Относя эти величины к числу вариант, находящихся в каждой клетке табл. 111 и суммируя результаты, получаем искомую ве личину:
(2хА2 |
81 |
441 |
144 |
576 |
576 |
225 |
556,2, |
|
|
|
|
|
|
= |
откуда 77^ = 556,2 — 525,0 = 31,2. |
можно получить и |
по общей |
Заметим, что этот результат |
формуле межгрупповой |
суммы |
квадратов |
отклонений: Dx — |
= 2[щ (+— х )2] = 3(3—5)2 + 3(7—5)2 + |
3(4—5)2 + |
4(6—5)2 + |
+ 5(4,8—5)2 + 3 (5—5) 2=12+12 + 3 + 4 + 0,2 + 0 = 31,2. |
|
Остаточная |
сумма |
квадратов |
отклонений: Dz = Dy—Dx = |
= 128—31,2 = 96,8.
Переходим к расчету факториальных (неисправленных) сумм квадратов отклонений. Сначала найдем ИхAB, которая равна ■сумме всех частных средних, полученных для каждой клетки дис
|
|
|
|
|
|
персионной таблицы. |
Эти |
средние приведены в табл. 111 (см. |
средние по градациям |
фактора А). 2ждв = 3 + 7+ 4+ 6 + 4,8 + 5 = |
= 29,8, а |
также |
2х 2ав = 32 + 72 + 42 + ... + 52= 158, откуда |
Dx = |
Их A2 B |
{ИхA B ) 2 |
29, |
158— 1 4 6 = 12. |
|
|
ab |
Х З |
|
Чтобы определить значения D'A и D'B, нужно сначала найти вели чины частных средних по градациям факторов А и В. По факто ру В они уже определены ів табл. 111 (см. нижнюю строку), имен-
но: |
хв, |
3 + 7 + 4 |
|
|
хвг |
6 + |
4,8 + |
5 |
5,27. |
Таким |
— = '------ |
3-------- |
= 4,67 и — = |
-------------- |
3 |
= |
|
а |
|
|
|
а |
_ |
|
6 |
|
|
X Аг |
же |
образом |
находим |
величины |
Ха I |
3 I |
4,5; |
— ;— = |
— ---- = |
|
Ь |
|
7 + 4,8 |
_ |
|
4 + |
5 |
Ь |
|
2 |
/2 * в |
|
|
|
|
|
|
= И к в = |
|
---- ----- |
= |
5,9 и і а Л = |
— — =4,5, откуда И ------ |
|
) |
= |
4,67 + |
5,27 = 9,94 |
и |
2 кв = 4,672 + 5,272 = |
49,58. |
А |
также |
V |
|
] = |
2Йа = 4,5 + |
5„9 + |
4,5 = |
14,9 |
и HhA = |
4,52 + |
5,92 + |
' о |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
4,52 — 75,31. Рассчитав эти |
величины, переходим |
к |
определе |
нию факториальных сумм квадратов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
а |
' |
|
|
|
|
|
|
|
= |
/ |
14 Q2 \ |
|
|
|
74,0) = |
2,62, |
|
|
|
|
2 (75,31------ |
|
— j = 2(75,31 - |
|
|
(ZhB ) 2
DB = a
|
|
b |
|
|
|
= |
3 ( 4 9 ,5 8 - ^ ! ) : |
3(49,58-49,40) = 0,54, |
D'AB = D'x - D A — DB = |
12,0 - |
2,62 - |
0,54 = |
8,84. |
Находим величину поправки: e = |
Dx |
31,2 |
2,6. Исправ |
|
|
|
D'X |
12,0 |
|
ляем некорректированные суммы квадратов |
отклонений: DA — |
= 2,62 X 2,6 = 6,81; DB= 0,54 X 2,6 = 1,40 |
и DAB= 8,84 X 2,6 = 22,99. |
Проверим |
точность расчета: |
DA +DB + DAB= DX = 6,81 + 1,40 + |
+ 22,99 = 31,2. Вычисления проведены совершенно точно.
Прежде чем перейти к установлению степеней свободы и оп ределению дисперсий, сведем проделанные расчеты в таблицу для того, чтобы показать более удобную форму расчета вспомо гательных величин, необходимых для определения сумм квадра тов отклонений (табл. 112).
