Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

§ 16]

ПРЯМАЯ, ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕРЕЗ ДВЕ ДАННЫЕ ТОЧКИ

45

у — УI _

х — хі

/

2

\

Уг — Уі

Х 2 — Х і '

'

'

а во втором — в виде

X

= х х,

У =

У\-

прямой, проходя­

П р и м е р

1. Написать

уравнение

щей через две точки:

и

В (2;

-

3).

А ( - 4 ; 6)

Р е ш е н и е. Имеем:

—4,

х2 =

2

и

Хі =

3 .

Уі — 5,

Уг—

у -

6

х + і

или

- 3

- 6

___

2 +

4 '

У — 6

X +

4

— 9

~

6

*

п р я м а я

л и т і я

[ГЛ. ш

46 П р и м е р 2. Через две точки

/1(3; 2) и

ß(5;2) про­

ходит прямая. Написать ее уравнение.

Ох,

Р е ш е н и е . Так как ординатыу

данных

точек равны,

то заключаем, что искомая прямая параллельна оси

а потому ее уравнение будет

= 2.

1)

А (1; 2)

и 5(4; 3),

4 )А (3 ;0 )

и

5 (0; —5),

2)

А (—2; 3)

и

В

(5; —3),

5)

А

(—2; —3)

и

В

(—2; 5),

В

3)

А

(0; 6)

и

ß ( 4 ;— 1),

6)

А (8;

1)

и

(—

I).

8;

2. Даны

вершины

треугольника

АВС:

Л (3;

— 1),

5(4;

2) и

С (—2; 0). Написать уравнения его сторон.

направлением

А3. Найти

угол,

образованный с положительным

осп

Ох

каждой

из

прямых,

проходящих

через

точки

А

и

В:

1) (2; —5)

и 5(4;

1), 2)

А

(—3; — 1)

и 5(3;

2).

4. На план участка нанесено положение двух вех, координаты

которых М|(30; 40)

и Л42(50; 80). Найти угол наклона

прямой Л4)Л42

к положительному направлению оси абсцисс плана.

на

одной

прямой

5.

Найти

абсциссу

точки

А (.г; 4),

лежащей

с точками 5(1; 1)

и

С (—3; —5). Дать

аналитическое и графическое

решения.

6. Точка, двигаясь прямолинейно, в некоторые моменты зани­

мала

положения

Л (5;

2)

и

5 (— 1;

—2).

Определить

положение

этой точки в момент нахождения ее на оси

Ох.

Дать

аналитическое

мой, проходящей через две точки

А

(2; 3) и 5(4;

1).

А

8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку

(3; —2)

и отсекающей на оси

Ох

отрезок, равный 5.

АВС: А(

9. Даны координаты вершин треугольника

2; 4), 5(0; 2)

п С (4; —2). Написать уравнение

прямой, проходящей

через

сере­

дины сторон АС и

ВС

треугольника.

АВС:

10. Даны координаты вершин

треугольника

А (4;

—2),

11. Даны

координаты трех

вершин

параллелограмма

ABCD:

А (— 1; 2),

б (—2; —2) и С(5; —2). Написать уравнения

его диаго­

налей АС

и

BD.

12. Проверить аналитически и графически, лежат ли на одной

прямой точки А (—4; 0), 5 (—8; 3)

и С (4; —6).

13. Даны

вершины треугольника

АВС:

А (2; — 1),

5(4; 5) и

§ 17!

УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ

4 7

§ 17. Угол между двумя прямыми. Пусть даны урав­

нения двух прямых:

tj =

kyx

bi,

У =

k2x

- f b2,

где

ki, k2, bi

и

b2

+

имеют вполне определенные значения.

ОбозначимОх,

искомый угол через ср, а углы, образуе­

мые данными прямыми с положительным направлением

оси

через

ccj

и а2

(рис. 25).

а2,

как

В С,

Угол

Авнешний

угол

треугольника

бу­

дет

равен сумме внутренних,

с ним не

смежных,

т. е.

а2 = а, +

ср,

откуда

Но

tg а, = ki

tg tt2 — lg g|

1 + tg а, tg a 2

и tg <x2 = k2,

поэтому

— fei

П)

tg Ф

1-f*

Определив tgф по формуле (1), можно найти и са­

мый угол ф.

П р и м е р . Определить угол между прямыми:

и

2х

—

Ъу

+ 6 =

О

X + 5# — 2 =

0.

§

18]

УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ

ПРЯМЫХ

49

Упражнения

1. Определить острый угол между прямыми:

” ’ ’

1) </ = 2х + 3 н / =

а

— 2,

3)х — —

= 1 и

2)

З.ѵ- — у +

і

= 0

и

4 = 0,

4)

5 = За и

6

З у

у +

у — 2 —

2. Найти угол между прямой

— у +

6 =

прохо­

2а —

+

0 и прямой,

дящей через точки /4(4; —5) и

В(

—3; 2).

3. Под каким углом пересекаются прямые:

X + 3,

1) а — 2 у — 2 = 0

и

и у = j

2) З + у — 2 = 0

а

— Зу + 1= 0?

а

А

4. Две прямые пересекаются в точке

(2;

— 1). Одна

из

них

проходит через начало координат, другая же через точку ß(5;

1).

Найти острый угол между этими прямыми.

координат

под

углом

5. Две

прямые

проходят через начало

Ф = 45° друг к другу. Их угловые коэффициенты

относятся

между

собой, как 6:1. Написать уравнения этих прямых.

Дробь же равна нулю, если ее

числитель равен нулю,

т. е.

kz

—

ki

=

0, откуда

k\z:=z k%.

Обратно,

если

k\ — &2>

то числитель

дроби в

правой части формулы (1) § 17

обращается в нуль; в этом случае t g ф = 0, откуда

Ф

=

0°

или

180°.

А это значит, что данные прямые параллельны.

Итак,

прямые параллельны тогда и только тогда ко­

,