|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 104 |
|
Хѵ А |
Средние по градациям А |
Квадраты средних |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
В |
Л1 |
А 2 |
Лз |
А г |
а 2 |
Л з |
|
|
|
Ві |
2,5 |
2,8 |
2,4 |
6,25 |
7,84 |
5,76 |
19,85 |
|
В 2 |
3,8 |
4,2 |
3,7 |
14,44 |
17,64 |
13,70 |
45,78 |
|
В3 |
2,8 |
3,4 |
3,6 |
7,84 |
11,56 |
12,98 |
32,38 |
|
в4 |
3,1 |
3,0 |
3,0 |
9,62 |
9,00 |
9,00 |
27,62 |
|
Сумма |
— |
— |
— |
- |
— |
— |
125,63 |
|
Определяем сумму квадратов отклонений по градациям фак |
|
торов: |
|
Dx = 3 X |
125,63 - 367,36 = 9,53. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Выше найдена общая сумма |
квадратов |
отклонений DY = 15,78, |
откуда Dz = 15,78—9,53 = 6,25. Определяем |
суммы квадратов по |
факторам |
А и |
В. В табл. 101 находим |
значения: |
2 (2 *A )2 = |
= 4414,46 |
и 2 (2*в)2 = 3377,70. Остается подставить |
найденные |
значения в формулы: |
|
|
|
|
Dа = |
^ |
(4414,46)-367,36 = |
367,87 - 367,36 = |
0,51, |
|
о X 4 |
|
|
|
|
|
Dв = |
3 ^ 3 |
(3377,70)— 367,36 = |
375,30—-367,36 = |
7,94, |
DAB = Dx — DA — DB = 9,53 |
— 0,51 - 7,94 = |
1,08. |
Получился тот же результат, что и выше, |
поэтому |
продолжать |
уже проведенный выше анализ не имеет смысла.
Из приведенных примеров видно, что вспомогательные вели чины можно рассчитать по-разному. Удобной формой организа ции выборочного материала служит такая, в которой градации факторов располагаются по столбцам комбинативной таблицы.
Этот |
способ расчета вспомогательных значений показан в |
табл. |
105. В этой таблице каждая варианта увеличена в /(=10 |
раз, что избавило от дробей. Поэтому при вычислении сумм ква- ' дратов отклонений суммарные величины, приведенные в послед нем столбце табл. 105, должны уменьшаться в /С2 == 100 раз.
Воспользуемся данными табл. 105 и определим сумму квадра тов отклонений, общую для всего комплекса:
DY = 2х2 — |
№ |
1152 |
383,14 |
|
N |
36 |
= 383,14-367,36 = 15,73,
факториальную (по градациям комплекса): |
|
(2л:г)2 (Ех)2 |
376,89 - |
367,36 = 9,53 |
Dx = 2 - — |
-------і— — = |
гц |
N |
|
|
и остаточную, или |
случайную: |
DZ= DV— |
= 15,78—9,53 = 6,25. |
Осталось найти суммы квадратов отклонений по факторам А и В и их взаимодействию AB. Для этого необходимо рассчитать вспо-
|
|
(SxA)2 |
(Ехв)2 |
|
, |
„ |
|
могательные величины 2 - ----- и ѵ :-------- 1_, |
где «А = аХЬ = ЗХ |
|
|
пА |
Пв |
|
|
|
|
Х4=12 и пв = аХПі — З Х 3 = 9. Расчет приводится в |
табл. |
106. |
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
106 |
|
Расчет значений ЕдГд |
(^д)* |
Расчет значений Е.г^ |
(Ъхв у |
|
пв |
|
|
пА |
|
|
|
75 + 113+ 85 +93=366 |
11 163 |
75+ 84+ |
73=232 |
5 981 |
|
84+125+103 +89=401 |
13 400 |
113+125 + 111=349 |
13 533 |
|
73+111+108+91=383 |
12 224 |
85+ 103+108=296 |
9 735 |
|
|
|
93 + 89+ |
91=273 |
8 281 |
|
Сумма . . . |
36 787 |
|
|
37 530 |
Определяем факториальные суммы квадратов отклонений:
(2хА)2 |
( 2 х ) 2 |
367,87 — 367,36 = |
0,51, |
DA = Е -— —------2— — = |
пА |
N |
|
|
DB = S (2*в)2- |
= |
375,30 - 367,36 = |
7,94, |
пв |
N |
|
|
DAB ■ Dx — ÜA — ÜB = 9,53 — 0,51 — 7,94 = 1,08.
Получился тот же результат, что и выше.
