Файл: Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие.pdf

Сравнивая тот и другой способы расчета средней, нельзя не отдать второму способу преимущество перед первым.

Способ суммирования

Существует еще один довольно простой и оригинальный спо­ соб определения средней арифметической, основанный на пред­ варительной кумуляции частот вариационного ряда, который на­ зывается способом суммирования. Кумуляция, или последова­ тельное суммирование (интеграция) частот, производится с противоположных концов к центру ряда — до условной средней А либо в направлении от максимальной варианты до конца ва­ риационного ряда. Отметим два варианта определения средней

48

где А — условная средняя; п — общее число вариант в данной совокупности; d — разность между суммами первого и второго неполных рядов накопленных частот, получаемых кумуляцией частот с противоположных концов вариационного ряда до услов­

Ряды накопленных частот получены следующим образом: первый ряд 3 + 9 = 12+ 31 =43 + 71 == 114, второй ряд 1+5 = 6+19 = 25 + + 46 = 71. Далее накопленные частоты суммируются, причем пер­ вая сумма берется с отрицательным, а вторая с положительным знаками 3+12 + 43 + 114= —172 и 1+6 + 25 + 71 = +103. Находим разницу между суммами накопленных частот d = —172+103 = = —69. Подставляя найденное значение d в формулу, находим

—69

X — 115-4------= 115 — 0 ,5 6 = 114,74 позвонка. 267

Если варианты относятся к классам вариационного ряда, т. е. в случаях интервального построения ряда, при определении сред­ ней арифметической этим способом в формулу 22 вносится по­ правка— второй член правой части формулы умножается на ве­ личину классового интервала и формула приобретает следующий вид:

Применим эту формулу к расчету средней арифметической распределения кальция (мг%) в сыворотке крови павианов-га- мадрилов. Вычислим сначала величину d (табл. 10).

Подставляя найденную величину d в формулу 23, получим:

( 28 \

— ) = 11,90 жг%.

Второй вариант. Вместо условной средней А можно взять разность между минимальной вариантой (хт т) и величиной клас­ сового интервала (г), на которую отличаются соседние вариан­ ты. К полученной разности (xmjn—г) прибавляется сумма первого полного ряда накопленных частот (Si), отнесенная к числу всех вариант (п) и умноженная на величину классового интервала. Получается следующая формула:

49

Полный ряд накопленных частот образуется последовательной кумуляцией всех частот вариационного ряда в направлении от максимальной варианты (но не наоборот!). Применим эту фор­ мулу к рассматриваемому примеру распределения кальция

(мг%) в сыворотке крови павианов-гамадрилов (табл. 11). Таблица 11

Используя данные табл. 11, среднюю арифметическую можно вычислить и по формуле 23, приняв в качестве условной средней А минимальную варианту. В таком случае первый ряд накоплен­ ных частот доводится не до конца вариационного ряда, а до ус­ ловного начала А:

50

—8,9 + 2,996 = 11,896, или х = 11,90 мг%.

Так что разница между описанными вариантами способа сумми­ рования носит не принципиальный, а чисто формальный харак­ тер. (Другие варианты описанного способа можно найти в статье В. В. Алпатова (1967) '.)

Свойства средней арифметической

Формально эмпирическая средняя (х) соответствует матема­ тическому ожиданию распределения вероятных значений случай­ ной величины. Однако знак равенства между этими средними ставить нельзя. Средняя арифметическая из отдельных значений случайной величины X приближается к ее математическому ожи­ данию по мере увеличения числа испытаний (п), т. е. при п-уоо Х-+Е (х). Рассмотрим основные свойства средней арифме­ тической, поскольку с ней связаны расчеты характеристик вариа­ ционного ряда.

1. Сумма всех положительных и отрицательных отклонений вариант от средней арифметической равняется нулю, т. е.

2 (Хі — х) = 0.

Это можно показать на самом простом примере. Возьмем следу­ ющие пять вариант: 2 4 4 6 9. Их средняя х = (2 + 4 + 4 + 6 + + 9) :5 = 5. Выпишем отклонения каждой варианты от средней и просуммируем их:

2—5=—3

4— 5 = — 1 4— 5 = — 1

2 ( х і — х)= 0

Средняя арифметическая — это центр распределения; вариан­ ты больше и меньше средней величины как бы уравновешивают­ ся, положительные и отрицательные отклонения вариант от сред­

случаи указывают на погрешности, допущенные при округлении дробных чисел. Используя количественные методы, приходится, как правило, иметь дело с приближенными числами. Обычно дробные числа округляются до десятых и сотых, а при более точ­ ных вычислениях и до тысячных долей единицы; гораздо реже производятся более точные измерения. Опыт показывает, что нет необходимости во всех случаях гнаться за мнимой точностью расчетов, когда она практически не нужна. В этой связи полезно

1 См. Бюллетень М.ОИП, отд. биол„ т. 72(1), 1967.

51