг. Отсюда находим:

Это значит, что увеличение годового удоя на 1 кг соответству­ ет увеличению живого веса коров в среднем на 0,055 кг. А увели­ чению веса коров на 1 кг соответствует возрастание годового удоя в среднем на 5,02 кг.

Если судить о прибавках живого веса и удоя коров по отно­ шениям между средними арифметическими этих признаков, ко­ торые равны по удою х = 2228,5 кг, по весу г/= 349,75 кг, то полу­ чается, что на 1 кг живого веса коров приходится в среднем 2228,5: 349,75 = 6,4 кг молока, а прибавка годового удоя на 1 кг связана с увеличением живого веса коров в среднем на 349,75:2282,5 = 0,16 кг. Сравнивая эти показатели с величинами коэффициента регрессии, видим, что они не совпадают: отноше­ ния средних арифметических дают более высокие результаты, чем значения коэффициента регрессии. Причина этого явления заключается в том, что отношения средних арифметических не учитывают корреляционную зависимость между признаками, по­ тому и не могут служить точным показателем регрессии У по X и X по У. Из этого примера видно значение коэффициента регрес­ сии в оценке относительных прибавок величины одного призна­ ка по изменяющимся значениям другого связанного с ним приз­ нака.

Коэффициент регрессии определяет углы наклона плоскости, образуемой линиями регрессии в системе координат, к осям абс­ циссы и ординаты. На коэффициенте регрессии хорошо выясняет-

238

ся связь между регрессией и корреляцией. Если средние квадра­ тические отклонения двух сопряженных рядов равны между со­ бой, т. е. Оу= ах, то отношение между ними равно единице. В таком случае, как это следует и из формул 126 и 126а, между коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии осуще­ ствляется равенство r = by/x=bx/y.

По значениям коэффициента регрессии Ьу/Х и Ьх/Ѵопределяет­ ся коэффициент корреляции, который есть не что иное, как сред­ няя геометрическая из коэффициента регрессии У по X и X по У,

Указанная зависимость между коэффициентами регрессии и корреляции расширяет и углубляет наши представления об этих показателях, характеризующих линейную зависимость между пе­ ременным Х и У. Эта зависимость позволяет, во-первых, контро­ лировать правильность расчета коэффициента корреляции по из­ вестным значениям коэффициента регрессии, а во-вторых, опре­ делять неизвестную величину коэффициента корреляции по известным значениям коэффициента регрессии.

Как и коэффициент корреляции, коэффициент регрессии ха­ рактеризует только линейную связь, когда приращения одной пе­ ременной У пропорциональны приращениям другой переменной величины X. И так же, как и коэффициент корреляции, коэффи­ циент регрессии может иметь положительный ( + ), либо отрица­ тельный (—) знак, что зависит от направления связи. Но в отли­ чие от коэффициента корреляции, выражающего зависимость между признаками У и У в нормированных отклонениях, коэф­ фициент регрессии выражает ее в принятых единицах измерения. Коэффициент корреляции — число не именованное, а значения коэффициента регрессии — числа именованные.

Одна из характерных особенностей регрессионного анализа заключается в том, что он позволяет исследовать корреляцион­ ную зависимость между признаками даже при очень малых чис­ лах парных значений признаков. Возьмем соответствующий при­ мер. По данным Т. А. Скворцовой (1956), в роде синиц наблюда­ ется зависимость между весом мозга, выраженном в процентах от веса тела, и двигательной активностью птиц, измеряемой ко­ личеством прыжков, которые птица совершает в течение одного часа. Эти данные вместе с расчетом вспомогательных значений 2у, 2х, 'Lxy, Ъу2и 2х2 приведены в табл. 80. Воспользуемся ими и найдем эмпирическое уравнение и коэффициент регрессии для этих данных.

239

Т а б л и ц а 80

Определяем коэффициент регрессии У по X и X по У:

откуда уравнение регрессии У по X

Ух = 0,91л: + 3,52.

По этому уравнению можно определить ожидаемые значения веса (ух) по показателям двигательной активности птиц (X). Именно: эмпирические данные

г = уо,91 X 1,07 = У097“= 0,98.

Показатели корреляции в данном случае оказались весьма высо­ кими. Следует, однако, иметь в виду, что при наличии малочис­ ленного1ряда регрессии показатели корреляционной зависимо­ сти— коэффициенты регрессии и корреляции — могут оказаться завышенными.

Также нужна большая осторожность при экстраполяции ли­ нии регрессии за пределы исследованного периода. Линия рег­ рессии, выходя за указанные пределы, может изменить свое на­ правление и линейная экстраполяция в таких случаях не даст обнадеживающих результатов.

240

ОЦЕНКА ДОСТОВЕРНОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РЕГРЕССИИ

Показатели регрессии, как и всякие другие выборочные пока­ затели, являются величинами случайными: их значения могут не совпадать с соответствующими значениями в генеральной сово­ купности. Для измерения возможной погрешности, с какой опре­ деляются выборочные показатели относительно своих генераль­ ных параметров, служат ошибки репрезентативности, позволяю­ щие с той или иной вероятностью устанавливать доверительные границы для генеральных параметров по данным выборочных наблюдений, оценивать статистическую достоверность показате­ лей регрессии.

ОШИБКА РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТИ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

Когда известны средние квадратические отклонения и коэф­ фициент корреляции выборочных распределений, ошибка коэф­ фициента регрессии определяется по следующим аналогичным формулам:

Если средние квадратические отклонения вычислялись на ин­ тервальных рядах, то при вычислении ошибок по указанным фор­ мулам сигмы должны умножаться на величину классовых интер­ валов, т. е. в знаменателе и числителе должны быть оѵХ іѵ и ОхХіх■ Например, ошибка коэффициента регрессии веса (У) по годовому удою (X) коров горбатовской породы определяется следующим образом:

Достоверность коэффициента регрессии оценивается по кри­ терию Стьюдента с числом степеней свободы k — n — 2. В данном

t~>3, что свидетельствует о достоверности этих показателей.

241

Ошибку коэффициента регрессии можно вычислить, минуя определение средних квадратических отклонений по следующим формулам:

Ошибка разности между сравниваемыми коэффициентами ре­ грессии оценивается по следующей формуле:

где mx и my — ошибки коэффициентов регрессии.

Если сравниваемые коэффициенты регрессии вычислены на малочисленных выборках, то ошибка их разности должна опре­ деляться по формуле

Критерий достоверности различий между выборочными коэффи­

оценивается по таблице Стьюдента.

По идее и по существу линия регрессии, построенная на основании эмпирических данных по способу наименьших квад­ ратов, выполняет в регрессионном анализе такую же роль, какая принадлежит средней арифметической в любой выборочной со­ вокупности. И как величина случайная, линия регрессии, как и средняя арифметическая, сопровождается ошибкой репрезента­ тивности. Ошибка линейной регрессии У по X характеризует сопряженную вариацию значений У возле х у по заданным зна­ чениям X, и наоборот, ошибка регрессии X по У характеризует

242