Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл (15,67Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 301

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 148] РЯДЫ Ф УРЬЕ Д Л Я Ч ЕТН Ы Х И Н Е Ч Е Т Н Ы Х Ф УН К Ц И Й	389

л: sin п х

cos п х \

Приняв

во внимание равенство (4) § 146, найдем:

Г я sin пя

cos пп

(

~ W )_

яL п

п‘

' I

0 • cos 0

cos О V

/ я • 0

■ cos п я ___ 0_____ 1_\__ 2

I cos пя

і \ __

я \ п ”

п2

п2 )

я V я2

п 2 )

Отсюда

—

').

— rico sn n

1 ) = 4 ( _ 1

“

яп1 х

G' =

l T F ( C0Sir“

° 2 = lèw(cos2л~ V = ’я 4 2' ( і “

1) ==0>

a3 ==l T 3 5'^C0S 3 n — 1) = -^ ^ 32-(co sn — 1) =

я • 32 ^

я - 3 2 ’

“ ^

IT W

(cos 4я — ^

= '1 Г ¥

<cos

T. д.

— J) =

0 и

я • 42 (1 — 1) =

„

г-

Искомоех

разложение будет:

я ■ з2

(

я • 52

cos Зл

—-------- cos

---------я - cos

4Зл:--------=s. -cos 5л: —. cos 5л

Применяя

(

созл +

З2

- ) •

хтеорему Дирихле, можно

показать, что по

лученный ряд сходится к данной функции при всех

значениях

от

— я

до

я.

Следовательно,

можно

написать:

\x\ = Y - - ( c ° s x + - w - + - g - + . . . )

при — я ^ х ^ я .

П р и м е р 2. Разложить в ряд Фурье функцию

f(x) = |sinx| при — я ^ л ; ^ я .

390

ГА Р М О Н И Ч Е С К И Й АН АЛ И З

[ГЛ. X V

Р е ш е н и е . Данная функция четная; применяя фор мулы (1), получим:

о0 = ■ §• JЛ	sin X dx	-- (—cos X) = — 4(cos я —cos 0 )= 4 -
Положив /г=1		в формуле для	ап,	найдем:
о

Д ля

2	я sm		cos X dx — — J71			2 sin
	Jn		* )*	я		1		л: cos
я					0
1	0
	J	sin 2x dx =		— ( —	cos 2x \
п	0			я \	2		/

=— (cos 2я — cos 0) =

п= 2, 3, 4, . . . получим:

X dx =

2л cos 2х

2я (1 - D - 0 .

ап = ■

sin л: COS пх dx Чті2 sin * cos nx dx.

Представим произведение

2 sin* cos/г*

следующем

виде:

2 sin*cos пх =

sin (п +

1)* — sin (п — 1)* *);

тогда

а„ ==

J" [sin (гс +

1) * — sin (п — 1) *] dx —

___

_1_

cos (я +

cos (я —

1) X

___

Г(.___

___1_

п +

п — 1

J o

C O S

cos

cos (я

■

cos (я

—

1) Я __

0 \]

)

я +

я — 1

я + 1

+ Я

— 1/J

~ Н '

C OS ( я + 1 ) я

cos (я —

1) я

я + 1

я — 1'

я + 1 *

я — 1.

1 С

cos ( я + 1 ) я

cos ( я — 1)я

*) Это

я L

я + 1

я — 1

я.2 -

равенство

легко

проверить, применив к

правой части

его формулу для

разности синусов двух углов.

**) J

sin (я +

X dx

sin (я — 1) *

определяются по

формуле 3) §

108.

§ 148] РЯДЫ Ф УРЬЕ Д Л Я Ч ЕТН Ы Х И Н Е Ч Е Т Н Ы Х Ф У Н К Ц И Й

391

ОтсюдаЙ 2

cos Зл

■

cos1л

2 \

COS Я

= І ( -

■

= -

1 л

1 - 1

± Y = - ±

(

}

) ~~

І з

Зя

cos 4я

cos2n

1 '

cosO

_ ’

(•

cosO

• n

а3 — я '.

4 .)

■ л (

4 J|—

(

( - Т

-1

1 ) -

cos 5л

cos Зл

COS Я

л ^

•3

1б)

л \

+ ■

' 15/

1 м

2 j

а5-

1 1

cos 6л

cos 4я

_я \ 5

cosO

15л '

cosO

Я ’к

12/

а6-

1 (

) -

cos77я

cos 5л

2 ’\

- і (

6 ^ 4 - Ж

Л-

COS Я.

COS я

Я ’1

35;)

35/

И T. Д.

Искомое

разложение

я (17

35 )

35л

запишется так:

2х

— г?—cos

4х

-т=—

* —

------ - —cos

— 2х

cos

О Л

cos

öon

cos

4х' .

cos5г+6л

-)-

-3

3*5

Согласно

теореме

Дирихле

полученный

ряд

сходится

к данной

функции

при

— я < ; * ^ я ,

поэтому

l * =

(

cos 2л .

cos

4х

cos 6л

. . . )

:s,n

( х-

3 -5

5-7

при всех

значениях

указанного

промежутка.

П р и м е р

Разложить

в ряд

Фурье

функцию

И*)-

при

— я ^

л ^

я.

Р е ш е н и е .

Применим'Я

формулы

(2),

так как

функ

ция

f(x) — x

нечетная:

Ьп ТІ™sin пх dx.

392	Г А Р М О Н И Ч Е С К И Й А Н А Л И З	[ГЛ. X V
392

Согласно равенству (5) § 146 найдем:

cos

пх

sin

п х

\]|п ___

2 ГІА/ ___ я cos пя

■

sin яп \ ___

« ь - К -

пг

)

О•cos О

sin 0 \1

я cos

cos

Отсюда

) —

Ьі =

___

( -

1) =

— 2 cos я

b2 =

2 cos 2я

2-1

2I,

—

~ =—

/іt>3 —

2 cos Зя

2 cos я

—

■

3 »

2 cos 4я

2 cos 0

т'

ИскомоеX

таково:- j

2хразложение- J

4х

2 sin — sin

sin Зл: —

sin

• • •

sin

== 2 ^sin X '

sin

, sin 3*

Этот ряд представляет функцию f(x) = х при всех зна чениях X промежутка от — я до + я, кроме х = ± л . Действительно, по теореме Дирихле при х — ± я сумма

ряда равна — -----

^-----= 0 ; значения же

функции при х — ~ я и х = п соответственно равны

—я и я, т. е. не совпадают с суммой ряда. Таким образом,