Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

следствие.

Стационарная

дискретная

линейная

Следствие

2-2.

система

x(k + 1) = Ф * ( £ ) ;

z{k+

1) = Hx(k

+ 1), k = 0,

1,...,

является

полностью

наблюдаемой

тогда

и только

тогда,

когда матрица

размера

пХтп

имеет ранг п.

\\Н'Ф'Н'...

(Ф')п-іН'\\

Это

следствие можно

доказать,

в основном

повторяя

чены алгоритмы для определения x(t0)

и х(0)

по

извест­

ным

измерениям ;[см. уравнения

(2-46)

и (2-56)]. Эти ре­

зультаты вместе с выражениями

х(Е) = Ф (t, t0) X (t0)

t

С (т) и (т) dz

- f j"

Ф {t, x)

и

U

* ( * + 1 ) = Ф ( Л + 1 , k)x(k)+W(k-r-\,

k)u(k),

где

& = 0, 1,..., позволяют

точно

определить

поведение

вектора состояния во времени.

В

этом смысле

задача

Если вновь

ввести возмущения и ошибки измерения,

то получится,

конечно, более сложная задача. Однако

x^F(t)x

+ C(t)u(t)

(2-58)

для

t^-to,

где начальное состояние

x(to) известно,

но

управление

u(t) пока не определено.

Здесь

исследуется

задача изменения

состояния

системы

(2-58)

от х (t0)

до

некоторого

требуемого

конечного состояния

x(ti)

—х1,

где

ti ограничено.

После

введения

новых

координат

y(t)=x(t)—X*

задачу

можно сформулировать

как зада­

конечное

время.

Введем следующее

определение.

Непрерывная

линейная

система

(2-58)

называется

управляемой

в

момент

t0,

если

существует

кусочно-не­

прерывная

функция

управления

и(і),

зависящая

от x(t0)

и определенная

на

некотором

конечном

интервале

вре­

мени

U^t^U,

для

которой x(ti)=0.

Если

это справед­

ливо для всех x(t0)

и для

всех

to, то система

называется

полностью

управляемой.

Необходимое

и

достаточное

условие

управляемости

дает следующая

теорема.

Теорема 2-3. Непрерывная

линейная

система

(2-58)

является

полностью

управляемой

тогда

и

только

тогда,

когда

симметрическая

матрица

размера

пХп

Wc

{ta, Q=

'( Ф (С t) С (t) С (t) Ф' (ta, t) dt

(2-59)

и

положительно

определена

для

некоторого

ti>t0.

и (х) = - С (х) Ф' (С х) (*„ g X (Q

(2-61)

для tü^t^ti.

Тогда, подставляя

в уравнение

(2-60)

уравнение (2-61), получаем:

Г'і

{x)<b'{t0,x)dx К

^Ф(і„х)С(х)С

Ѵо> '»)•*('.)•

(2-6 2 )

jo

В силу уравнения

(2-22)

Ф{и,

Т ) = Ф ( * 1 , ^о)Ф(А), т )

принимает

вид

Ф

Q

\ Ф (t0,

т) с

(т) с

(х) Ф' (/„, т) л

= Ф

(f„ g

w,

{t0:t,),

откуда следует

соотношение

X

(t,) =

Ф(*„ f0) л (g -

Ф (г„ g irc

(/0, t,) w~]

(t0,

tt)

X

(t0),

приводящее к x(t\)

= 0.

Следовательно, система является полностью управ­

ляемой, если матрица Wc(to, ti) положительно

определе­

на для

некоторого конечного ti>ta.

Необходимость.

Предположим

теперь,

что

система

управляема, но для некоторого х(іо)¥=0

справедливо со­

отношение

x'{U)Wc{U,

U)x{U)=Q.

(2-63)

Обозначим

и*(і)=—С'(і)Ф'(і0,

t)x(to)

(2-64)

для to^t^ti.

Тогда

u*'(t)u*(t)=x'(t0)<b(t0,

*)С(/)С'(/)Ф'(/ 0 ,

t)x{t0).

Интегрируя

последнее

равенство

в пределах

от

U до

ti и используя определение Wc(to,

ti)

и уравнение

(2-63),

получим:

t,

§и*'

(t)u*(t)dt

=

to

= х'

(Q

f Ф (f..

0 С (t) С (0

Ф' (*0 ,0

dt

\х (t0)

=

= X ( ' , ) W r c ( ^ O J C ( / . ) = 0 .

(2-65)

Ф • Q * Со) = - ]

Ф С .

С (х) « (г) dz,

или, что то же самое,

h

*('„) = -

J Ф('о.*)С (т) « (т)

tfx.

(2-66)

Теперь из уравнений

(2-66) и (2-64)

получим:

X ' (g л (t0) = -

X ' (g f Ф

т) с (х)u

(х) л =

to

*i

tl

=

~ J X' (ta)

Ф (f 0 , x) С (x) « (x) dz=

' Ы*' (x) u (x) dx .

Это означает, что x'(t0)x(tQ)

=0, так как и*(^)=0 для

to^t^ti.

Отсюда

следует, что д:(/0 )=0,

а это противо­

речит исходному

предположению

х(и)фи.

Теорема до­

казана.

Для

стационарной непрерывной линейной системы из­

тельства.

Следствие 2-3. Стационарная

непрерывная

линейная

система x = Fx + Cu\

t^O

является

полностью

управляе­

мой тогда и только

тогда,

когда матрица размера

пХпг

имеет ранг

п.

IIС

FC...Fn-iC\\

Пример

2-6. В примере 2-2 уравнения системы были

записаны

0

1

0

0

F = 0

f,

ft

; c =

0

о /,

h

с

в первой формулировке и

0

1

0

0

0

0

1 • с =

0

0

ь

а

с

О

0

f,c

С FC F*C

О

f,c

(f,fs + f2f4)c

с

f*c

(f,f, + $ с

О

0

с

С FC F*C II =

О с

ас

с

ас

be - j - а2 с

также имеет

ранг, равный трем,

если

с=К;,/Л.Ф0

(напомним, что

в примере 2-2

в первой формулировке

c = l / L , а во второй C—KM/JL,).

x(k+l)=<D(k+l,

k)x(k)+y¥(k+\,

k)u(k),

(2-67)

где k = 0, 1,...; начальное состояние

х(0) предполагает­

рывных

линейных

систем

введем

следующее опреде­

ление.

Дискретная

линейная

система

(2-67)

называется

уп­

равляемой

в момент времени

& = 0 (соответствующий

на­

чальному

времени

to), если

существует управляющая

по­

следовательность

{и(0),

и(\),.. .,u(N—1)},

зависящая

от

5*

67