Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Умножая это уравнение слева

на Ф'(^, U)H'(t)

и ин­

тегрируя в пределах от t0

до tu получаем:

(ф'{і, і0)Н'(і)Н(()Ф(і,

t0)dt

io

=

fa(t,

t0)H'{t)z(t)dt.

(2-45)

Если обозначить

Me(t0,

(0)Н'{І)Н(І)Ф{І,

ta)dt,

то из (2-45) следует, что

x ( g = A T '

(f0, g

JФ' р,

g я ' (t) z (t) dt,

(2-46)

'о

ли матрица Mc(to,

ti) положительно

определена для не­

которого

конечного

4>^о.

Чтобы

доказать

необходимость,

предположим,

что

система

полностью

наблюдаема, но матрица Mc(to, ti)

не

является

положительно определенной, т. е. для некоторо­

го x(t0) фО

x'{U)Mc{t0,

U)x{U)=ü*.

В силу

(2-45) это означает, что

*'('.)(*'(*.

QH'(t)z{t)dt

= 0.

Подставляя

в это выражение уравнение (2-44), полу­

чаем:

U

f z' {t)z(t)dt

= 0,

h

откуда z(t)=0

для

U^t^ti.

* Случай x'(t0)Mc(to,

ti)x(to)<0

исключается в силу определе­

ния матрицы

Mc(t0, ti).

без доказательства.

Следствие 2-1. Стационарная

непрерывная

линейная

система

x = Fx,

z(t)=Hx(t),

где

t~^t0,

полностью

наблю­

даема

тогда

и

только

тогда,

когда

матрица

размера

пХтп

IIЯ' F'H'...

( F ' ) " - W | !

(2-47)

имеет ранг

п.

Пример

2-5.

Для системы из примера 2-

где

F

0

1

;

я

=

1

0

=

0

0

1

0

имеем:

1

0

0

0

Я '

;

F'H' =

=

1

1

0

Тогда

0

ранг H Я '

F'H И = ранг

= 2

изменения

угла

рыскания, так что Я = ||0

то

Я '

0

,

F'H' =

0

1

0

ранг у H'

F'H'

у =

0 О

=

1.

ранг

О

1

В этом случае

система

ненаблюдаема.

Дискретные линейные

системы

Действуя аналогичным

образом, исследуем

вопрос

о наблюдаемости дискретной линейной системы

x(k+l)=Q>(k+l,

k)x(k)+W(k+\,

k)u(k);

(2-48)

z(k+l)=H(k+l)x(k+\),

(2-49)

где k = 0,

1 . . . Вектор x(0)

неизвестен,

последователь-

ность

{и(0),

«(1), ... }

задана, а

все

остальные

обозначе­

ния были описаны в § 2-3.

Дискретная

линейная

система

(2-48),

(2-49)

назы­

вается

наблюдаемой,

если

х(0)

можно

определить

из

множества

наблюдений

{z(\),...,

z(N)}

при конечном

N.

Если

это

справедливо

для

любого

начального

времени

(k = 0

соответствует

ta),

то система

называется

пол­

ностью

наблюдаемой.

Следующий результат аналогичен теореме 2-1.

Теорема 2-2. Дискретная

система

(2-48),

(2-49)

яв­

ляется

полностью наблюдаемой

тогда

и

только

тогда,

когда

симметрическая

матрица

размера

пХп

N

Md{0,

Л0 =

2Ф '(». 0 ) Я ' (t)

H (і) Ф(і,

0)

(2-50)

положительно

определена

для

некоторого

N>0,

где

Ф(і, 0 ) = Ф ( і ,

і— 1 )Ф(і— 1,

і—2)...Ф(1,

0);

i=\,...,N.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как и

для

непрерывного

слу­

чая, достаточно рассмотреть

систему

х ( £ + 1 = Ф ( £ + 1 ,

k)x(k);

(2-51)

z{k+\)^H(k+\)x{k+\);

(2-52)

k = 0,

1,..., так как u(k)

предполагается

известным

для

всех k.

Достаточность.

Рассмотрим

последовательность

из­

мерений

{z(\),...,z{N)}.

Из уравнений (2-51) и

(2-52)

имеем:

г ( 1 ) = Я ( 1 ) х ( 1 ) = Я ( 1 ) Ф ( 1 ,

0)х(0);

2 ( 2 ) = # ( 2 ) х ( 2 ) = # ( 2 ) Ф ( 2 ,

1)Ф(1,

О)лт(О);

z(N)

— H(N)x(N)

=>tf(N)Ф(Л/,

N—\)x{N—1)

:

= Я ( Л ^ ) Ф ( І Ѵ ,

N— 1) . . . Ф ( 1 ,

О)лг(О).

Обозначим

z ( l )

z(N)

Ф{і,

0 ) = Ф ( і ,

I — 1)Ф(і — 1,

і—2)

. . . Ф ( 1 , 0)

для i=l,...,N.

Ясно,

что

zN

— /яіѴ-мерный вектор.

Н(1)Ф(\,

0)

(2-53)

H

(/V) ф

(N, 0)

получаем:

zN

=

HNx(0),

(2-54)

где

HN— матрица

размера

mNXn.

на H'N, получаем:

Умножая уравнение

(2-54) слева

H'NHNx(0)

= H'NzN.

(2-55)

В силу определения HN

(2-53)

ясно, что

tf'A=E*'C'.

і=і

0)Н'(І)И(І)Ф(І,

0).

Обозначим

эту

симметрическую

матрицу

размера

пХп

через Md(0, N).

(2-55) следует, что

Теперь из уравнения

x(0) =

Arl(0,N)H'Nz,

(2-56)

откуда видно,

что

система

является

полностью

наблю­

лена для некоторого

N>0.

Необходимость.

Теперь предположим, что система яв­

ляется

наблюдаемой,

но для некоторого х(0)ФО выпол­

няется

равенство x'(0)Md(0,

N)x(0) = 0. Тогда из уравне­

ния (2-55) еледует

соотношение

х'(0)Н'„г„ =

0,

которое в

силу уравнения

(2-54)

приводит

к

z

W

= 0.

(2-57)

Отсюда

следует,

что

z(i)=0

для всех

і'=1,...,Л^ и,