Файл: Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие.pdf

где X — значения вариант, а р — их частоты или «веса». Средняя, вычисляемая с учетом частот или «весов» отдельных вариант, на­ зывается в з в е ш е н н о й средней. Само собой понятно, что варианта, которая встречается в совокупности наиболее часто, окажет и большее влияние на среднюю величину по сравнению с другими вариантами, входящими в ее состав. Отсюда и возника­ ет понятие статистического веса, совпадающее с понятием часто­ ты отдельных вариант изучаемой совокупности. Например, ре­ зультаты подсчета количества зерен, содержавшихся в 18 наугад отобранных колосьях озимой ржи, распределились следующим образом:

Сумма частот составляет 2р=18. Видно, что разные колосья содержат разное количество зерен, но не все имеют одинаковый «вес»: большее число колосьев содержит по десять зерен, тогда как другие колосья имеют одни меньше, другие больше зерен. Средняя арифметическая в этом случае определяется так:

* = і 8 ( 7 Х 1 + 8 Х 1 + 9 Х 2 + 1 0 Х 7 + П Х 3 +

+ 1 2 X3 + 13Х 1) = ——■= 10,28 зерен. 18

Аналогичным способом рассчитывается и общая средняя (х) из суммы частных средних (#,), полученных на однородных группах наблюдений. Только весами в таких случаях служат не частоты вариант, а объемы групп, на которых вычислены частные средние. Формула 18 применительно к такого рода случаям при­ обретает следующий вид:

Например, на одновозрастной группе одного и того же пола в составе 30 человек определялось количество гемоглобина в крови. Средняя арифметическая оказалась равной 69,8%. В то же время на другой аналогичной группе, насчитывавшей 20 человек, тот же показатель оказался равным 64,9%- Нужно определить среднее содержание гемоглобина в крови по суммарным данным для всех 50 человек.

Если бы число наблюдений в первом и во втором случаях было одинаковым, задача решалась довольно просто — путем отнесения суммы частных средних арифметических к их числу, т. е. в данном случае взяли бы полусумму групповых средних:

<3

х = (69,8 + 64,9) : 2 = 67,35%. Но при разных объемах групп этот суммарный показатель будет неточным, так как он не учитыва­ ет веса частных средних, входящих в обобщенную среднюю вели­ чину. Поэтому более точный результат получится, если общая средняя рассчитывается по формуле 19:

30 X 69,8 + 20 X 64,9

67,84%.

30 + 20

Сокращенный способ вычисления средней арифметической (способ условной средней)

Вычисление средней арифметической описанным выше спо­ собом взвешенных вариант не всегда удобно, особенно на сово­ купностях большого объема и при наличии многозначных чисел, когда вычислительная работа становится особенно трудоемкой. В таких случаях проще рассчитать среднеарифметическую упро­ щенным способом, описываемом в разных руководствах под раз­ ными названиями: способ условного начала, условной средней, условного нуля, условного интервала и т. д. Сущность этого спо­ соба, для которого здесь сохраняется название условной средней, заключается в следующем. Одну из вариант, все равно какую, условно принимают за среднюю величину, обозначив ее через А. Обычно в качестве условной средней, или условного начала, бе­

средней, чтобы получить истинное значение средней арифметиче­ ской (X). Такой поправкой служит взвешенная сумма отклонений вариант от условной средней, отнесенная к числу всех вариант данной совокупности и называемая условным моментом первого

Под моментами распределения понимаются средние величи­ ны, представляющие отклонения вариант от какого-нибудь чис­ ла — средней арифметической, условной средней или нуля, воз­ веденные в ту или иную степень и отнесенные к общему числу наблюдений. При этом отклонением называется разность между

основании, чтобы отклонения вариант меньше средней величины

44

Если отклонения берутся от среднеарифметической, моменты называются ц е н т р а л ь н ы м и ; их обыкновенно обозначают греческой буквой ц (ми). Если же отклонения берутся от произ­ вольно выбранного числа А, моменты называются у с л о в н ы -

м и. Когда же отклонения берутся от нуля, моменты называются

на ч а л ь н ы м и . В зависимости от степени отклонений моменты распределения могут быть первого, второго и больших порядков (табл. 8).

Ирх2

п

Можно сказать, что средняя арифметическая (ж) является на­ чальным моментом первого порядка (mi). Центральные моменты нормального распределения связаны с условными моментами следующими формулами, которые используются при вычислении характеристик вариационного ряда:

45

Используя условный момент первого порядка в качестве по­ правки к условной средней А, получим формулу средней ариф­ метической:

Покажем применение этой формулы на рассмотренном выше, примере; определим среднее число зерен в 10 колосьях озимой ржи:

Сумма произведений частот на отклонения: —18+ 5= —13, откуда

18V

Вкачестве условной средней взята варианта «11». Но можно взять любую другую варианту и результат получится тот же самый:

Преимущество этого способа особенно заметно при вычисле­ нии средней арифметической на больших совокупностях и при наличии многозначных чисел. Покажем это на следующем при­ мере. По данным Л. С. Берга (1924), 267 датских угрей распре­ делились по числу позвонков следующим образом:

Перемножив варианты на их частоты и просуммировав результа­

46

Теперь рассчитаем среднюю арифметическую этого распре­ деления по упрощенному способу. В качестве условной средней

ізьмем варианту 115, т. е. А = 115:

п267

Получился тот же результат, что и выше, но при меньшей вычислительной работе, так как удалось избежать перемноже­ ния многозначных чисел.

Описываемый способ еще больше упрощается, если отклоне­ ния классовых вариант от условной средней относить к величи­ не классового интервала, т. е. вместо а = х — А выражать откло-

Эта формула настолько упрощает расчеты средней арифметиче­ ской, что, кажется, предпочесть этому способу какой-нибудь дру­ гой просто невозможно.

Применим эту формулу, а для сравнения и предыдущую фор­ мулу 20 к расчету средней арифметической ряда распределения по уровню кальция (мг%) в сыворотке крови лавианов-гамадри-

лов (табл. 9).

Подставляя из табл. 9 в формулы 20 и 21 соответствующие

*= А+І (^г) =и ’7+ °’7© =

= 11,7 + 0,196 = 11,90 мг%.

47