Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 229
Скачиваний: 1
|
Значение этого определителя не изменится, если из |
|||||||||||||
первой |
строки |
вычесть |
вторую |
строку, |
умноженную |
на |
||||||||
f 12, |
третью |
строку, |
умноженную |
на |
fi3, |
..., п-ю строку, |
||||||||
умноженную на fin. |
Это |
позволяет |
переписать |
определи |
||||||||||
тель в в и д е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
%21 |
#22 |
• |
' |
• |
%2п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ n l |
X-nt |
• |
• |
• |
%пп |
|
|
|
|
|
Его |
значение, очевидно, |
равно |
|
fu(t)\X(t)]. |
|
|
|||||||
|
Повторяя эту процедуру для остальных определите |
|||||||||||||
лей, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
щ |
I X (О I - |
fп (О I X (01 |
+ |
f„ (0 ! m |
I + . . . ! |
|
|||||||
|
|
... + |
fm(f)\X(f)\ |
= |
|
|
SpF(t)\X(f)\. |
|
|
|||||
|
Так |
как |
\X(to) |
| = J / | |
= 1, то |
решение |
этого |
скалярно |
||||||
го |
дифференциального уравнения имеет вид: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
X(0 |
= e x p | _ Ç S p / ? ( T ) r f T | . |
|
|
|
||||||
|
Если |
матрица |
F (г) |
непрерывна |
для |
всех |
x^t0, |
то |
||||||
ясно, что \Х(і)\Ф0 |
для всех t~^U и поэтому матрица |
|||||||||||||
X(t) |
несингулярна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Матрица |
X(t) |
называется |
фундаментальной |
матри |
|||||||||
цей системы (2-1). Заметим, что она зависит только от
матрицы системы |
F(t). |
|
|
|
|
|
Возвращаясь к уравнению (2-16), обозначим: |
|
|||||
|
|
0(t,x)=X(t)X-Hr) |
|
(2-18) |
||
и назовем матрицу Ф(/, т) размера пХп |
переходной |
ма |
||||
трицей |
состояния |
системы (2-1). Заметим, |
что Ф(^, |
U) — |
||
~X(t)X-4t0)=X(t), |
так |
как Х~Ці0) =/-» |
= |
/. |
|
|
Перепишем уравнение |
(2-16) в виде |
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
|
X (0 = |
Ф (Л *„) X (Q +\Ф(І, |
X) [G (т) W (х)'+ |
С (т) и |
dz, |
||
(2-19)
где t^to. Впоследствии это выражение используется во
многих рассуждениях,
44
Дифференцируя уравнение (2-18) по / и используя уравнение (2-10), получаем:
д Ф |
£ тГ ='Х |
(0 X |
1 (х) = 7 X 0 |
|
|
1 (т)"= |
|
|
Ф (Л т). |
|||||||
Это выражение можно переписать в виде |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ф ( / , |
Т ) = ^ ( 0 Ф ( Л |
т). |
|
|
|
|
(2-20) |
||||
|
Из уравнения |
(2-18) следует, что |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2-21) |
для |
всех t^t0. |
Ясно, |
что |
матрица |
0(t, |
т) |
|
определяется |
||||||||
уравнениями |
(2-20) и (2-21). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Для того чтобы получить Ф(£, т), достаточно решить |
|||||||||||||||
дифференциальное уравнение Ф(/, t0)=F(t)<b(t, |
|
t0) при |
||||||||||||||
начальном |
условии Ф(/о, to)=I |
и заменить |
в |
решении |
||||||||||||
на т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
2-3. Для матрицы системы |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4+ |
О' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
имеем: |
|
|
|
|
|
|
ГО |
о |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
fil |
?и |
|
|
0 |
|
|
Til |
f12 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
¥21 |
TS2 |
|
|
0 |
|
о |
|
?ïl |
<fîî |
|
|
|
П РИ |
fii |
Со. 'oWlPssCo. I|) = |
l » |
<Ріг'Со. |
M = |
¥21 Co. |
'о) |
—0. |
||||||||
|
Эта |
система уравненийГ может |
быть представлена |
в |
виде |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уп С |
*о) = |
(t+ |
1)г |
¥ г і |
< 0 ^: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
?lt С |
'о) = |
|
|
1)2 |
?22 С. |
'о); |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
? 2 і С ^ о ) |
= |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
<р« С |
M |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из двух последних уравнений и |
соответствующих |
начальных |
|||||||||||||
условий сразу |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда следует, что <рн(/, М=0, так что фи(<, /о) = 1. Второе
уравнение системы теперь примет вид
а его решение |
|
|
|
|
|
где а — постоянная |
интегрирования, |
которую |
следует выбрать так, |
||
чтобы выполнялось |
начальное |
|
условие фі2(*о, |
<о)=0 . Ясно, что а = |
|
= 1/(^>+1). Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
ЧігѴ, to) |
|
|
t — ta |
|
|
|
С + |
1 ) ( < + 0 |
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
t—z |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
г- |
|
|
|
|
|
|
|
Ф (t, т) = |
1 |
+ |
|
||
|
|
О |
1 |
|
|
Переходная матрица состояния обладает двумя сле дующими важными свойствами:
1.
