Файл: Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие.pdf

Пр и м е ч а н и е . Пятая графа (хр) понадобится в дальней­ шем.

ГРАФИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Чтобы придать большую наглядность закономерности варьи­ рования признаков, вариационные ряды принято изображать гра­ фически в виде гистограммы, или полигона, а также в виде кумуляты или огивы. График, называемый гистограммой, получает­ ся, если в системе координат отложить по оси абсцисс границы классов, а по оси ординат— их частоты, как показано на рис. 1.

Рис. 1. Гистограмма распределения кальция (мг %) в сыворотке крови павианов-гамадрилов:

на оси абсцисс — границы классов, на оси ординат — частоты вариант

22

Гистограмма изображает закономерность распределения вариант по классам вариационного ряда, т. е. при непрерывном варьиро­ вании признака. Прямоугольники соответствуют классам, а их высота — частотам вариационного ряда.

Если из срединных точек прямоугольников гистограммы опус­ тить перпендикуляры на ось абсцисс, а затем эти точки соединить между собой, получится график дискретного варьирования, на­ зываемый полигоном распределения. На рис. 2 изображен поли-

Рис. 2. Полигон распределения кальция (мг %) в сы­ воротке крови павианов-гамадрилов:

на оси абсцисс — значения классовых вариант, на оси орди­ нат — частоты

гон распределения кальция (мг%) в сыворотке крови павиановгамадрилов. Полигон распределения можно построить и незави­ симо от гистограммы, нанося на ось абсцисс срединные значения классов. А когда возникает необходимость, можно полигон прев­ ратить в гистограмму.

В других случаях график вариационного ряда строится в ви­ де кумуляты. Для этого по оси абсцисс откладываются значения классовых вариант, а по оси ординат — накопленные частоты. Сое­ диняя -затем соответствующие точки в системе координат, полу­ чаем график, называемый кумулятой і(рис. 3). Накопленные час­ тоты получаются последовательным суммированием или кумуля­ цией (от лат. cumulo— накапливаю) частот в направлении от минимальной варианты до конца вариационного ряда. На рис. 3 изображена кумулята распределения кальция (мг%) в сыворот­ ке крови гамадрилов. Полный ряд накопленных частот, обозна­ чаемый через Si, получен следующим образом:

23

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ХАРАКТЕРНЫЕ ЧЕРТЫ ВАРЬИРОВАНИЯ

В распределении эмпирических совокупностей бросается в глаза одна важная особенность — преимущественное накаплива­ ние вариант в центральных классах и постепенное убывание их числа по мере удаления от срединной точки вариационного ряда. Эта особенность, составляющая одну из характерных черт варьи­ рования биологических признаков,— факт очень важный, имею-

Рис. 5. Процентные соотношения в распределении 117 мужчин по росту (из Бейли, 1959):

на оси абсцисс — рост в английских дюймах, на оси ор­ д и н ат — частоты в процентах от общего числа наблю де­ ний

щий широкое распространение в природе. Кому, например, неиз­ вестно, что чаще встречаются люди среднего роста, а индивиды очень большого или очень малого роста встречаются сравнитель­ но редко. Но, вероятно, не все знают, что среди населения инди­ видов выше среднего и ниже среднего роста оказывается пример­ но одинаковое количество. Если совокупность людей одного пола и возраста поставить по ранжиру так, чтобы люди приблизитель­ но одинакового роста стали в затылок друг другу, получится как бы живая диаграмма распределения, более или менее симметрич­ ная.

На рис. 5 изображена гистограмма распределения 117 муж­ чин по росту, хорошо иллюстрирующая эту закономерность. Отмеченная черта варьирования обнаруживается не только в рас­ пределения людей по росту, но и по другим признакам, в част­ ности по размерам обуви. На рис. 6 изображена гистограмма рас-

25

пределения мужского населения Москвы и центральных областей Российской Федерации поэтому признаку.

Впервые на это явление обратил внимание А. Кетле (1835), исследовавший распределение нескольких тысяч солдат амери­ канской армии по росту (длине тела). «... Человеческий рост,— писал он, — изменяющийся, по-видимому, самым случайным об­ разом, тем не менее подчиняется самым точным законам; и эта особенность свойственна не только росту; она проявляется также и в весе, силе, быстроте передвижений человека, во всех его фи­ зических... и нравственных способностях. Этот івеликий прин-

25

Рис. 6. Процентные соотношения в распределении мужской обу­ ви среди населения центральных областей Российской Феде­ рации:

на оси абсцисс — номера обуви, на оси ординат — частоты в процентах от общего числа наблюдений

цип,... разнообразящий проявление человеческих способностей,...

