ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 364
Скачиваний: 2
эмпирической совокупности приближается к ее математическому ожиданию по мере увеличения числа наблюдений. Чтобы опреде лить математическое ожидание случайной величины, нужно выяс нить значения, которые она может принимать, и вероятности этих значений. Например, из 50 животных, поступающих на про дажу, десять оценены по 100 рублей каждое, 25 особей получили оценку по 80 рублей, а остальные 15 животных оценены по 50 рублей. Определим среднюю стоимость, т. е. математическое ожидание животных этой партии. Таблица значений этой івеличины с их вероятностями следующая:
значения величины: |
100 |
80 |
50 |
вероятности значений: |
10/50 |
25/50 |
15/50, |
отсюда М = 100X0,2 + 80X0,5 + 50X0,3 = 75 рублей.
Дисперсия служит мерой отклонения возможных значений случайной величины X от ее математического ожидания М. Она равна математическому ожиданию квадрата отклонения значе
ний этой величины от ее математического ожидания: |
|
D (X) = Е ( хі — М )2. |
(14) |
Дисперсию случайной величины можно представить и как раз ность между математическим ожиданием квадрата этой величи ны и квадратом ее математического ожидания:
D(X) = Е(Х2) — [Е{Х)]2. |
(14а) |
Например, имеются следующие значения случайной величины X и их вероятности:
х: |
0 |
1 |
2 |
3 |
р: |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,1 |
Найдем математическое ожидание и дисперсию этой величины:
М = |
0 X 0,2 + |
1 X 0,3 |
+ |
2 X 0,4 + 3 X 0,1 = 1,4. |
Определяем |
величину |
Е(Х2) |
= |
0 X 0 ,2 + 1 X0,3 + 4Х0,4 + 9Х0,1 = |
=2,8.
Атакже [E(X)f = (1,4)2= 1,96. Откуда D(X) =2,8—1,96 = 0,84.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
Когда вероятности альтернатив неравны, т. е. рф ц, биноми альное распределение становится ассиметричным и тем сильнее, чем больше разница между вероятностями р и q. Когда вероят ность р ожидаемого события очень мала, т. е. исчисляется соты ми и тысячными долями единицы по сравнению с противополож ной вероятностью q этого события, распределение его частоты в п независимых испытаний становится крайне ассимметричным. Распределение частоты таких редких событий описывается сле дующей формулой Пуассона (1837):
38
где т — частота ожидаемого события в п независимых испыта ний; а ^ п р — наивероятнейшая частота или математическое ожи дание редкого события; е = 2,7183...— основание натуральных ло
гарифмов; ml — факториал частоты, т. е. произведение |
нату |
ральных чисел 0ХІ Х2 ХЗ Х4 Х ... X т. |
|
Формула 15 может быть выражена и в таком виде: |
|
Рп{т) — —-— . |
(15а) |
т\еа |
|
По этой формуле проще определить вероятность частоты т ред кого события в серии независимых испытаний. Например, для а = 2 вероятность того, что событие А в данных условиях не осу ществится, будет равна:
2° |
1 |
1 |
ÖI72 ~~ |
(2,7183)2 |
0,1353. |
7,389 |
Вероятность единичного осуществления события А равняется:
21 |
2 |
2 |
Не2 |
(2,7183)2 |
0,2707. |
~7Д89 |
Для трех случаев вероятность Рз = 0,1805 и т. д. Так определяют ся значения вероятности Рп(т) для любых значений а от 0 до п. Таблица этих значений помещена в приложениях под № III. По этой таблице можно определить ожидаемые частоты т редкого события А для любого числа испытаний п. Для этого формула 15 преобразуется так, чтобы она выражала не вероятности, а ожи даемые абсолютные частоты случайного события А:
х т |
(16) |
р' = — Хе-*. |
|
ml |
|
Здесь р' — теоретические ординаты кривой распределения Пуас сона, т. е. ожидаемое число случаев редкого события в каждом отдельно взятом классе испытания — 0, 1, 2, 3 и т. д.; х — сред нее число фактически наблюдаемых случаев. Остальные символы объяснены выше.
Распределение Пуассона — частный случай биномиального распределения; оно обладает свойством с возрастанием средней а = пр приближаться к кривой биномиального распределения, что видно на рис. 9, который иллюстрирует график функции Рп (т), построенный для разных значений а.
Формула Пуассона описывает многие явления, с которыми биологи встречаются в своей работе. Наиболее часто такие ред
кие случайные события наблюдаются в области микробиологии, радиобиологии, биофизики и в других отраслях биологической науки. Сэджер и Райн (1964) показали, что спонтанный мутаци онный процесс у кишечной палочки (Escherichia coli) описыва ется формулой Пуассона
рп(т)
ат
Рие. 9. График функции Рп(т) = — е-“ для раз
ных значений а
ПАРАМЕТРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА
Закон распределения редких событий, описываемый форму лой Пуассона, является частным случаем биномиального распре деления и характеризуется теми же параметрами, что и биномиальное распределение. Но в отличие от последнего для распределения Пуассона характерно совпадение по абсолютной величине математического ожидания и дисперсии случайной ве личины. Иначе говоря, дисперсия случайной величины, распре деляемой по закону Пуассона, равна наивероятнейшей частоте этой величины или ее математическому ожиданию: D(m)=a.
