Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 302

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ Н 8]

РЯ Д Ы Ф УРЬЕ Д Л Я Ч Е Т Н Ы Х И Н Е Ч Е Т Н Ы Х Ф У Н К Ц И И

393

 

 

Р е ш е н и е . Данная функция — нечетная, а потому, применяя формулу (2 ), получим:

,

2

J'Ь

T s m n x d x = T jн

s m n x d x = T (

cos

пх

]

 

 

 

 

Г

л .

„

 

,

 

I

f

.

,

1/

 

 

\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 I

 

 

 

 

 

 

------ —

 

 

 

 

 

2 п

 

 

 

пх л

=

—

 

 

 

 

2

 

I

 

 

 

 

1

).

— — cos

 

^(cosnn — cosO) — —^-(cosrax —

 

Отсюда

2I T ( C 0 S n - l) = - | ( - l - l ) = l ,

«

 

 

 

 

 

 

& != -

 

 

 

 

 

 

 

 

=

—

2

T J (cos

2

я —

1) = — - j ( 1

— 1 ) =

0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

— -|-(cosn — l)=s

 

 

 

 

 

 

 

 

b3~

—

 

~g" (cos Зя —

) =

 

 

 

 

 

 

 

 

bA =

— gTj- (cos 4я — 1) =

—

(cos 0 — 1) =

 

 

0 и

T. д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

— 4"(1 — I) =

Разложение напишется следующим

образом:

 

 

 

 

 

 

Х — — Я, sin х

sin

Зх

+

sin 5.V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

3 ~

5

 

 

 

 

 

ряда

 

 

 

 

х =

0 и х =

я

сумма полученногох

не совпадает со значениями данной функции,

поэтому

указанный ряд сходится к функции f (х) при — я <

 

<

0

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0< х < п .

Следовательно,

я

.

.

sin5Зх

.1

sin 5х ,1

. . .

при

 

. .

п

,

 

0

•— =

SinxH-----

3----

1-----

g----- -

— я < х <

 

4

smx ■

 

5

..

при

0

< х < л .

 

и=

 

sin Зх

.

sin 5х

 

 

Покажем на примере разложения в ряд этой функ­ ции, что по мере увеличения числа слагаемых (простых гармоник) частичная сумма ряда (результирующая гар­ моника) все лучше и лучше представляет данную фун­ кцию.

394

рис. 149,

г а р м о н и ч е с к и й

а н а л и з

 

[ГЛ. XV

На

/ показана первая гармоника

(sin JC)

ряда.

рис. 149,

П

изображены

первые две

гармоники

На

 

ряда ^sinx и -ІП-3д:. — пунктирные

линии) и

их

сумма

/ .

, sin Зх

 

 

\

 

 

sinx-j ----- ö------ сплошная линия .

 

 

На

рисунке 149, II I

показаны найденная сумма двух

первых гармоник ^sin х -f- sin33* — пунктирная

линия) и

третья

гармоника

_ пунктирная линия), а

также

сумма

трех

первых гармоник Isinx-j----

3

—

—

^--------

— сплошная

линия).

 

 

1

 

 

 

 

 

 

§ 14Ѳ] РЯДЫ Ф УРЬЕ Д Л Я Ч ЕТ Н Ы Х И Н Е Ч Е Т Н Ы Х Ф У Н К Ц И Я

395

IV —

На рис. 149,

 

5х

 

 

 

 

 

 

найденная сумма трех первых гар-

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

—=-------—пунктирная линия , чет-

 

 

 

Зх

.

 

5х .

 

7х

 

 

пунктирная

линия^ и

сумма

 

 

. sin

 

 

sin

 

sin

 

сплошная линия

Продолжая операцию сложения простых гармоник и дальше, мы будем получать результирующую гармонику (частичную сумму ряда), все больше и больше прибли­ жающуюся к двум параллельным отрезкам, изображаю­

щим данную функцию.

 

 

 

данной функ­

Вследствие периодичности ряда Фурьех,

ции результирующая гармоника будет точно повторяться

через каждый промежутокУ п р а жзначенийн е н и я

равный

2

л.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разложить в ряд Фурье следующие функции:

 

 

 

1.

f (х) =

X

2 при — я <

X

^ л.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ

 

3 .

 

 

(3;

0),

( - 5 ;

0),

(0;

 

0).

4§.

 

 

2

 

3), (0; - 2 ) ,

 

(0;

 

0).

5.

(3; - 2 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

(0;

 

 

 

3),

( - 3 ; - 2 ) .

 

 

6 .