Ф('г, ti) = Ф ( / 2 , |
т)Ф(т, h) для всех h, t2, x^tQ. |
(2-22) |
|
Это свойство сразу следует из уравнения |
(2-18) |
||
Ф(*2 , т)Ф(т, |
=lX(t2)X-i(x)UX(x)X-i(ti)]=: |
||
=Х(Ь)Х-*(Ь)=Ф(Ь, |
U). |
|
|
Заметим, что порядок аргументов ti, t2 и t не играет роли, если все они не меньше t0.
2.
Ф(*2, *і)=Ф _ 1 (*і . h) для всех U, h^U- (2-23) Действительно
Ф-Ч'і> fe) ={Х(^1 )Х-Ч^2)]-1 =
Системы с постоянными коэффициентами
Если |
матрицы |
F(t), G(t), |
C(t) и H(t) |
в уравне |
ниях (2-1) и (2-2) постоянны, как в примерах |
2-1 и 2-2, |
|||
то систему |
называют |
системой |
с постоянными |
коэффи- |
46
Цибнтами или |
стационарной |
системой. Уравнения такой |
|
системы имеют вид |
|
|
|
|
x=tFx+Gw{i)+Cu{t); |
(2-24) |
|
|
z(t)=Hx(t)+v(t), |
(2-25) |
|
для удобства |
начальное время Л> обычно |
полагают р а в |
|
ным нулю. |
|
|
|
Для системы вида (2-24) |
переходная |
матрица состоя |
|
ния принимает сравнительно простой вид. Чтобы убе
диться в этом, |
введем |
понятие |
матричной |
экспоненты: |
|||||||
e « = = / + « + . . . + T + - = S / ? |
f |
c |
- ? - |
<2 -2 6 > |
|||||||
Из определения |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
||
/СО |
|
N / 0 O |
|
ч |
со |
|
оо |
|
|
||
^ft=0 |
/ |
\t=~Q |
|
I |
Ö |
f |
c ü |
|
|
||
Полагая n = |
k-\~l |
или |
l = |
n — k, |
имеем: |
|
|||||
со |
со |
|
|
|
со п |
|
|
|
|
|
|
eF'eFx |
П п |
І Н П ' к |
ѴЧіЛпч, |
|
№ - * |
|
|||||
2 j |
Ц |
k\ (n—k)\ |
— Ц |
Zà |
|
fâ(n |
— |
k)\~ |
|||
-•On=k |
|
|
|
n=0k=0 |
|
|
|
|
|
||
|
со |
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
~" Z J |
"! |
Z J *' (Л —*)» |
|
|
|
— |
|
|
|||
|
п=0 |
ft=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяя т на —t, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
eFt |
(e~Ft)^eFU |
|
= |
L |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(eFt)-^e-Ft,
причем последняя матрица всегда существует. Из уравнения (2-26) следует:
fe=0 |
/ = 0 |
47
Теперь очевидно, что матрица |
... |
X(t)=eFt
является решением дифференциального уравнения
X = FX
при начальном условии Х(0) = / . Так как
то из уравнения (2-18) следует, что матрица
' " ф ( * . z) = e F l t - * ) '
является переходной матрицей состояния системы (2-24). Поэтому решение уравнения (2-24) имеет вид:
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
X ff) = eFtx |
(0) - f j " eF ( ' _ x ) |
[Gw (x) + Си (x)] dz. |
||||||
Соотношение |
вход |
— выход |
t |
|
|
|
||
Полагая, |
что объединенная |
система |
(2-1), (2-2) |
|||||
имеет входы w(t) |
и u{t) и выход z(t), |
запишем: |
||||||
2 ( 0 = Я ( о { ф ( Л Q x { t 0 ) + U ( t , |
т ) [ 0 ( т ) і ю ( г ) + |
|||||||
+ С (г) и |
да j + ö{t) = Я,(0 Ф (*, |
g JC (tB) + |
||||||
+ j Я (t) Ф {t, x) G (т)'_ш (x) dx + |
f Я(0Ф |
(f, |
x) С (X)U(T) dt-}-D(/). |
|||||
Вводя матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(t,r)=H(t)0(t,x)G(x); |
|
|
|
(2-27) |
|||
получаем: |
Bit, |
т ) = Я ( / ) Ф ( / , |
т ) С ( т ) , |
(2-28) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г{і) = Щ()Ф(і, |
Qx(t0) |
+ ^A{t, |
х ) ш ( х ) ^ + |
|||||
|
+ |
f Я (<, |
т) « (x)rfx- j - о (t). |
(2-29) |
||||
48