кажется нам одним из самых удивительных законов мира» Описанная закономерность относится не только к человеку,

она проявляется во всей живой природе. Более того, не только биологические признаки, но и случайные ошибки, допускаемые при измерении физических предметов, следуют в общей массе указанной закономерности. Иллюстрацией могут служить резуль­ таты опыта, описанного Р. Шульце (1926), с многократным изме­ рением металлического стержня, приведенные в табл. 5.

Из этой таблицы видно, что погрешности, случайно допущен­ ные при 80-кратном измерении одного и того же предмета, рас­ пределяются строго закономерно, образуя правильный (симмет­ ричный) ряд. «Не удивительно ли, — писал Кетле, — что слу­ чайные ошибки располагаются в таком совершенном порядке и наши бессознательные промахи проявляются с такой симметрией,

' К е т л е А. Социальная физика. Т. I. Киев, 1911, стр. 38—39.

26

какая кажется могла бы быть результатом тщательно обдуман­ ных расчетов» 1.

Не во всяком случае при измерении тех или иных предметов получаются столь отчетливые результаты, как это описано Шульце. Но главное не в этом; важно, что в самых различных слу­ чаях проявляется одна и та же закономерность: в массе относи­ тельно однородных единиц (вариант) подавляющее большинство составляют варианты среднего размера, и чем дальше они откло­ няются от среднего уровня признака, тем реже встречаются в данной совокупности. Иными словами, между различными зна­ чениями признака и частотой их встречаемости в любой сово­ купности существует определенная связь. Наглядным выраже­ нием этой связи и служит вариационный ряд и его график — вариационная кривая. Чтобы глубже понять содержание отме­ ченной закономерности и ту роль, которую она играет в области статистического анализа массовых явлений, следует рассмотреть ее более подробно.

ВЕРОЯТНОСТЬ И ЕЕ СВОЙСТВА

Предположим, что в роддоме приняты 208 мальчиков и 200 девочек — всего 408 детей. Число 208 — это абсолютная частота родившихся мальчиков, а число 200 абсолютная частота ро­ дившихся девочек. Если число мальчиков и девочек, родившихся в этом роддоме, отнести к общему числу новорожденных детей, получаются относительные частоты, или частости этих событий:

1 К е т л е А. Социальная физика. Т. I. Киев, 1911, стр. 330.

2 7

Само собой разумеется, что в разных случаях частость или доля рождающихся особей мужского и женского пола может быть раз­ личной. Теоретически, однако, можно ожидать, что в большей массе случаев доля родившихся девочек окажется равной доле новорожденных мальчиков. Теоретическое значение относитель­ ной частоты ожидаемого события называется его в е р о я т н о ­ стью. Причем событием принято называть тот результат, кото­ рый получается при каждом испытании. Под испытанием же понимается процесс осуществления какого-либо комплекса усло­ вий, который может быть повторен неограниченное число раз. Например, метание монет, игральных кубиков, розыгрыш лоте­ рейных билетов, проведение опытов и т. п. действия — все это на языке теории вероятностей обозначается термином и с п ы т а н и я .

Если при каждом испытании событие неизбежно наступает,

Когда же событие в каждом отдельном испытании может про­ изойти, но может и не произойти, его называют возможным, или с л у ч а й н ы м , событием. События, которые при испытании в постоянных условиях повторяются многократно, получили назва­ ние м а с с о в ы х . Примером массовых событий случайного ха­ рактера может служить рождаемость особей мужского и жен­ ского пола — явление, которое в отдельных случаях точно пред­ сказать нельзя, но в общей массе новорожденных можно ожидать

для наших целей, вероятностью называется отношение числа слу­ чаев или исходов т, благоприятствующих наступлению ожидае­ мого события А, к числу всех возможных и несовместимых в дан­

события А. Например, в урне помещается 5 белых и 10 черных шаров. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым? Так как из общего числа 15 шаров в урне 5 белых, то из 15 возможных исходов всего лишь 5 «благоприятствуют» ожидаемому событию — появлению белого

априорной. Например, при метании монеты заранее, т. е. до ис­ пытания, известно, что она может лечь либо гербом вверх, либо

28