Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 378
Скачиваний: 10
36 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ [ГЛ. ш
уравнение прямой, проходящей через начало коор динат:
У = kx; |
(5) |
уравнение прямой с угловым коэффициентом и на чальной ординатой:
у = kx + Ь. |
(6) |
Уравнения (1) — (6) исчерпывают все возможные поло жения прямой, поэтому можно сказать, что
всякая прямая линия определяется уравнением пер вой степени.
Покажем теперь, что указанные виды уравнения пря мой можно получить из уравнения
Ах + |
Ву + С = 0 |
(7) |
|
при некоторых частных |
значениях коэффициентов |
||
А, |
|||
|
Ви С.
I. Если В = 0, то уравнение (7) обратится в следующее:
откуда |
|
Ах |
1! |
С = |
0, |
||
|
|
1 |
ОІ"? |
|
|||
Положив |
|
|
|
А |
~ а’ |
||
получим: |
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
х = |
а. |
|
||
|
А х -\ -С = |
|
0 |
есть |
уравнение |
||
УравнениеА —Оу. |
|
|
|||||
раллельной оси |
|
|
|
|
|
|
|
II. Если |
0, то |
By |
+ |
С — |
О, |
||
отсюда |
|
|
|
|
С_ |
||
|
У = |
|
в |
|
|||
Положив |
|
|
|
ВС |
— Ь, |
|
|
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
У = Ь.
§ >3] |
|
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ |
37 |
|||||
|
By |
+ |
С |
0 |
определяет прямую, |
парал |
||
УравнениеВ = |
|
|
С= |
|||||
лельную оси |
Ох. |
|
0 и |
|
= |
0, то |
|
|
III. Если |
|
|
|
|
||||
Ах — О,
отсюда
х— 0,
т.е. имеем уравнение оси ординат. IV . Если А = 0 и С = 0, то
By — О,
отсюда
У— О,
т.е. имеем уравнение оси абсцисс. V . Если С = 0, то
отсюда |
Ах + ByА= О, |
|
у = ~ г х - |
|
|
Положим |
—В = кk’ |
|
тогда |
у — kx. |
прямую, прохо |
Уравнение |
Ах + By — 0 определя'ет |
|
дящую через начало координат. |
уравнения (7) |
|
V I. Если ни один из коэффициентов |
||
не равен нулю, то и в этом случае его можно преобразо вать в знакомую нам форму уравнения прямой. Найдем
из уравнения |
(7) значениеУ |
у: |
|
|
|
ß х |
ß ■ |
|
|||
Положив |
В |
-.к, |
= |
(В) |
|
|
А_ |
|
|
|
|
можем написать:
у = kx + Ь.
Следовательно, уравнение
Ах + By + С — О
38 |
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ |
[ГЛ. ІИ |
включает в себя все возможные (рассмотренные нами ранее) уравнения прямой; поэтому оно называется об щим уравнением прямой.
Итак, всякое уравнение первой степени Ах + Ву + С = О
при любых значениях коэффициентов А, В и С, исключая одновременное равенство А и В нулю, определяет пря мую линию.
