Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

02-

ч

т

+ І =1>

2)

§

14

3>

£.

,

У_

3 .

10.

2

2

'

3

4

4-

О

Т +

в1>

2)

+ * ”

1- 3) 'Й '“

^ ==1-

5"В .

1}

н

~ 6-

о

а х , -У

,

_*

L +У

X = !

j/ __

£.

_ і

я

У

.

-

2

1.

10.

у

5—

8

4х

1

8

'

8-

+

8

■

5 ^ 8

’

5

8‘ Т + Т =1>

0.

“

Т

”

з !

§

15

0,

— Зу =

0,

у =

4,

4 х - 3 у +

12 =

9 =

у I. (б;

—2). 2 . Проходит.

3 . у +

k (х

+

6).

4 -1 )

Ѵ з

х —

—

— 7 — 2 ѴТГ =

0,

2)

у Т х

+

Зу

+

2 1 - 2 1 / 3 “ = 0.

5.

х -

у +

+

9

= 0;

У З х - Зу

+ 24 +

Ѵ з

= 0; л- +

у —

7 = 0;

у

= 8. 6 . 1) З х -

— у —

32 =

0,

2)

2х + у —

18 =

0.

7. х

+

у — 5 =

0,

х —

у +

5 =

0.

8

.

1^3"je +

у — 6 У з

х” =

О,

Ѵ З

х - у

+

б / 3 = 0 .

9 .

1)

у =

о,

y

=

у =

2 У з",

у =

/ З

+

5 У з ,

- /

3

x +

5 V j ;

2)

у =

0.

у — —

2 У з \

у =

/ 3

х

— 5 УэГ,

у =

— У з

X

— 5 У з .

§

4)

1.

I)

дг -

Зу +

5 =

0,

2)

6х +167у -

9 =

0, 3)

7л: +

4у -

24 =

О,

5х

-

Зу

-

15

= О,

5)

X +

2

=

0,

6) у - I =

0.

2. 3* —

у

— ІО = О,

X

— Зу +

2 =

О,

X

+

5у +

2 =

0.

8

.х

I) arctg3, 2)

arctg-ху- 4 . arctg

2.

Б .

3.

В .

(2;

0). 7.

5

и

5.

8 . —

у

—

5

=

0.

9 . —

у — 2 = 0 .

НО.

Зх +

7у +

2 =

0.

11. 2х +

З у - 4

=

0,

х — 2у — 2 =

0.

'32. Лежат.

13. у =

2х.

§

17

4

1.

1)

arcig -y ,

2)

12,

4)

arctg 3.

arctg - j,

3)

arctg

2.y arctg5

или arctg-(—5).

3 .

1) 0°,

2) 90°.

4 . arctg

1,75.

5 .

1)

—

3x,

У =

1

x>

1

~2

2)

у =

2x, у =

-g- X.

1.

§ 18

2x — у — 1=

0. 4 .

2x — у +

8 .

1) Д а,

2)

да, 3) нет.

2 .

1,5.

3 .

+ 3 = 0.

5 . 2x + у — 6 = 0.

6 . X - б у + 8 = 0.

7.

х = 2.

12.

4х -

5у +

15 =

0.

9 . 4х +

Зу -

20 =

0.

10.

2х +

Зу +

1=

О,

Зх — у

—

15 =

О, X +

2у + 2 =

0.

11.

6х + 5у — 56 =

0.

Зх +

у

- 18 =

0.

О ТВЕТЫ

К

У П Р А Ж Н Е Н И Я М

399

§

19

у

1.

I)у

Да,

2)

нет.

2 .

2х +

Зу

— 25 =

0.

3 .

2х +

+

7 =

0.

4 .

2* +

Зу

+

7 =

0.

5 . Зх

-

Ау

+

20 =

0.

10.

6 . 2х

+

у

-

9 =

0.

9 .

у

7 .

Зх —

+

I = 0 .

8 .

2х — (/ — 3 =

0,

х

+ 2у —

14 =

0.

'

2х +

1) 2х -

+

X

х

у+

2// — 10 =

0, у

4у +

5 =

0.

9 =

0,

2)

X

+

2у

— 8 = 0.

I I .

З х

+

Ау

— 7 = 0.

12. у —

0,

у =

х,

+

— 4 =

0

или

=

0,

у = — X, X —у — А —

0.

£3. 5х — 2у —

У к а з а н и е .

Найти

коэффи­

— 43 =

0,

2х +

5//+ 6 =

0.

угловой

циент

одного

из

катетов,

используя формулу

(1)

§ '17.

1)

(2,5;

0),

2)

§ 20

1)

(2;

1), 2)

нет

пересечения.

1.

^ 0 ;-----y - j .

2 .

3 .

Точка

пересечения

^0;

-|-j.

4 .

+ y = y j ;

(1;

1),

y - j .

5 .

(3;

0).

6 . 2 x - y + l = 0 . 7 . x

0. 8 .

3x

- 2y +

18

=

0.

12.

