щается в уравнение прямой линии:
\ gy = |
\ga + b\gx. |
(145) |
Условием правильного применения этого уравнения служит |
требование, чтобы точки lg у |
и lg х в системе координат лежали |
на одной прямой. Эта особенность отличает уравнения степен ной и показательной функций.
Для определения параметров этого уравнения служит следу
ющая система нормальных уравнений: |
|
|
2 lg У = |
n \g a + 62 lg x ; |
(1) |
(146) |
|
|
|
2 ( lg * X lg 0 ) = |
lg a X 2 1 g x + 6 2 ( lg x ) 2. |
(2) |
Как и в предыдущем случае, решать эту |
систему |
можно раз |
ными способами. Удобно |
находить параметры по |
следующим |
формулам: |
|
|
|
а _ 2 lg у X 2 (lg х)г — S (lg x X |
lgff)S lg X |
« 2 ( l g x )2— 2 l g x X 2 l g x |
|
и |
|
|
|
b__ n 2 ( l g x X lg</)— S l g x X l g j / |
|
/22(lgx)2 — 2 lg * X |
lg* |
|
из которых следует, что предварительно нужно рассчитать 2Igy,
|
|
2 1g*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (lg* X lg У) |
и 2 (lg а:)2. |
|
|
|
|
Обратимся к |
примеру. |
Наблюдения |
А. |
Д. |
Слонима и |
О. П. Щербаковой |
(1949) показали, что величина основного об |
мена (У), выраженная в килокалориях на |
1 кг |
веса обезьян за |
24 ч, изменяется с возрастом следующим образом: |
|
|
|
возраст (мес.) (X ): |
2 |
4 |
8 |
9 |
10 |
16 |
19 |
20 |
22 |
28 |
основной обмен (ккал) |
161 |
117 |
108 |
97 |
116 |
70 |
76 |
69 |
64 |
(У): |
250 |
В данном случае обнаруживается гиперболическая зависимость между переменными Х и У. Попытаемся найти эмпирическое уравнение регрессии для этих данных, исходя из общего урав нения степенной функции. Предварительно рассчитаем вспомо гательные значения (табл. 86).
Подставляя найденные значения в формулы, определяем пара метры:
20,12855 X 11,85338 - 20,21996 X 10,33390
10 X 11,85338 — 10,3339 X 10,3339
29,6404
2,5338,
11,7445
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
86 |
X |
Y |
lg .V |
lg У |
I g - K X l g i / |
( i g х ) г |
~ « х |
|
|
|
|
|
|
2 |
250 |
0,30103 |
2,39794 |
0,72185 |
0,09062 |
240 |
4 |
161 |
0,60206 |
2,20683 |
1,32862 |
0,36248 |
168 |
8 |
117 |
0,90309 |
2,06819 |
1,86776 |
0,81557 |
119 |
9 |
108 |
0,95424 |
2,03342 |
1,94037 |
0,91057 |
113 |
10 |
97 |
1,00000 |
1,98677 |
1,98677 |
1,00000 |
107 |
16 |
116 |
1,20412 |
2,06446 |
2,48586 |
1,44990 |
85 |
19 |
70 |
1,27875 |
1,84510 |
2,35942 |
1,63520 |
78 |
20 |
76 |
1,30103 |
1,88081 |
2,44699 |
1,69268 |
76 |
22 |
69 |
1,34242 |
1,83885 |
2,46849 |
1,80209 |
73 |
28 |
64 |
1,44716 |
1,80618 |
2,61383 |
2,09427 |
64 |
Сумма . . . |
1128 |
10,33390 |
20,12855 |
20,21996 |
11,85338 |
1123 |
10 X 20,21996 - 10,33390 X 20,12855
10X 11,85338 - 10,3339 X 10,3339
-5,8068
= — 0,4944,
11,7445
откуда
lg ух — 2,5238 — 0,4944 lg х.
Рассчитанные по этому уравнению ожидаемые величины основного обмена (ух) приведены в последнем столбце табл. 86 и нанесены на график в виде плавной (выравненной) кривой (см. рис. 27). Видно,, что эмпирический и вычисленный ряды регрессии неплохо согласуются между собой. Следовательно, уравнение регрессии выбрано правильно.
Логистическая зависимость
Ростовые процессы* многих организмов, увеличение числен ности популяции во времени, как и некоторые другие ряды ди намики, характеризуются дифференциальным уравнением обще го вида:
£ - к г , ах
где К — средняя скорость, а л: — время, на протяжении которого совершается процесс. Решение этого уравнения приводит к формуле экспоненциальной функции
У == a e hx,
где а — численность особой в начальный момент времени, когда
Х — 0 (или начальная |
величина признака в этот |
момент). Это |
уравнение описывает |
рост популяции в условиях |
неограничен |
ного пространства и времени; оно эквивалентно геометрической прогрессии размножения в указанных условиях.