П р и м е р 1. Построить прямую 2х — 5і/+10 = 0. |
|
Р е ш е н и е . Проще |
всего построить прямую по двум |
ее точкам пересечения |
с осями координат. Положив в |
данном уравнении |
у |
= |
0, |
|
получим |
х = |
—5; |
координаты |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(—5;0) |
и |
будут |
опреде |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
лятьОх. |
положение |
точки пе |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ресечения |
прямой |
с |
осью |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ки |
Для |
нахождения точ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
пересечения |
|
прямойх |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
осью |
Оу |
положиму = |
в |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
том |
же |
уравнении |
|
= |
0, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
найдем |
|
|
2; ко |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ординаты |
искомой |
точки |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
будут |
(0; 2). |
Ъуэти |
точки, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построив |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
проводим2хчерез них пря |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
мую |
|
20). |
— |
|
+ |
10 = |
0 |
|||
|
П р и м е р 2. Найти |
4х |
|
бу |
(рис. |
|
|
и |
началь |
|||||||||
|
угловой |
коэффициент |
||||||||||||||||
ную ординату прямой |
|
+ |
|
— 3 = |
0. |
|
|
|
|
|
у = |
|||||||
|
Р е ш е н и е . Преобразуем это уравнение |
к |
виду |
|||||||||||||||
= |
kx-\- b\ |
для этого находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6у = — 4х 4' 3,
отсюда
2 , 1
у = ~ т х + т-
Сравнив полученное уравнение с уравнением у = kx-\- b, найдем:
Угловой коэффициент можно найти и из равенства
(8). Для этого, как видно, нужно коэффициент при х ч
§ М] |
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ОТРЕЗКАХ |
39 |
общего уравнения прямой разделить на коэффициент при у и частное взять с противоположным знаком. Та ким образом, в данном примере
, ________ А _ _________4 ________ 2_
В6 3 '
1. Построить прямые: |
Упражнения |
0, 2) |
4л + |
5у |
+ |
20 = 0, |
|||||
1) Зл— 4і/+ 12 = |
|
||||||||||
3) Зл — |
4у |
= |
0. |
Зу |
|
|
|
|
|
|
|
2. Даны |
прямые 5л — |
+ 2 = 0 и 4л + |
5і/= |
0. |
Какая |
из них |
|||||
|
|||||||||||
проходит через начало координат? Дать аналитическое и графиче
ское решения. |
|
|
|
|
|
|
А |
у |
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
||||
3. Даны |
две |
прямые: 2х + 3 — 13 = |
0 |
и |
5х — |
|
— 18 = |
0. |
На |
||||||||||||
первой |
прямой |
|
взята точка |
|
с |
абсциссой, |
равной |
2, а |
на |
вто |
|||||||||||
рой — точка |
В |
с ординатой, равной 7. Найти |
расстояние между точ |
||||||||||||||||||
ками |
А |
и |
В. |
прямые: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Даны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1) |
6х — 3у + |
|
10 = 0, |
|
2) 5л + |
8 ( / - 15 = |
0. |
|
|
||||||||
Преобразовать их к виду |
у — kx |
+ |
b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. Даны |
прямые: |
|
— |
- j x , |
|
2 ) y = |
- j x |
— A. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
О </= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Представить эти уравнения в общем виде. |
прямых: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6. Определить угловые коэффициентыX |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1) 2л — |
Зу |
+ 5 = |
0, |
2) |
+ |
2у — |
0. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7.Найти угол, образованный прямой Зл + Зу — 2 = 0 с положи тельным направлением оси Ох.
8.Написать уравнение прямой, проходящей через начало коор
динат и |
имеющей тот |
же угловой |
коэффициент, |
что |
уи |
прямая |
|
2х — Зі/ + |
4 = |
0. |
ординату |
прямых: 1) |
2л — 9 |
— 6 = 0, |
|
9. Найти |
начальную |
||||||
2)5л + 2у = 0.
10.Найти начальную ординату и угол наклона к положитель
ному направлению оси |
Ох |
|
у |
|||||
|
|
прямой 5л + 6 — 15 = 0. |
||||||
11. На |
прямой |
2л + |
Зу |
— 6 = 0 найти точку, равноудаленную |
||||
от точек |
А |
(4; 4) и |
В( |
6; 1). |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
12.Показать (аналитически), что геометрическое место точек, равноудаленных от двух точек /1(2; 4) и В(—3; 1), есть прямая линия.
13.Показать (аналитически), что геометрическое место точек, равноудаленных от любых двух точек, есть прямая линия.
§14. Уравнение прямой в отрезках. Как мы уже
знаем, положение прямой определяется или двумя точ ками, или одной точкой и углом наклона прямой к оси