ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 266
Скачиваний: 1
напомнить основные правила округления дробных чисел. 1) Ес ли цифра, стоящая за сохраняемой, меньше 5, она отбрасывает ся, а если больше 5, то сохраняемая цифра увеличивается на еди ницу. Например, числа 45,4366 и 31,4237 округляются до сотых знаков так: 45,44 и 31,42. Если же округлить эти числа до деся тых знаков, получим: 45,4 и 31,4. Округляя дробные числа, сле дует поступать так, чтобы допускаемая погрешность оказалась минимальной. Соответственно этому числа 1,450, 4,852, 0,850, 0,458 и 0,05 следует округлять до десятого знака следующим об разом: 1,4 4,9 0,9 0,5 и 0,0. 2) В тех случаях, когда для округле ния числа необходимо отбросить единственную цифру 5, за кото рой нет других цифр, придерживаются следующего правила: последнюю сохраняемую цифру оставляют без изменения, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная, наприг мер, 3,585 округляется до 3,58, 3,575 — до 3,58, 16,0815 — до 16,082 и т. д. При этом не рекомендуется отбрасывать нули, ко торыми заканчиваются округленные числа, чтобы показать тем самым действительную степень точности числа. Например, округ ляя числа 5,402 и 8,697 до сотых долей, следует записать 5,40 и 8,70, а не 5,4 и 8,7.
2. Сумма квадратов отклонений вариант от средней арифме тической есть величина наименьшая по сравнению с суммой квадратов отклонений вариант той же совокупности от любой ве личины, отличной от средней арифметической, т. е.
2 ( х г- - х ) 2 < 2 ( х ; - Л ) 2 .
Продемонстрируем это свойство на том же простом примере. Сначала найдем сумму квадратов отклонений вариант 2 4 4 6 и 9 от их средней х = 5:
(X — * ) = — 3— 1— 1+ 1+ 4
(х і- х)2 — 9 1 |
1 1 16; |
2 (х* — х )2 = |
28. |
Затем определим сумму квадратов отклонений, например, от ва рианты 6, т. е., возьмем А = 6:
(Хі — А) = 2 — 6 == — 4
4 — 6 == — 2
4 — 6 = — 2
6 — 6 = + 0
9 — 6 = + 3,
2 (Хі — А )2 = 42 + 22 + 22 + З2 = 33. Нашли, что 28 < 33.
52
3. Сумма квадратов отклонений вариант от средней арифме тической равна сумме квадратов этих вариант минус квадрат их суммы, отнесенный к общему числу вариант данной совокупно сти, т. е.
(2х)2 |
. |
2 ( х * - х ) 2= 2х2- — |
|
п |
|
Воспользуемся теми же вариантами 2 4 4 6 и 9. Выше было най дено 2(х,—х )2 —28. Эта величина получается и путем следующе го расчета: 2х2 = 22 + 4 2 + 42 + 62 + 92= 153; 2х = 2-р4 + 4+ 6+ 9 = = 25 и (2х)2=252 = 625, отсюда
625 |
1 5 3 - 125 = 28. |
2 (х* — х )2 = 153 Т |
4. Сумма квадратов отклонений вариант от средней арифме тической равна сумме квадратов этих вариант минус произведе ние общего числа вариант, входящих в состав данной совокуп ности, на квадрат средней арифметической, т. е.
2 (Хі — х )2 = 2х2 — п X X2.
Для тех же пяти вариант — 2 4 4 6 9 — известны: 2(Xj—х )2 = 28, 2х2 = 153, х = 5 и х2 = 25, отсюда 2 (х*—х )2= 153—5x25 = 28.
5. Сумма квадратов отклонений вариант от средней арифме тической равняется сумме квадратов отклонений вариант от ус ловной средней А минус квадрат суммы отклонений вариант от условной средней, отнесенный к общему числу вариант данной совокупности, т. е.
2 (хі — х )2 = |
„ |
[2 (х, — Л)]2 |
|
|
2 (Хі — Л)2- |
І-АЛ------ — . |
|
||
Для вариант 2 4 4 6 и 9 было найдено: |
|
|
|
|
2 (Xj — х )2 = 28, 2 (хі — Л)2 = 33 и 2 (х« — Л) = |
— 8 |
+ 3 = — 5, |
||
откуда |
— 52 |
|
|
|
2 (Хі — х )2 = |
33 - 5 = |
28. |
|
|
33--------- = |
|
—5
6.Если каждую варианту увеличить (или уменьшить) на ка кую-то положительную величину К, то и средняя арифметиче ская увеличится (или уменьшится) на ту же величину, т. е.
