Файл: Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие.pdf

Рассмотрим соответствующий пример. У коров ярославской породы удой, выраженный в центнерах, следующим образом из­ меняется по месяцам лактации:

Если эти данные изобразить графически в виде лактацион­ ной кривой (рис. 24), можно убедиться в наличии параболиче­ ской зависимости между этими переменными. Найдем эмпириче­ ское уравнение регрессии, выражающее эту зависимость. Обо­ значим лактацию через X, а удой коров — через Y и рассчитаем величины Ex, 'Ey, Еух, Ex2, Eyx2, Ex3 и 2x4, нужные для состав­ ления системы нормальных уравнений. Расчет приводится в табл. 81.

Т а б л и ц а 81

Составляем систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решать такую систему можно разными способами. Рассмотрим обычный в таких случаях способ решения нормальных уравнений. Ужножим первое и второе уравнения на дополнительные множи­ тели: первое на 31,666 (это число получается от деления 285 : 9), а второе — «а 6,333 (этот множитель получен делением 285 : 45) и вычтем первое уравнение из второго. Так освобождаемся от а:

285а + 14256 + 9025с = 6428

285а + 18056 + 12 824с = 6523

248

Затем из третьего уравнения системы вычитаем второе:

285а + 2025& + 15 342с = 6440

285а + 18056 + 12 824с = 6523

Полученную разность (2) умножим на дополнительный множи­ тель 380 : 220=1,7273 и вычтем ее из разности (1):

_______ 380Ь + 4349с = — 143 - 550с = - 238

откуда с——0,43273.

Подставляя в уравнение (1) вместо с его значение, получим: 380 b + 3799 (—6,43273) =95, откуда 0 = 1739 : 380 = 4,5763.

Далее в первое уравнение системы вместо b и с подставляем их значения: 9а+ 45(4,5763) +285(—0,43273) =203. Решая это уравнение, находим

120,4

В результате получаем следующее эмпирическое уравнение регрессии:

ух = 13,378 + 4,576л:— 0,43273х2.

Из этого уравнения можно определить средний (ожидаемый) удой (ух) коров данной породы за любую лактацию (X). Именно:

Если нанести эти данные на график, как показано на рис. 24, можно убедиться в том, что они хорошо согласуются друг с другом.

Когда переменная X, как это видно из взятого нами примера, представлена рядом значений, между которыми соблюдается равный интервал, параметры а, b и с уравнения параболы можно определить упрощенным способом произведений. При этом сна­ чала вычисляются вспомогательные (неприведенные) величины параметров:

сn'Zya2— 'Ey X 2Д2

—п2а4 — 2а2X 2а2 ’

249 ,

средней арифметической, отнесенные к величине интервала меж­ ду членами ряда. При нечетном числе ряда а выражается чис­ лами 0, 1, 2, 3... (с учетом знаков), а при четном числе членов ряда — 0,5; 1,5; 2,5... (то же с учетом знаков).

Рассчитанные по указанным формулам величины Л, В и С затем приводятся к величинам параметров уравнения а, b и с. Для этого служат следующие формулы приведения:

Здесь X — средняя арифметическая членов ряда X, остальные

величины объяснены выше.

Покажем применение этого способа на только что рассмот­ ренном примере. Расчет необходимых вспомогательных значе­

ний приводится в табл. 82.

Т а б л и ц а 82

Используя итоговые данные этой таблицы, определяем неприве­ денные значения параметров:

250

Приводим найденные величины к значениям параметров урав­ нения а, b и с:

а = 25,4728 + (— 0,43257 X 25) - 0,225 X 5 = 13,533,

Ь = 0,225 — 2(— 0,43257 X 5) = 0,225 + 4,3257 = 4,5507,

с = — 0,43257.

Отсюда уравнение регрессии удоя коров по срокам их лактации

ух = 13,533 + 4,55л: — 0,4326л;2.

Рассчитанные по этому уравнению ожидаемые величины удоя коров за каждую лактацию приведены в последнем столбце табл. 82. Видно, что они хорошо согласуются с фактическими

данными.

Рассчитать параметры корреляционного уравнения параболы второго порядка можно также по способу суммирования. Для этого, как и в предыдущем случае, берутся отклонения от сред-

вспомогательных значений приводится в табл. 83.

По данным этой таблицы выпишем нужные нам значения:

251

При нелинейных связях характеристикой относительных при­ бавок величины одного признака (У) при изменении на единицу меры другого (X) служит корреляционное отношение. Этот по­ казатель можно вычислить по формуле 107а (см. предыдущую главу). Ошибка криволинейной регрессии определяется по фор­

муле оу;х— ОуѴ 1 —rj2. Для рассмотренного примера

V , = ^ {^х ~ — = 0,96 и Gy = 2,80

%Ъ ( у і - у ) 2

(читателю предлагается рассчитать эти величины). Откуда ошибка линии регрессии удоя коров по лактации выразится ве­ личиной

0у,х = 2,8 уі - 0,96 = 2,8 X 0,2 = 0,56 ц.

252