Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

40

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

[ГЛ. ш

при

X

0

у

=

а,

а прии Ь

у =

0

X

ОМ

=

= Ь.

Следовательно,

— это

величины

отрезков

и

ON,

отсекаемых прямой на

осях

Ох

и

Оу

(рис.

21).

Уравнение

(1)

называется

уравнением, прямой

в от­

AB

резках.

например, дана

прямая

(рис.

22). Здесь

а

Пусть,

b

—

—2,

=

—3;

следовательно,

уравнение

прямой

AB

запишется

в таком

виде:

§ М]

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ОТРЕЗКАХ

41

1> т + т = 1’

'

- —

1,

3)

J/

2)

3 Т+ ^4-

4)’

—------— =

2.

Прямая

3

4

А

3

8:

4

Л(0;2), 6(4; 0),

2)

проходит

через точки

и

1)

Л(—2; 0),

6 (0 ;— 1),

3)

Л(0;

3),

б ( —2;

0). Написать

уравнение

прямой в отрезках.

= 1,

заключен­

3. Определить длину отрезка прямой

осями

ного между точками пересечения прямой с

координат.

4. Преобразовать следующие

уравнения прямой в форму урав­

нения

прямой

в

отрезках:

1)

2х

+

Зу — 6 = 0, 2)

х

— бу + 6 = 0,

3)

2х — у

Бх —

Зх — 2у— 1 = 0.

отсекаемые

на

координат

прямыми:

1)

5.

Найти

отрезки,

осях

— 12 =

0, 2)

уX=

2 — Зх, 3)

4у = 0.

6. Определить

площадь

треугольника, заключенного между ося-

.

у

_

ми координат и прямой

-g--r~g- =

7. Диагонали ромба совпадают с осями координат. Определить

площадь ромба, если одна

из сторон его задана уравнением

X

л _

2Д +

ю

=

1.

42

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

[ГЛ. Ill

8. Две

смежные вершины ромба лежат

в точках Л (5; 0) и

}

9.

Отрезок прямой, заключенный между осями координат, равен

3

г2

и наклонен к положительному направлению оси

Ох

под

углом

135°.

Написать уравнение этой прямой в отрезках (два

случая).

ОА

10. Даны

точки 0(0; 0) и Л(—3; 0). На отрезке

построен

§ 15. Уравнение пучка прямых.

В § 11 было выве­

дено уравнение

y = kx,

(1)

ке.

Таким образом,

уравнение

(1),

k

в

котором

угловой

коэффициент

— переменная

величина,

можно

рассматривать как уравнениеОупучка

прямых,

проходящих

через

начало

координат,

исключая

ось

(так

как

tg 90°

числового

значения не

имеет).

теперь

уравнение

пуч­

Выведем

ка прямых с ОхцентромОу, в любой точке

0\{хр,у{).

Для этого

сде­

плоскости, например, в точке0\{х\\у{).

и

лаем параллельный

XпереносO iY

осей

поместив на­

чало координат в точке

Мы

получим

новую

систему координат

(рис. 23),

относительно

кото­

вид:

Y =

kX .

(2)у.

Перейдем от новых координат

X

и

У к прежним

х

и

С этой целью

подставим

вместо

X

и У их значения,

§ 15]

УРАВНЕНИЕ

ПУЧКА ПРЯМЫХ

43

взятые из формул

(2) § 8, в которых

а

и

b

заменим со­

ответственно на

х х

и

у

|.

k (X — л:,).

(3)

Получим:

i j — ij\ =

мых

с

центром в точке

Оі(хі\у\),

исключается только

прямая,

параллельная

оси

Оу

(так как /г = tg 90° не

имеет числового значения)Ох .

Чтобы выделить из этого пучка прямую, образующую

заданный угол с осью

, нужно

в уравнение (3) вме­

сто

k

подставить его числовое значение. Пусть, например,

уравнение этого пучка прямых имеет вид:

У

4- 5 =

k {х —

2).

(4)

или

X — у — 7 =

0.

1.

Упражнения

2 — k(x

— 6). Найти ко­

Дано уравнение пучка прямых (/+

ординаты центра этого пучка прямых.

у

2.

Дано уравнение пучка прямых

— 4 = А(л: -f- 3). Проходят

ли эти прямые через точку

М(

—3; 4)?

проходящих через точку

3.

Написать уравнение

пучка прямых,

прямая образует

с положительным направлением оси Ох угол 60°,

а другая — угол

150°. Написать уравнения этих прямых.

Ох

5.

Написать

уравнение

прямой,

проходящей

через

точку

Л4(— 1;

8) и образующей с

положительным направлением

оси

один из углов: 45°. 30°, 135°, 180'1.

проходящей

через

Ох

угол,6.

Написать

уравнение

прямой,

точку

М(10; —2) и образующей с положительным направлением оси

равный

1) atctg3,

2)

arctg (—2).