( - 4 ; 0),

 

 

(0;

4),

(2; - 3 ) ,

 

(3;

4).

 

 

7.

 

(5;8

( - 5 ;

 

3),

( - 5 ; - 3 ) , (5;-3)_или

 

О; 5),

(—3^5), ( - 3 ; - 5 ) ,

 

 

(3 ;-5 ) .

 

. (4 / 2 ;0 ),

(0;

4 / 2 ) ,

( - 4 / 2 ;

0),

(0;

 

- 4 / 2 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

10.

 

 

 

 

 

1) 10,

2)

 

 

5,

 

3)

 

§ з

 

15.

 

 

 

 

/10 =

 

5 / 2 ,

а =

45°.

 

 

 

 

2 .

А

 

 

 

5.

 

 

 

3 .

4 .

 

 

5 .

ЛВ = 5,

 

 

 

 

С

=

8 / І" ,

 

ВС —

 

 

 

13.

 

8 .

 

Л, ( - 4 ;

 

0),

 

Л2(12;0).

І З .

1) Лежат, 2)

не

лежат.

 

10.

( / з";

 

±3).

11.

(—2;

4).

'12.

^4; 9 -|-j.

9 .

(0;

 

14).

 

 

 

(1;

10)

 

и

 

 

 

 

 

10).

 

 

 

 

(I;

 

 

(5;

5).

 

 

 

 

 

 

 

14.

 

 

 

(-1 1 ;

 

 

13.

I) и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

(5;

 

7),

2)

(4;

 

- 6 ) .

 

§

 

 

4

ЛС =

3,

BD

=

/ І 7 ,

( І - ;

- і ) .

 

1.

 

 

 

 

 

 

( - 9 ; 10).

 

 

 

 

 

 

(11;

 

2 .

 

 

 

 

 

( - 2 ; - 6 ) ,

 

 

(8; 2),

 

( - 6 ;

10).

7 .

5.

 

 

4.

 

 

 

8

 

5 .

95).

 

 

 

 

6 .

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

( - 4 ; -1 ) .

 

 

 

6).

 

 

 

 

 

 

 

-

 

)

 

 

н

 

( s j - ;

- l ) .

 

 

 

10.

( - 3 ;

4),

 

 

.

 

(4;

.

 

 

 

( і - Ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(—8;

— 1).

11.

 

(—14;

17).

12.

 

 

(6,5;

3,5). У к а з а н и е .

 

Восполь­

зоваться теоремой:

биссектриса

угла треугольника делит

противо­

лежащую

 

сторону

на

части,

 

пропорциональные двум другим сто­

ронам.

 

 

13.

 

(8;

2).

 

14.

(5,5;

4,75).

 

У к а з а н и е .

 

Сначала

найти

центр

 

тяжести

двух

 

материальных

 

точек, а потом центр тяжести

найденной

точки

и

третьей

 

данной.

 

іЗ .

 

(—2;

 

1).

 

 

16.

(1; 1).

17.

* =

 

* 1 +

з2 +

 

-3- ,

 

 

 

 

 

 

у =

М ± ± У і ± Ж '

 

 

 

 

 

 

18.

( -5 ;

-1 0 ).

19.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( - 2 ;

1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

Л

и С

лежат,

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 . у

=

0;

х =

 

 

7.

 

3 .

у

=

х

и

 

 

 

 

 

 

 

не лежит.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у — — X.

4 .

у =

4х.

 

 

 

 

X

 

 

у1 — 4 .

6 .

X2

+

 

у2

—

4х

+ бу— 3 = 0.

7 .

2х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 . 2 + ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

8у

—

5

=

0 .

8 .

X2

+

4у

+

 

4

=

0.

 

9 . х2

+

у2

=

4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О ТВЕТЫ К У П Р А Ж Н Е Н И Я М

397

 

 

 

 

2 . у

 

 

 

 

 

 

 

у =

 

 

 

X —

 

X —

§ Ю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 . у

 

 

 

 

 

= — 5. 3 .

— 2.

 

 

4. у

= — 4.

 

5 . * = 3.

 

= 2.

7.

 

х =

 

5.

 

 

8 .

 

 

 

 

— 6.

 

9 .

 

 

 

 

2.

 

tO. х =

 

6,

лг =

— 6,

у

=

 

6,

у =

— (j.

11.

 

X

=

 

 

0,

X

=

8,

у — 0, у —

6

 

или je =

 

0,

X =

6,

~у

=

 

0,

у

=

 

И.

 

 

 

2 .

1

.