Равномерные комплексы при наличии больших групп
При обработке более сложных дисперсионных комплексов, в которых повторяются отдельные значения признака, суммы квад ратов отклонений можно рассчитать по следующим рабочим фор мулам:
(Ера)2 |
(Ержа)2 |
(Sp a y |
Dу = 2ра2 |
Dx = Е |
N ’ |
N ’ |
Пі |
|
Dz = |
2pa2- 2 |
(2 pxa)2 |
(2pxa)2 (2 pa)z |
|
ni |
DA = 2 |
N |
|
|
|
nA |
|
DB |
2 |
(2 p a y |
’ DAB — Dx — DA |
Db. |
|
N |
|
nB |
Здесь px—частоты в классах варьирующего признака, р = 2рж—
сумма частот в классах вариационного |
ряда; а = х—А — откло |
нения классов |
(или классовых вариант) |
от условной средней А, |
где X—А = 0; Пі— сумма частот |
по градациям факторов |
А и В ; |
Па — сумма частот по фактору А; пв — сумма частот по |
факто |
ру В; N — общая сумма частот или полный объем комплекса. |
В целях упрощения в написании указанных формул |
введем |
следующие символы: |
|
|
|
|
2йж= 2 (2ржа)2 _ |
2ЙЛ = 2 (2ржа )2 |
|
|
Пі |
|
пА |
|
и |
2 hB = 2 |
(2ржа)2 |
|
Пв |
|
|
|
|
|
|
Техника расчетов в дисперсионном |
анализе двухфакторного |
комплекса больших групп в принципе остается той же, что опи сана выше применительно к однофакторным комплексам для больших групп. Покажем это на следующем примере. На шести разновозрастных группах детей изучалось протекание глазо-сер дечного рефлекса. По длительности латентного периода реакции
группа мальчиков (Лі) |
и группа девочек |
(Лг)— каждая в от |
дельности— делились |
на две категории |
(градации)— В і и В2. |
В первую (Ві) включались случаи, когда латентный период реак ции оказывался меньше 0,5 сек, а во вторую (В2) относились случаи, когда латентный период реакции длился от 0,5 до 1,5 сек. Полученные в опыте результаты распределились по возрастным группам и градациям учитываемых факторов (т. е. в зависимос ти от пола и длительности протекания латентного периода глазо сердечного рефлекса) следующим образом (табл. 107), Необхо димо выяснить, в какой зависимости находится протекание скрытого периода глазо-сердечного рефлекса от іпола и возрас та детей.
Чтобы решить эту задачу подвергнем собранные данные дис персионному анализу. В табл. 107 рассчитаны 2Ра и 2Р а2. Что бы рассчитать величину 2 А*, нужно перемножить частоты (Рх) на отклонения классов (а), полученные результаты сложить, сум мы возвести в квадрат и разделить на суммы частот по столбцам комбинационной таблицы. Расчет величины 2 hx показан в табл. 108.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 107 |
Возраст |
|
А , |
|
|
А, |
|
|
|
|
Градации |
|
|
|
|
|
|
а |
ра |
р а г |
годах от—до |
|
В , |
в 2 |
В , |
в 2 |
|
ввключительно |
|
Р |
|
|
|
1—2 |
|
9 |
5 |
7 |
6 |
27 |
- 2 |
—54 |
108 |
а = 2 |
2 - |
|
|
3 19 |
4 |
21 |
5 |
49 |
— 1 |
- 4 9 |
49 |
|
|
6 = 2 |
3 - |
|
|
4 27 |
9 |
29 |
7 |
72 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
4 - |
|
|
5 |
11 |
11 |
10 |
12 |
44 |
+ 1 |
+44 |
44 |
|
5 - |
|
|
6 |
8 |
5 |
12 |
4 |
29 |
+ 2 |
+58 |
116 |
|
6 - |
|
|
7 |
8 |
4 |
3 |
4 |
19 |
+ 3 |
+57 |
171 |
|
Сумма (пі) |
|
82 |
38 |
82 |
38 |
240 |
— |
+56 |
488 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Т а б л и ц а 108 |
Показатели |
|
В г |
А ! |
в 2 |
|
А |
В 2 |
|
Сумма |
|
|
|
|
|
|
B t |
|
|
|
|
|
|
9 Х - 2 |
|
5 Х - 2 |
|
7 Х - 2 |
|
6х— 2 |
|
|
|
|
|
|
19 X — 1 |
|
4 Х - 1 |
2 1 X — 1 |
5 Х — 1 |
|
|
Р х |
Х |
а |
|
2 7 X ± 0 |
|
9 Х ± 0 |
2 9 Х ± 0 |
7 Х + 0 |
|
— |
|
1 1 Х + 1 |
|
1 1 Х + 1 |
Ю х + 1 |
1 2 Х + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 Х + 2 |
|
5 х + 2 |
1 2 Х + 2 |
4 Х + 2 |
|
|
|
|
|
j |
8 Х + 3 |
|
4 Х + 3 |
|
зх+з |
4 Х + 3 |
|
|
1 р х |
а |
|
+ 1 4 |
|
+ 19 |
|
+ 8 |
|
+ 15 |
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
Ъ р х |
а |
|
|
0 ,1 7 |
|
0 ,5 0 |
|
0 ,1 0 |
|
0 ,4 0 |
2 —— |
= 1 ,1 7 |
П і |
|
|
|
|
|
|
( ? р х а |
) 2 |
|
196 |
|
361 |
|
64 |
|
225 |
|
— |
( Ъ р х а ) 2 |
|
2 ,3 9 |
|
9 ,5 0 |
|
0 ,7 8 |
|
5 ,9 2 |
2ЛЖ — 1 8 ,5 9 |
П і |
|
|
|
|
|
Остается рассчитать вспомогательные величины S h A и ShB, |
входящие в состав формул факториальных |
сумм |
квадратов от |
клонений. Расчет этих величин |
показан в табл. 109. В |
этой же |
таблице рассчитаны средние арифметические по отдельным гра дациям учитываемых факторов.
Переходим к определению сумм квадратов отклонений:
D у — Spa2 |
(Zpa) |
2 . |
N |
- = 488 ---- = 488 — 13,07 = 474,93. |
|
240 |