* *
Рассмотренные законы распределения выведены путем мате матической индукции на основании известных фактов. Они про диктованы конкретными задачами и служат математическими моделями эмпирических распределений. Значение описанных те оретических законов распределения в исследовательской работе исключительно велико: они составляют логическую основу био метрии, на них опирается статистический анализ массовых явлений.
' С э д ж е р |
Р. и Р а й н Ф. Цитологические и химические основы на |
следственности. |
«Мир», М., 1964, стр. 62—68. |
40
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
ВИДЫ СРЕДНИХ И ИХ ЗНАЧЕНИЕ
Одной из важнейших обобщающих характеристик варьирую
щих признаков является |
с р е д н я я в ел и ч и н а. Характеризуя |
ту или иную популяцию, |
говорят, например, о средней продук |
тивности животных или растительных организмов, средней успе ваемости учащихся, о средней скорости биохимических реакций и о многих других средних величинах. Значение средних заклю чается в их свойстве нивелировать индивидуальные различия, в результате чего выступает более или менее устойчивая числовая характеристика признака — не отдельных представителей, а це лой группы статистических единиц.
Средняя величина характеризует групповые свойства. В ней, как в фокусе лучи, сходятся все силовые линии тех многочислен ных влияний, под воздействием которых происходит развитие признака и определяется размах его вариации. В средней нахо дит свое выражение внутренняя связь, существующая между от дельными вариантами и всей их совокупностью в целом. Средняя величина — это центр распределения: она занимает центральное положение в общей массе варьирующих значений признака.
Существует несколько видов средних. Применяемые в биоло гии средние делятся на степенные, или параметрические, и сред ние порядковые, или непараметрические. Параметрические сред ние функционально связаны с распределением варьирующих признаков, тогда как порядковые средние функциональной связи с распределением признаков не имеют, характеризуя лишь струк турные особенности вариации, поэтому и относятся к группе структурных средних. К ним принадлежат медиана, мода и неко торые другие средние показатели.
Параметрические, или степенные, средние получаются из
общей формулы:
h
|
|
(17) |
где X — средняя величина; х — варианта; |
2 — знак суммирова |
|
ния; п — объем совокупности, на котором |
вычисляется |
средняя; |
k— величина, определяющая вид средней. Так, при &=1 |
получа |
|
ется средняя арифметическая (х), при k ——1 — средняя гармо ническая (хи), при k = 2 — средняя квадратическая и т. д.
Наряду с общими средними, характеризующими всю совокуп ность наблюдений, различают частные, или групповые, средние (хі ), вычисляемые на отдельных (частных) группах вариант,
41
входящих в состав общей совокупности или данного комплекса (в дисперсионном анализе).
Критерием правильного выбора средней служат ее свойства, которые должны соответствовать содержанию описываемого яв ления и согласоваться с задачами и характером исследования. Если эти условия не выполняются, средняя не может служить точной обобщающей характеристикой массовых явлений.
СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
Простая средняя арифметическая
Из всех параметрических средних наиболее часто применяет ся средняя арифметическая (х ), представляющая частное от де ления суммы всех вариант совокупности на их общее число:
Хі -{- Х2 -f- Х3 -f- . . . -f- Хп 2Xt
(17)
п |
п |
Например, в помете каждой из шести свиноматок было получено следующее количество поросят:
№ животных по порядку: |
4 |
5 |
6 |
число поросят в помете: |
5 |
8 |
10 |
В данном случае численность отдельных вариант повторяется всего один раз. В этом легко убедиться, распределив эти данные в вариационный ряд:
число поросят в помете
(* ): |
4 |
|
5 |
6 |
8 |
9 |
10 |
количество пометов |
(ча |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
стота, р) : |
1 |
|
Средняя арифметическая, вычисленная для такого рода сово купности-, называется п р о с т о й , или невзвешенной средней. В данном случае:
1 |
( 4 + |
42 |
X = — |
5 + 6 + 8 + Э _|_ 10) = —■= 7 поросят. |
|
6 |
|
R |
Средняя арифметическая — величина именованная, она выра жается теми же единицами измерения, что и характеризуемый ею признак.
Взвешенная средняя
Если же в совокупности наблюдений отдельные варианты пов торяются р раз, то средняя вычисляется с учетом повторяемости вариант по следующей формуле:
ХіРі + Х2р2 “Ь • • • + Хпр п |
2 Хірі |
p i + Pz + . • • + Рп |
( 18) |
2 Pi |
42