Определяем числа |
степеней |
свободы: |
KY — N—1=21 —1=20. |
К х = а Ь — 1=6—1 = 5, |
К А = а — |
1=3—1=2, |
К В = Ь ~ 1=2—1 = |
1, |
Кав = Ка Х К в = 2 х \= 2 и KZ = N—ab —21—6 = 15. Находим |
дис |
персии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
31,2 |
„ |
2 |
|
6,81 |
3,41; |
|
|
|
|
Од : |
5 |
= |
6,24; |
<т1 = |
—^— = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1,40 |
1,40; |
оІв = |
^ |
- = |
11,5 |
|
|
|
|
ов |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
96’8 |
«„г |
|
|
|
|
|
|
|
|
Gz = — — = |
6,45. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
Сводим полученные результаты в таблицу |
дисперсионного |
ана |
лиза (табл. |
113). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
113 |
Источники вариации |
Степени |
Сумма |
|
Средний |
Г Ф |
|
Fst |
|
свободы |
квадратов |
|
квадрат |
Р = 0,05 |
|
|
|
|
отклонений |
|
О 2) |
|
|
|
|
По градациям фак |
|
5 |
31,2 |
|
6,24 |
|
|
|
|
торов . . . . . . |
|
|
< 1 |
|
|
|
По фактору А . . . |
|
2 |
|
6,81 |
|
3,41 |
< 1 |
|
|
|
По фактору |
В . . |
|
1 |
|
1,40 |
|
1,40 |
< 1 |
|
3,7 |
|
Совместная |
AB . . |
|
2 |
22,99 |
|
11,50 |
1,8 |
|
|
Остаточная . . . . |
|
15 |
96,80 |
|
6,45 |
1 |
|
— |
|
О б щ а я ...................... |
|
20 |
128,0 |
|
|
|
' |
|
— . |
|
По обоим факторам и их взаимодействию что не по зволяет отвергнуть нулевую гипотезу. Приходится констатиро вать, что1независимое и совместное влияние факторов (возраста и физического состояния учащихся) на результативный признак (успеваемость учащихся) оказывается статистически недосто верным. Следовательно, оценить эффективность нового метода обучения можно независимо от влияния этих факторов на успе ваемость учащихся. Для этого необходимо сравнить результаты испытания разных методов обучения.
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ
Дисперсионный анализ качественных признаков проводится по тем же схемам, которые применяются и в отношении количе ственных признаков. Разница заключается лишь в том, что коли чественные признаки характеризуются средними показателями — общей и частными средними арифметическими, тогда как качест венные признаки выражаются долями (т. е. относительными частотами) или в процентах от общего числа наблюдений. Как и комплексы, организуемые по количественным признакам, диспер сионные комплексы качественных признаков состоят из отдельных градаций, число которых может быть различным, различными бывают и числа вариант в отдельных градациях комплекса. По этому, как и в отношении количественных признаков, дисперси онные комплексы качественных признаков могут быть не только ортогональными, т. е. равномерными и пропорциональными, но и неортогональными. Как те, так и другие делятся на однофактор ные и многофакторные комплексы.
Однофакторные комплексы
Дисперсионный анализ однофакторных комплексов качествен ных признаков проводится в общем по той же схеме, которая бы ла описана выше применительно к анализу однофакторных комп лексов количественных признаков. Рабочие формулы для определения степеней свободы и расчета сумм квадратов откло
нений— общей |
( D Y ), межгрупповой (Dx ) и |
остаточной (Dz) — |
в зависимости |
от того, в каких единицах |
меры учитывается |
результативный признак — относительной частотой или в процен тах от общего числа наблюдений, приводятся в следующей свод
ке (табл .114). |
т 2 |
, |
_ |
' |
m |
Так |
как |
тр = т — = |
— , межгрупповую |
или факториальную |
пп
сумму квадратов отклонений можно выразить следующей фор мулой:
Здесь т — число вариант, обладающих данным признаком;
т
р = ——'Относительная частота или доля вариант, имеющих дан-
п
ный признак; р% — доля вариант данного признака, выраженная
|
в процентах от общего числа наблюдений |
(N); а — число града |
|
ций фактора А; |
п — число наблюдений |
в |
отдельных |
градациях |
|
фактора А; N — общее число наблюдений, или объем дисперси |
|
онного комплекса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 114 |
|
|
|
|
Результативный |
признак выражен в |
|
|
|
Источники варьиро |
|
долях единицы |
|
|
|
процентах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вания |
Суммы квадратов |
С тепе |
|
Суммы квадратов |
|
Степени |
|
|
|
|
|
|
ни сво |
|
|
|
|
|
отклонений |
|
|
отклонений |
|
свободы |
|
|
|
боды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее варьи |
п |
V |
<2т)2 |
N — 1 |
|
|
|
( 2 о % ) 2 |
|
|
D y == Y p % -— ■ |
- |
1 0 0 а — 1 |
|
рование |
D y |
— I m |
N |
|
|
|
|
|
|
Y |
■ |
1 0 0 а |
|
|
|
Межгрупповое . . |
D x — 'Zmp — |
( 2 / и ) 2 |
а—1 |
^ |
|
Л р %)2 |
( ^ % ) 2 |
|
|
-— — |
* |
а — 1. |
|
|
|
|
N ■ |
|
|
^ 1 0 0 |
1 0 0 а |
|
|
Остаточное . . . |
D z |
— I m — |
I m p |
N — а |
|
D z = D y — |
D x |
|
1 0 0 а — а |
Рассмотрим следующий пример. В связи с миксовирусной инфекцией у детей измерялся уровень эритроцитарных аутоанти тел. Данные, характеризующие изменчивость уровня Г-агглюти- нина в зависимости от возраста детей, сведены в табл. 115. Нужно установить, достоверны или случайны различия, наблю даемые между здоровыми детьми и реконвалесцентами по титру Т-антител.
Т а б л и ц а 115
|
|
Возраст |
детей в годах |
|
|
П оказатели |
3 |
4 - |
5 |
6—7 |
8 - 9 |
2 |
Всего обследовано . . |
9 |
13 |
20 |
9 |
17 |
12 |
Из них здоровых . . |
4 |
4 |
6 |
2 |
12 |
8 |
Реконвалесцентов |
5 |
9 |
14 |
7 |
5 |
4 |
Чтобы определить суммы квадратов отклонений, необходимо
т. 2
сначала рассчитать вспомогательные величины Em и — . Рае-
гг
чет показан в табл. 116.