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

JC,

2

)

 

{/ =

 

 

Уз

 

ж,

§ П

у

=

 

— ж,

 

4)

у =

0,

 

 

5) у = 0.I

 

 

 

) £/ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I)

Прямая

 

совпадает с осью

 

Ох,

2)

 

прямая

 

делит первый ко­

ординатный

 

 

угол

пополам,

 

3)

 

 

прямая

 

образует

 

с положительным

направлением

 

оси

Ох

 

угол а =

 

 

60°,

4)

 

прямая

делит

второй коор-

динатный

 

 

угол

 

пополам.А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

или

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

1) 60°,

 

 

 

 

 

 

3. у = — х

 

у = ~ ^ х .

 

 

 

4 .

 

 

 

 

 

и

С

 

 

лежат,

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На

 

2) 33° 42'.

 

3)

 

 

116° 34'.

6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

не лежит.

 

7 .

прямой

у

 

 

 

 

у

 

8

 

 

X

 

 

=

4,X

 

=

 

— 3.

 

9 .

 

 

k

 

= — 5.

 

10.

у

=

 

—

 

 

 

У зI I .

 

х

— 10,

у — 2х.

 

 

 

.

X

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

у =

 

 

 

 

— х.

 

 

 

 

 

2х.

 

 

 

 

у —

 

 

=

 

0,

 

 

 

=

 

 

 

 

 

или

 

 

=

 

10,

0,

 

у =

 

12.

у =

 

—

 

 

 

 

х,

 

0

или

у =

 

 

У

 

 

3

 

 

X

, у =

 

0.

 

 

 

13.

х =

 

 

0,

у =

 

0,

 

х =

— 6, у =

 

3; уравнение

диагонали

 

у =

—

 

 

я.

 

14. у

=

§—

120,4х.

15.

(4;

3) или (—4;

—3).

 

 

 

 

2 .

 

 

На

 

 

прямой

 

у —

2)

8х

—

 

10.

 

 

 

 

3 .

у =

 

3.

 

 

 

 

У =

я =X — 2.

 

 

 

1)

 

(1 ;

 

о)

и

(0; -2),

 

 

 

(-2;

 

0)

 

и

 

(0; -6).

 

 

 

8.

 

 

 

 

—

 

— 5.

 

 

 

1) у =

 

 

х +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у X — 3,

 

3)

 

 

 

 

 

/аГ X +

4.

 

 

 

 

 

9 .

 

 

 

 

2, 2)

 

 

 

 

 

 

 

у =

 

 

 

 

 

 

І О .

 

1)60°,

2)

135°,

 

3)

 

26°34'.

11.

 

I)

 

 

=

 

5,

 

 

2) х =

2,

3)

у

=

5.

 

12.

 

у

=

- 2 х - Ч .

18.

 

1)

2,

2) 0.

 

 

 

14.

 

у

=

 

X

 

и

 

у

== — X +

12.

 

 

15.

 

у

 

=

 

х +

 

2

 

,

 

=

 

- х

 

 

+

 

 

2 / 2

у, =у =

 

х - 2 У Т

 

 

 

 

у =

 

~

 

х -

2 У Т .

 

 

 

16.

 

Уравнения

усторон: уу =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

 

 

 

 

 

 

 

у —

 

 

 

 

у — — х.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х,

 

 

 

 

 

х +

 

8,

 

 

8,

 

Уравнения диаго-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ух=+

Уз

 

 

 

налей:

 

 

 

 

 

 

 

Узх =

0.

 

_

 

х =

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уз

 

 

 

 

8

или

 

 

 

—

17.

 

 

 

---------------------X, (/ = - д — х +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4,

 

 

 

 

 

 

 

 

Уз

 

х + 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х = 0, у =

 

 

 

 

 

 

 

■ К, у-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-14j

 

 

 

 

 

 

 

4х +

 

5у =

 

0.

 

3 .

 

 

5.

 

 

 

 

 

§

 

13

 

 

 

 

 

2) у =

 

~

 

j x

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) у =

2х +

 

 

 

 

 

 

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

- ,

5 .

 

1)

Зх +

 

4у =

 

0,

2)

 

2 х - 3 у - 12)=

 

0. 6 .

1) | - ,

 

2)

 

-

 

7 .

 

 

 

135°.

8 .

 

2х — 3у = 0.

 

 

 

9 .

 

 

1)

 

— —,

 

2

0.

 

 

 

ІО .

b =

 

2,5;

 

а =

 

140° 12'.

»■ № £)■

Смотрите также файлы