Файл: Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие.pdf

решкой. Здесь только две возможности, и вероятность каждой одна и та же, равная ѴгАприорной является вероятность любой цифры игрального кубика, любой фигуры в колоде карт, появле­ ние в потомстве мужского или женского пола и других подобных событий. Другое дело, например, действие на организм различ­ ных доз лекарственных или токсических веществ. В этом случае заранее, т. е. до опыта, указать вероятность результата нельзя; она может быть установлена лишь после многократных испыта­ ний, т. е. после опыта. Такие вероятности называются эмпириче­ скими, или апостериорными.

Из формулы 3 следует, во-первых, что вероятность любого события есть число, заключенное между нулем и единицей, т. е. она выражается в долях единицы, но может быть выражена и в процентах. Во-вторых, вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равняется нулю. Из этих аксиоматических свойств вероятности следует, что веро­ ятность противоположного события Ä дополняет вероятность прямого события А до единицы, т. е. Р(А )+Р(А ) = 1. Для удоб­ ства вероятность ожидаемого события принято обозначать через р, а вероятность противоположного события через q, т. е.

Р (А) =р и Р(А) =q. Так как p + q= 1, то р= 1—q.

БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Выше приводились примеры определения вероятности появ­ ления ожидаемого события при однократных испытаниях. Теперь поставим вопрос так: какой результат можно ожидать, если в отношении одного и того же случайного события А и при одних и тех же условиях провести не единичное, а целый ряд повтор­ ных испытаний? Как распределятся результаты серии испыта­ ний, что равнозначно распределению частоты случаев при аль­ тернативной изменчивости признака? Чтобы получить ответ на этот вопрос, примем следующие условия: 1) вероятность ожида­ емого события Р(А)=р остается постоянной в каждом испыта­ нии; 2) будем учитывать только два исхода: появление собы­ тия А или его альтернативы А, т. е. появление противоположного

по схеме «возвращаемых шаров», т. е. по схеме независимых друг от друга испытаний, когда первый результат никак не отражает­ ся на результате последующего испытания, а значит и не изме­ няет вероятность ожидаемого результата.

При двух независимых испытаниях возможны следующие ис­ ходы с их вероятностями:

При трех независимых испытаниях возможны 23= 8 исходов:

29

и с х о д ы : AAA AAA AAA AAA AAA AAA AAA AAA вероятности: ppp pqp ppq pqq qpq qpp qqp qqq,

T. e. p3+3p2q+3pqz+q3= (p+q)3.

Очевидно, при n независимых испытаний возможны 2п исходов, вероятности которых распределятся в соответствии разложения двучлена:

где Рп ( т ) — символ, обозначающий вероятность частоты т появления события А ів п независимых испытаний. При п= 10 воз­ можны 2І0=1024 исхода. При равной вероятности альтернатив, т. е. при условии p — q = 0,5, вероятность частот ожидаемого собы­ тия распределится следующим образом:

Ріо (т) = (0,5 + 0,5)10 = 1/1024+ 10/1024 + 45/1024 +

+ 120/1024 + 210/1024 + 252/1024 + 210/1024+ 120/1024 +

+ 45/1024 + 10/1024 + 1/1024 = Л.

помощи арифметического треугольника Паскаля, в котором каж­ дая цифра получается суммированием двух стоящих над ней (табл. 6). Треугольник Паскаля показывает, что: 1) числовые значения коэффициентов, начиная с единицы, закономерно воз­ растают до определенного уровня, а затем в такой же последо­ вательности уменьшаются до единицы; 2) для каждой степени бинома общее число коэффициентов равно п + 1, например, при п = 3 число коэффициентов равно четырем, а при п = 4 это число будет равным 5 и т. д.; 3) сумма всех биномиальных коэффи­ циентов для любой степени бинома равна 2™, например, для (а + + b)3= 1 + 3 + 3 + 1 =8, или 23 = 2Х2Х2 = 8 и т. д.

Следовательно, характер распределения не изменится от то­ го, как мы его выразим — в значениях вероятности Р„(/п) или в абсолютных значениях частоты т ожидаемого события. В обоих

3 0

можно показать на следующем примере. В. И. Романовский (1912) произвел 20160 подбрасываний четырех одинаковых мо­ нет. В каждом тираже, т. е. метании монет, учитывались ком­ бинации герб — решка. Результаты опыта получились следую­ щие (табл. 7):

Видно, что частоты различных комбинаций герб — решка распре­ делились строго закономерно. Такого рода испытания проводи­ лись многими и во всех случаях получался аналогичный резуль­ тат: комбинации альтернатив распределялись строго по биноми­ альному закону.

Биномиальный закон действует и в биологических совокуп­ ностях: по нему распределяются альтернативные, дискретно варьирующие признаки. Для примера возьмем соотношение меж­ ду численностью мужских и женских особей в популяциях живот­ ных, которое равно примерно 1 : 1 или приближается к этому от­ ношению. Какова вероятность, что из 10 новорожденных три ока­ жутся мужского пола? По условию задачи имеем: от= 3, « = 10,

Р= д = 'І2 , откуда

=1 Х 2 Х З Х 4 Х 5 Х 6 Х 7 Х 8 Х 9 Х Ю

1 X 2 X 3 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 Х

Если вычислить вероятности всех возможных случаев осуществ­ ления ожидаемого события, т. е. вероятность появления мужско­ го пола в каждом из 10 случаев появления на свет потомства, то результаты распределятся следующим образом:

10 m ‘ І024 Ю24 1024 1024 1024 1024 1024 1024 1024 1024 1024

32