Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Пример 2-4. Применим изложенную методику для получения ди­ скретной модели стационарной системы второго порядка из приме­ ра 2-1. Для простоты предположим, что дискретные моменты отсчета отстоят друг от друга на постоянные промежутки времени Т. Тогда k+l соответствует моменту времени (£+1)7", a k— моменту kT.

Так как

О 1

О

то Fn=0 для всех п^2. Следовательно, переходная матрица со­ стояния

При получении некоторых результатов теории оцен­ ки и управления в непрерывных линейных системах ока зывается удобным дискретизовать уравнения системы,

53

получить алгоритмы оценки и управления для дискрет­ ных систем и затем рассматривать предельное поведе­ ние этих алгоритмов при стремлении к нулю интервала между дискретными моментами времени.

Методика получения дискретной модели из непрерыв­ ной приведена выше. Теперь составим методику обрат­ ного перехода. Для этого обозначим дискретные момен­

54

Перенося x(t) в левую часть уравнения, Деля обе ча­

тальных понятий теории линейных систем, тесно связан­ ных с основными идеями оценки и управления. Эти по­

управляемости основаны, соответственно, на двух сле­ дующих вопросах, возникающих из очевидных физиче­ ских соображений:

1. При каких условиях можно восстановить поведе­ ние вектора состояния х динамической системы на ко­ нечном интервале времени, зная поведение вектора изме­ рения z на том же интервале?

2. При каких условиях можно перевести динамиче­ скую систему из заданного начального в требуемое ко­ нечное состояние за ограниченное время с использова­ нием кусочно-непрерывного управления и?

Перед тем как перейти к подробному обсуждению поставленных вопросов для двух классов линейных си­ стем, введенных в § 2-2 и 2-3, с помощью нескольких простых схем качественно проиллюстрируем понятия на­ блюдаемости и управляемости на системе общего вида.

Рассмотрим динамическую систему S с вектором со­ стояния X, вектором управления и и вектором измере­ ния z. Предположим, что возмущения и ошибки измере­ ния отсутствуют и система может быть как дискретной, так и непрерывной.

Вначале допустим, что структурная схема системы имеет вид рис. 2-9, где у — вектор, компонентами кото-

55

рого являются первые k компонент вектора х (хі,.. ,,Хь) или их часть. Из структуры системы ясно, что значения Xh+t, ..., xk нельзя определить, исследуя z, поскольку эти переменные не влияют на хи .. ., Хь. и не включены в z. Следовательно, система является ненаблюдаемой. В то

блюдаемой, но неуправляемой, поскольку и воздействует только на переменные хи ..., xk.

Ясно, что системы можно разделить на четыре сле­ дующие категории: наблюдаемые управляемые, наблю­ даемые неуправляемые, ненаблюдаемые управляемые и ненаблюдаемые неуправляемые.

2-5. Н А Б Л Ю Д А Е М О С Т Ь В НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Исследуем более подробно понятие наблюдаемости для двух классов линейных систем, введенных выше (см. [Л. 2-7—2-15]). Рассмотрим этот вопрос в предположении, что возмущения системы и ошибки измерения равны нулю, т. е. при идеальных условиях (в этом же предпо­ ложении в § 2-6 будет рассматриваться понятие управ­ ляемости) .

Непрерывные линейные системы

Вначале рассмотрим непрерывную линейную си­

56

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как предполагается, что u(t) известно для всех t^t 0 , легко определить воздей­ ствие управления u{t) на состояние x(t):

t

| Ф ( / , т)С(т)и(і)Л .

Следовательно, достаточно рассмотреть систему вида

где t^t0.

58