г2 (X ± К)
— X ± К .
п
К каждой из приведенных выше вариант прибавим единицу и вы числим среднюю арифметическую:
- := |
(2+1) + (4+1) + (4+1) + (6+1) + (9+1) |
= 30 = |
Х |
5 |
5 |
5 а
ИЛИ X + 1 = 6.
7. Если каждую варианту увеличить (или уменьшить) в К раз, то и средняя арифметическая увеличится (или уменьшится) во столько же раз, т. е.
2 ( х Х К ) |
_ w l , |
X |
------------- = |
X X А |
или |
п |
|
~ к ‘ |
Увеличим каждую варианту совокупности в два раза и найдем среднюю арифметическую
(2 X 2 + 4 X 2 + 4 X 2 + 6X2 + 9X2) :5 = ~ = 10, иля 2Х* =
= 2 X 5 = 10.
СРЕДНЯЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ
Когда изучаемый признак находится в обратной пропорцио нальности к другому признаку, связанному с’ ним функциональ но, то более точную характеристику ему дает средняя гармониче ская, обозначаемая символом хь- Эта средняя представляет от ношение общего числа наблюдений (п) к сумме их обратных значений, т. е.
xft = |
(25) |
Здесь X — значение отдельной варианты; 2 — знак суммирования; п — общее число вариант в данной совокупности, т. е. ее объем.
Например, пять доярок в течение часа надоили следующее ко личество молока: первая— 10, вторая — 20, третья — 25, четвер тая— 30 и пятая — 20 л молока, а всего 105 л за час. Нужно оп ределить, сколько времени в среднем затрачивает доярка на вы
даивание 1 л |
молока. |
|
Если эту задачу решать с помощью средней арифметической, |
||
получается X |
_105 |
л молока за |
21 л,откуда на выдаивание 1 |
||
|
Т = |
|
трачивается 60:'21 =2,86 мин. Однако этот расчет недостаточно точный. Ведь фактически на выдаивание 105 л молока затрачено 6О/ і0 + 6О/20 + 6О/25 + 6О/з0+ 6О/20=16,4 мин. Следовательно, на выдаи вание 1 л молока доярка затрачивает в среднем 16,4 : 5 = 3,28 мин (а не 2,86 мин, как получилось выше). Именно за один час дояр ка надоила в среднем не 21 л, а меньше:
Xh = 5: (Ѵіо + Ѵго + Ѵгэ + Узо + Уго) = ^ |
= 1^,31 л, |
откуда на выдаивание \ л молока доярка затрачивает в среднем 60/і8,зі = 3,28 мин.
Если выборка сгруппирована в виде вариационного ряда, т. е. ранжирована с указанием частот отдельных вариант, для ее ха
54
рактеристики вычисляется взвешенная средняя гармоническая по следующей формуле:
= |
(26) |
Например, для определения средней плотности колосьев ржи бы ла измерена длина 20 колосьев и подсчитано количество зерен в каждом колосе. Результаты распределились следующим образом:
длина колосьев (см): |
8 |
9 |
10 |
11 |
• 12 |
число зерен в колосе: |
36 |
38 |
40 |
41 |
42 |
частоты (р): |
2 |
5 |
10 |
2 |
1 |
плотность колосьев: |
4,5 |
4,2 |
4,0 |
3,7 |
3,5* |
* Плотность равна отношению числа зерен к длине колосьев.
Вычислим среднюю гармоническую, характеризующую среднюю плотность колосьев в этом распределении:
X h = 20: ( 2 x |
^ |
+ 5 X |
4,2 |
1 0 Х — ь |
' |
4,5 |
|
4,0 |
1 + 2 Х а
Если же характеризовать этот признак средней арифметической, то получается следующий результат:
X = (2 X 4,5 + 5 X 4,2 + 10 X 4 + 2 X 3,7 + 1 X 3,5) :20 =
Видно, что средняя арифметическая несколько больше средней гармонической, хотя разница в данном случае невелика.
СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ
Когда признаки выражаются мерами площади, их средняя величина более точно характеризуется средней квадратической, обозначаемой символом х д. Примерами такого рода признаков могут служить размеры корзинок подсолнечника — признак, раз меры которого в значительной мере определяют урожай отдель ных растений. Размеры колоний микробов, величина листовых пластинок у растений, с которой связана продуктивность фото синтеза, и другие признаки.
