Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 232

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

Ё уравнении (2-29) матрицы

A(t, х) и B(t, т) разме­

ра

соответственно

тХр и тХг

называются весовыми

или

импульсными

переходными

матрицами системы. По­

следнее название отражает то обстоятельство, что каж­

дый

элемент

ац(і,

т)

или

 

 

 

bij(t,

т)

является

откликом

 

 

 

і-й компоненты вектора

z(t)

u(t):

B(t,f)

•z(t)

на единичный

импульс,

по­

 

 

 

данный

на вход

по /-й

ком­

Рис. 2-6. Структурная схема

поненте вектора w или и во

для соотношения вход—выход

время т.

 

 

 

 

 

системы.

 

Импульсные

переходные

 

 

 

матрицы

удобно

 

использо­

 

 

 

вать,

если рассматриваются

только

соотношения

между

входом и выходом

системы и не рассматриваются

ее пе­

ременные состояния. В качестве простого примера пред­ положим, что x(to), w(t) и v(t) равны нулю, т. е. в на­ чальный момент система находится в состоянии покоя, возмущения системы и ошибки измерения равны нулю. Тогда из уравнения (2-29)

z ( / ) = jß (f, z)u(%)d*.

Структурная схема системы представлена на рис. 2-6. Если система стационарная, уравнения (2-27) и

(2-28) можно переписать в виде

A(t, x)=A(t—x)=H<$(t—x)G

и

B(t, x)=B(t—т)=ЯФ(/—x)C,

где

2-3. ДИСКРЕТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Уравнения системы

Теперь обратимся к рассмотрению физических си­ стем, поведение которых можно описать системой линей­ ных разностных уравнений первого порядка:

* ( £ + 1 ) = Ф ( £ + 1, k)x(k)+T(k+l,

k)w(k) +>

+ 4?(k+l, k)u(k)

(2-30)

4—85

49

I

для k = Ö, 1 . . . В уравнении (2-30) векторы х, w й it имеют такое же число компонент, как и в предыдущем параграфе, и представляют собой соответственно векто­ ры состояния, возмущения и управления системы. Одна­

ко здесь они определены только в дискретные

моменты

времени.

 

матрицу Ф(к+1,

k)

 

 

 

пХп

переход­

 

Назовем

размера

ной

матрицей

состояния,

матрицу

 

Г(&+1, k)

размера

пХр

— переходной

матрицей

возмущения

и

матрицу

4?(k+\,

k)

размера

пХг

— переходной

матрицей

управ­

ления. Предположим, что k = 0

соответствует

фиксиро­

ванному

начальному

времени

 

и начальное

состояние

х(0)

известно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последовательность {w(0),

w(\),

...}

называется воз­

мущающей

последовательностью,

а

 

{«(0), ы(1),

. . . } —

управляющей

 

последовательностью.

Зная

эти две

после­

довательности

и вектор х(0),

можно

с использованием

уравнения (2-30) вычислить последовательность

 

состоя­

ния

{х(1),

х(2),

.. .}.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пока будем полагать, что возмущающая и управляю­

щая последовательности произвольны.

 

 

 

 

Допустим, что измерительную систему можно описать

уравнением

(2-2), ыо измерения

проводятся только в те

же дискретные моменты времени, в какие определено состояние системы (2-30). Поэтому в качестве модели

системы измерения

выберем уравнение

 

 

 

 

z(k

+ \)=H(k+l)x(k+\)+v(k+l)

 

 

(2-31)

для & = 0,

1, ... , где z и V — m-векторы,

а Я — матрица

размера шХп.

Заметим, что аргумент (&+1)

в уравне­

нии (2-31) можно заменить на k.

 

 

 

 

 

Последовательность {г(1),

z(2),

...}

называется

по­

следовательностью

измерений

или

выходной

последова­

тельностью системы, a ( f ( l ) , ѵ(2),

. . . } называется

по­

следовательностью ошибок измерения.

 

 

 

Описание системы вида (2-30), (2-31) называется

дискретной

линейной

системой.

Структурная

схема

мо­

дели приведена на рис. 2-7, где

(здесь и далее) блок

БЗ

соответствует блоку хранения или задержки значения х из предыдущего вычислительного цикла для использова­ ния его в последующем цикле. Иными словами, после

того как состояние

x(k)

вычислено, его следует хранить

до момента k + l,

чтобы

использовать при определении

x(k+l).

 

 

50

Наиболее часто такое описание системы встречается при дискретизации непрерывной линейной системы (2-1) и (2-2). Иными словами, модель системы в этом пара­ графе представляет собой дискретизацию модели преды­ дущего параграфа. Такая формулировка является есте-

ш(х)

Рис. 2-7. Структурная схема дискретной линейной системы.

ственной, если, например, из соображений экономии измерения проводятся только в дискретные моменты времени. Теперь покажем, что уравнения (2-30) и (2-31) являются дискретными аналогами уравнений (2-1) л (2-2).

Дискретизованная модель

Предположим, что векторы возмущения и управ­ ления системы (2-1) являются кусочно-постоянными функциями Бремени, причем оба они изменяют свои зна­

чения в одни и те же момен­

 

 

ты времени.

Далее

предпо­

 

 

ложим,

что

измерения

про­

г - J

 

водятся

в

те

же

моменты

!

 

времени.

 

 

 

 

L

 

 

 

 

-Ц

1_

Компоненты векторов w (і)

 

 

и u(t)

изображены

на

рис.

j

 

2-8, где специально выде­

 

 

 

ляется то обстоятельство,

что

 

 

интервалы

между

дискрет­

 

 

ными моментами времени не

 

 

обязательно

постоянны.

 

 

 

Рис. 2-8. Компоненты кусочно-по­ стоянных функций w(t) и u(t) для дискретизованной модели.

4*

Рассмотрим интервал времени tk^J^.th+i

для неко­

торого & = 0,

1, .. . Предположим, что x(tk)

известно,

W(t) =W(k) = C O n s t

И U(t)

=u(k)

= C O n s t Д Л Я

ths^t^tk+l.

Тогда из уравнения

(2-19) следует, что

 

 

г- t h + i

 

u(k).

(2-32)

 

 

 

 

Обозначая

 

 

 

 

 

 

 

x(tk+1)

=

x(ff+4);

 

 

 

x(tn) = x{k);

 

f

Ф(^+,. x)G(x)rft = r ( f e + l , fe);

(2-33)

 

\

уравнение

(2-32)

можно переписать в виде

 

x(k+l)=0(k+l,

k)x(k)+T(k+l,

k)w(k)

+

 

 

+ ¥ 0 4 - 1 ,

k)u{k)

 

 

для k = 0,

1 .. .

Полученное

соотношение

совпадает

суравнением (2-30).

Вкаждый момент t — th+i, k = 0, 1 .. . уравнение (2-2) принимает вид:

 

z(tk+i)

= Н (th+i)x(tk+i)

+v(tk+i),

или, что то же самое,

 

 

 

z{k+l)=H(k+l)x(k+l)+ü(k+l).

 

Это уравнение

аналогично

уравнению (2-31).

 

Заметим, что в последних

двух равенствах из (2-33)

для

вычисления

Г(&+1,

k) и 4 r (fe+l, k) необходимо

иметь переходную

матрицу

состояния в виде, в котором

ее

первый аргумент является

постоянным, а второй —

переменным.

 

 

 

52

 

 

 

 

Смотрите также файлы