Если же численность популяции возрастает в ограниченном пространстве, например, в условиях эксперимента, когда особи размножаются в аквариуме, или в другой замкнутой среде, воз-
Рис. 27. Возрастные изменения основного обмена у обезьян:
на оси абсцисс — возраст животных (мес.), на оси ординат — основной обмен в килокалориях на 1 кг веса за 24 ч
растание численности популяции (как и рост организма, совер шающийся при известных ограничивающих условиях) описы вается уравнением логистической функции
%L= K Y (A - Y ), dx
или после интегрирования х |
А |
--------------------1 e—Ak(—x). |
Здесь X — время, когда достигается половина окончательной ве личины (Л) признака (т. е. верхней асимптоты кривой).
Графически логистическая кривая похожа на Кумуляту — график вариационного ряда нормально распределяющейся со вокупности, когда на оси абсцисс откладываются значения клас совых вариант, а на оси ординат — накопленные частоты ряда.
В более удобной форме эта закономерность выражается урав нением Ферхюльста:
А
У = 1 -J- |
lQ a+Ьж + |
с, |
Я |
471 |
где У— учитываемый признак, |
например |
численность популя |
ции, или вес организма, его размеры |
и т. п.; х — время, |
про |
шедшее от начала до окончания роста, т. е. максимума Л; |
С — |
начальная величина признака, с которой начато его измерение; а и b — параметры уравнения, определяющие характер логисти ческой кривой.
Уравнение логистической кривой выражается в следующей логарифмической форме:
lg ( y - ~ - c— \ ) = a + bx.
Обозначив левую часть этого уравнения через lgz, получим па раболу первого порядка lg z = a + bx. Для определения парамет ров этого уравнения служит следующая система нормальных уравнений:
S |
1g z |
— |
п а - \ - |
ЬЕх, |
Ех X |
lg 2 |
= |
йЕ х + |
6Ех2. |
Определив' значение параметров |
а и Ь, нетрудно найти величи |
ны а + Ьх, которые равны теоретическим значениям функции, т. е.
/ |
А |
\ |
( |
А |
\ |
lg |
----- £— 1 / ’ отсюда |
можно определить |
-----1j, что |
и приведет |
в конечной |
инстанции к нахождению |
ожидаемых |
(теоретических) значений УжТехнику расчетов, связанных с практическим использованием
уравнения логистической функции, легче усвоить из соответст вующего конкретного примера. Представим, что в аквариуме, т. е. в искусственно созданной ограниченной среде обитания, со держатся инфузории туфельки. Для опыта было взято 5 особей. На протяжении шести суток численность инфузорий возрастала следующим образом:
время в сутках (X): |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
кол. инфузорий в культу |
5 |
20 |
100 |
300 |
350 |
380 |
385 |
ре (У): |
Будучи нанесены па график (рис. 28), эти данные обнаруживают характер логистической кривой. Найдем уравнение этой законо мерности, приняв А = 390 и С= 0. Для составления системы нор мальных уравнений предварительно рассчитываем величины Ex, Ex2, Slgz и ExX lg 2 (табл. 87).
Рис. 28. Возрастание численности популяции инфузории туфельки в замкнутом пространстве:
на оси абсцисс — время (сут.), на оси ординат — численность популяции
Т а б л и ц а 87
X |
У |
X* |
А |
|
lgz |
|
X X lg z |
У |
У |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
|
19,50000 |
18,50000 |
+ 1,2672 |
+ 1,2672 |
+ 1,2672 |
1 |
20 |
1 |
2 |
100 |
4 |
3,90000 |
2,90000 |
+0,4624 |
+0,4624 |
+0,9248 |
3 |
300 |
9 |
1,30000 |
0,30000 |
-1,4771 |
—0,5229 |
-1 ,5687 |
4 |
350 |
16 |
1,11430 |
0,11430 |
—1,0581 |
—0,9419 |
-3 ,7 6 7 6 |
5 |
380 |
25 |
1,02630 |
0,02630 |
—2,4200 |
—1,5790 |
-7 ,8950 |
6 |
385 |
36 |
1,01299 |
0,01299 |
—2,1136 |
-1 ,8 8 6 4 |
-11,3184 |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
— |
91 |
— |
— |
— |
-3 ,2006 |
-22,3577 |
По итогам табл. 87 составляем систему нормальных уравнений:
|
|
|
|
6 а + |
216 = |
— 3,2006, |
21а+ |
916 = |
-22,3577. |
Решая совместно эти уравнения, |
находим: а= 1,6978 и 6 = |
= —0,6375. Подставляя в уравнение |
147 вместо а и b их значе |
ния, а также и величину Л = 390, имеем:
Ію 1'6978-0'6375*’
По этому уравнению рассчитываем ожидаемые значения ух функции. Расчет показан в следующей табл. 88.