Средняя квадратическая равняется корню квадратному из суммы квадратов вариант, отнесенной к их общему числу:
X q ИЛИ Xq (27)
55
Этот показатель применяется при определении среднего диамет ра какой-либо поверхности. Например, измерение диаметра у 10 корзинок подсолнечника дало следующие результаты:
диаметр корзинок |
(см): |
8 |
11 |
13 |
15 |
16 |
17 |
число случаев (р): |
|
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
Нужно, определить средний |
размер |
этого |
признака. Средняя |
||||
арифметическая |
'Zpx |
|
139 |
|
|
|
|
X — |
|
13,9 см |
|
|
|||
-------- |
|
---- = |
|
|
|||
|
п |
|
10 |
|
|
|
|
в данном случае дает заниженный результат. Более точным по казателем оказывается средняя квадратическая:
Ерх2 = 1 X 82 + 1 X 1 12 + 2 X 132 + 3 X 152 + 2 X 162 +
+ 1 X 172 — 1999, откуда
1999
14,1 см.
У - Т(Г
СРЕДНЯЯ КУБИЧЕСКАЯ
Когда необходимо определить средний размер объемных при знаков, используется средняя кубическая, обозначаемая симво лом X Q . Она равна корню кубическому из суммы кубов вариант, деленной на их общее число:
2х3 |
з |
|
|
XQ — У— п j или |
(28) |
Пример. Измерялся диаметр 18 куриных яиц (бралась полу сумма малого и большого диаметров яиц), результаты оказались следующие:
диаметр яиц |
(см): |
4,7 |
4,8 |
6 |
5,0 |
5,4 |
5,6 |
6,0 |
число случаев |
(р): |
2 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
Нужно определить средний размер яиц по их диаметру. Вычисля ем среднюю кубическую (взвешенную)
Ирх3= 2 (4,7)3 + 4 (4,8)3 + 6 (5,0)3 + 3 (5,4)3 + 2 (5,6)3 +
+ 1 (6,0)3 = 207,6 + 442,4 + 750,0 + 472,5 +
+ 351,2 + 216,0 = 2439,7,
Откуда находим
з_______ |
з____ |
|
|
У |
2430 7 |
5,14 см. |
|
|
----- — — уі35,6 = |
||
|
18 |
|
* |
56
Если вычислить среднюю арифметическую этого признака, она оказывается несколько меньше по сравнению со средней кубиче ской, что видно из следующего расчета:
2,рх
см
п
СРЕДНЯЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
Средняя геометрическая, обозначаемая через x g, представля ет корень п-й степени из произведений членов ряда, т. е.
Xg -- У*1 X *2 X *3 X • • • X Хп.
Например, средняя геометрическая чисел 5, 8, 25 равняется:
£g = |
3 |
3 |
|
|
y 5 X 8 X 2 5 = y 1000 = 10. |
|
|||
Обычно средняя |
геометрическая |
вычисляется с помощью |
деся |
|
тичных логарифмов по следующей формуле: |
|
|||
1 |
' |
lg *2 + lg X3+ |
1 |
(29) |
lg Xg = — (lg Xi + |
... + lg Xn) = — (S lg Xi), |
|||
n |
|
|
n |
|
T. e. логарифм средней геометрической равен сумме логарифмов членов ряда, отнесенной к их общему числу; логарифм средней геометрической есть средняя арифметическая из логарифмов чле нов данного ряда.
Средняя геометрическая характеризует средние величины прибавок веса, линейных размеров тела или средний прирост по пуляции за определенные промежутки времени, поэтому она вы числяется не из абсолютных чисел ряда, а из их разностей или отношений. Средняя геометрическая особенно удобна в тех слу чаях, когда признак, изменяясь во времени, выражается в виде прироста в долях единицы или в процентах. Покажем расчет средней геометрической на соответствующем примере. По дан
ным Г. М. Никольского |
(1944), линейный рост сазана Азовского |
||||
моря характеризуется следующими показателями: |
|
||||
возраст сазана (годы): |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
длина тела (см): |
13,0 |
25,5 |
34,9 |
41,0 |
45,6 |
Вычислим средний годовой прирост длины тела азовского сазана за первые пять лет его жизни. Расчет суммы логарифмов из абсо лютных величин прироста показан в табл. 12.
Подставляя найденное значение 2 1gx в формулу, находим:3
3 51813
1g x g = —— -----= 0,87953. Откуда x g — 7,58 см.
57