10.

2y

3y

9 .

X

—

ly

+ 11 = 0.

5x - f

- 9 = 0.

11. 2x

-

+ 1 = 0.

(1;

- 3 ) , (7; - 1 ) ,

(9; С5),м е ш(3;а н н3)ы .е

з а д а ч и

(—

1; 3).

^ 3 -|-;4 j.

I.

^ 2 - y

oj

и

(0;

2).

2 .

Общая

точка

3.

4.

Уравнение прямой

у

=

— 2х. 5 . х

+

у

+

2

=

0.

В .

Лежат на пря­

5.

Ау

7.

мой

X

—# +

2

=

0.

7 .

13.

7

=

0.

І О .

(6;

6)

и (—8;

—8).

11.

1,5.

12.

Длина диагонали 5; уравнения диагона­

лей:

8х +

6 р - 3 9 =

0,

Зх —

+

26 =

0.

3,

( - 3 ;

6)

и ( - 1 ;

4).

14.

~5,6.

19.

21

и 23.

=a r c t g y ,

arcfg

arctg(—0,4).

17.

45°.

18.

З / І

Зх

— 5(/ +

30

0.

20 .

х

+ £/+

7 = 0

и л и

х - р + 1 = 0 .

Зх — 8// +

36 =

0.

22.

Зх — р — 4 =

0;

Y lÖ .

23 .

Зх +

% + 1 1

=

0-

24.

(5;

25 .

(1; - I ) .

26.

(-3 ,8 ;

-1 ,6 ).

27 .

2 х + 'у -

14 =

0,

8).31.

30 .

32.

(6;

2),

З/ЁГ

-28.

5х — у —

15 =

0.

29 .

arctg2,5.

(0;

—2) и

х

- у

=

0,

х +

0.

(0;

-7 )л

34.

*/ +

2 =

0, Зх +

у — 12 =

(9;

1).

33.

у 2.

24.

У к а з а н и е .

Площадь

параллелограмма

можно

определить двумя

способами: по основанию

и высоте

(т. е.

s =

ah)

и по двум сторонам и

углу между ними (т. е.

s =

ab

sin а).

35.

20.

2.

З В .

1)

у = X , у

=

8,

X

=

у14; 2)

у

=

х,

у

=338,. ху =

37.

2х +

У —

- 5

у=

0,

х - 2 у - 5

=

0.

ЗВ .

1) у =

12,

у

=

х +

12,

у

=

-

х +у

28,

41.2)

X=-

28,у - //=

=_— х +у =28,—

=

х42+ .

12.В

D=

0,

/ з ” х +43.

+

+

2 / 3

=

0,

Ѵ З х

- у

+ 2 У Т = 0 .

40 .

( - 8 ; - 3 ) ,

(1;

6),

(2,8:

2,4).

10

З у

0,

у —5.—

(2,4; 6,4),

(3,6;

5,6).

6.

4 4 .

4х —

—

80 =

0,

8,

4х — 3у =

0.

- 4 5 .

^3 у

,

5 - |- j.

400

падения луча

.ОТВЕТЫ

К

У П Р А Ж Н Е Н И Я М

—

х +

4.

Угол

равен углу его

отражения.

4 В .

Зу

Зу

О

А

11х +

=

31,1 1х —Ох

=

31. У к а з а н и е . Провести из точки

перпендикуляр

к

оси

до

пересечения

его

с

продолженным

в обратную

сторону

отраженным лучом

и рассмотреть

полученные

прямоугольные треугольники.

50 . 7х

— Зу — 9 =

0, Зх —

Ту

— 1=

0 ,

§ 22

Х‘>—1.

1)

( х +

1)2 +

(г / -2 )2 =

25;

2)

(х

+

2)’ +

(у +

3)* =

5;

5.

С

3)

X2

+

(у

— 5)2 =

36.

3 .

А

и

В

лежат,

не лежит.

4 . х і = 0 ,

4-

— 4.

1) ( х - 2 ) 2 +

(//~

1)2 =

25;

2)

(х +

З)2 +

(г, -

2)2 =

5.

S .

(х +

2)2 +

(у

-

4)2 =

10.

7 .

(х -

2)г +

у2

=

16.

8 .

(х

+

З)2 +

5)2

X2

2)2

=

25.

9 .

( х

—

5)2

+ (//—

=

25

и

( х - 1 7 ) 2

+

( у +

289.

2)2 + (у +

3)2 =

-Ь (у — 17)2 =

ІО . (ху—2)2 +

(у +

3)2 =

4

и (х +

4.

Я .

+

(у

+

4)2 =

16.

12.

(3;

4),

г

=

5.

14.

5х

+

2у

— 7 =

0.

15.

6.

-

0.

X +

16. X +

3 =

0.

17.

X —

2 =

18.

2(/ +

5 =

0.

19.

(5; 0)

и

(1;

0).у

20 .

2х — // +

2 =

0.

21.

Зх +

4у

-

39 =

0.

22 .

(7;

6)

и (0;

—1).

23.

Касательная

в

точке

(3;

3).

24.

Вне

окружности.

25 . X +

—

4

= 0.

§ 26

'■ ■ Й- +

4.

х ‘

+ Л1 =24,

2с = 1 0 .

3* » .2

2 а =«»24 / б ,

- Й - 1' г - 2<—

* • “

'

5.

—

+

i.

26 =

14,

К(0;

±5).

Ѵъ

8

^

Г

1.

7.

е =

64

39

36 т

27

9 .

X 2

ы 2

Yz

X2

I/2

! Г

+

3

•

. —-4 -

9

НЛН-

+ Ау2=

*•

6 "

.................... —

25 ^'

Г

+

25

“

Я .

36х2 +

20і/2= 1125.

ЕО. 4х2 +

9(/2=

144

или

9х2

144.

Л

и

В

лежат,

С

не

лежит.

12.

± 3 .

13.

х2 + 3#2= 1 5 .

14.

1)

2х2 +

Ъу2=

40,

2)

Зх2 +

5у2 =

120.

15.

4.

«

24

„ .

( « ,

Щ

*

) ,

( • ,

-

Щ

.

нет

18.

1)

(3;

0) и (0;

2);

2)

касательная

в

точке

ѴТ

У 3 J , 3)

пересечения.

19. У 5.

20 . 8х2 +

9у2=

72.

21,

2

‘

§

33

144

25

2 .

2а =

6,

26 =

10,

2с =

2Т/ 34.

3 .

Л (±12;

0).

4 .

0),

В (±13;

1) 7x2-9 t/ 2

=

63;

2)

16х2 -

9у2

=

-

144.

5 .

1)

F (±7;

0),

2а

2 6 = 6 ,

= 1 0 ,

26 = 4 У ё ;

е =

1,4;

2)

F (0;

±5),

2а =

8, е = - | .

в .

1) 25х2 — 24у2 =

600; 2) 9х2 -

16у2=

1296.

7 .

16х2 — 9у2 =

1296.

О ТВ ЕТЫ

К У П Р А Ж Н Е Н И Я М

401

8 . А и

В

л е

ж а

т

,

С

н е

л

е ж

и

т .

9 . 2

х 2

— 9 у 2 —

1 8 . "ІО_5JC2 — 8 р 2 = _ 4 0 .

11.

х2—

у 2 =

35у2 =

12. у

~

±

V2

х, e =

V 6

1 )

3 5 ,

2 )

3 6 л

:2 —

5 .

■—

-

=

13. у

=

±

X.—

14.

9л:2

- 1

6

г/2 =

2 8 8 . .

13.

1 5 3 л : 2

4 2 5 р 2

4 5 0 .

16.

9 л : 2

—

\0у2

5 7 6 .

17.

( 6 ;

±

3

) .

13. Т

о ч

к

а

к

а с

а н

и

я

( 6 ;

4 ) .

09.

t g

ф

=

4

j / f T

20 .

21.

З

л 2 — у 2 =

1 2 .

11.

1 ) у2 =

16л:,

2)

г/2 =

§

35

3)

л2 =

12у,

4)

л2 =

-

20у.

2 .

- 8 л ,

у

)

[ 2 - Ь

о ) ,

2)

( - 3 ;

0),

3)

(0;

2),

4)

( 0;

- 2

) .

3 .

( А ;

о ) .

4 .

1)

je =

—

1.

F

(1;

0);

\0у,2)

у =

2,

F ( 0 ; - 2 ) .у2

5 .

I)F

і/2 =

8л,

2)

=

г/2 =

-

12л:,

3)

л2 =

-

4)

л 2 =

16у.

6 .

Ю л,

( - | ;

о ) .

7 .

1)

Лежит,

2)

нет.

8 .

3

м.

9 .

3

м.

ОО .

18

м.

11.

у2 =

АК

х.

12.

4х

+

Зу

— 16 =

0.

У к а з а н и е .

Все

параллельные

лучи

после

отражения

в пара'болическом зеркале пересекаются в фокусе

пара­

болы.

13.

у2 =

х.

04.

л2 =

—

Sy.

1 3 .10 .

16.

(0; 0)

и (5; 5).

=

0.

3)

17.

12л- 5 ; / - 2 4

18.

1)

(1;

и

- І ) ,

2)

(1;

3) -

точка

касания,

3)

нет

пересечения.

19.

4Ѵ~2.

2 0 . x +

f / + l = 0 ;

8.

'

§

36

у1.

л2 +

X

2у

0.

У к а з а н и е .

Удобнее

воспользоваться

X2.—

у=

уравнением

вида

=

Лл:2 +

Вх

+

С.

а)2 =

у2

16 =

0.

2 . р (у — 8л +

3 .

=

2л —

У к а з а н и е .

Установить

направление параболы и

воспользоваться уравнением вида

(л —

±

2

1)

—

Ь).

4 . у

2 +

+

14г/-

6л +

49 =

0.