Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

х(0) и

начального

времени,

для

которой

x(N)=0,

где

N

конечно.

Если это справедливо

для

любого х(0)

и

для

любого

начального

времени,

то система называется

пол­

ностью

управляемой.

Докажем следующую теорему.

Теорема 2-4. Дискретная

линейная

система (2-67)

яв­

ляется

полностью

управляемой

тогда и

только

тогда,

когда

симметрическая

матрица

размера

пХп

N

Wd

(О, ^ ) =

}]Ф(О,

О 47(і,

і - 1)Щі,

І-1)Ф' (О, 0 (2-68)

положительно

определена

для

некоторого

конечного

/Ѵ>0,

где

Ф(0, О = Ф ( 0 , 1)ф(1, 2)

. . . Ф ( і — 1 ,

і);

і = 1 ,

2,...,N.

N

х(М) = Ф (N, 0) je (0) +

£

Ф (N, t) 47 (/,

/ _

1) и (і - 1 ) ,

(2-69)

где

Ф(УѴ, i)=0(N,

N— 1) . . . Ф ( / + 1 ,

i),

i=N—

1,..., 1,

0.

Теперь

пусть

u(î-l)

=

-W

(i, i -

1) Ф' (0, i) W~l

(О, N) x (0)

(2-70)

для

i=\,...,N.

Подставляя уравнение (2-70)

в уравне­

ние

(2-69),

получаем:

x (N) =

Ф (N, 0) je (0)

-

- S

Ф;(^Ѵ,

О T (І, І - 1) T '

(i, f -

1) Ф'

(0, î) W-x

(О, N)

x (0).

Но Ф(ІѴ,

і ) = Ф ( Л / ,

0)Ф(0,

i) для

любого

начального

времени. Следовательно,

N

x (N) =

Ф {N,

0) x (0) -

Ф (УѴ, 0) X Ф (0, i) W (i, i

-

- 1) 47' (f, i -

1) Ф' (0, i) [UT-1 (О, ЛО 'х (0)] =

Ф (/V, 0) x (0)

-

-

Ф {N, 0) r d

(О, N) ИГ"1 (О, УѴ) je (Ü),

зультат.

Следствие 2-4. Стационарная

дискретная

линейная

система x(k+1) =Флг(&)+Чг и(А),

k—Ô,

1, ...

является

полностью

управляемой

тогда

и

только

тогда,

когда

матрица размера

пХпг

имеет ранг

п.

WW ФУ...

<№-»Щ

Пример 2-7. Для стационарной дискретной линейной системы

второго

порядка из примера

2-4

Ф

1

т

[

1/267

=

1 ; ч?

= 1

ьт

откуда

ясно, что

0

1/267"«

3/26 Л

67

67

Очевидно, что эта матрица имеет ранг, равный 2

для

7>0

и

6=И=0.

Вполне очевидно подобие между теоремами

2-1 и 2-2

о наблюдаемости

с одной стороны

и теоремами

2-3

и

2-4

Наблюдаемость -* Управляемость

Ф(і,

г 0 ) - +Ф'('„ .

0

н

(t) -» с (о

Аналогичная ситуация наблюдается также для тео-

ірем 2-2 и 2-4 и соответствующих следствий.

Это свойство

было

впервые

замечено Калманом

[Л. 2-7], который назвал

его дуальностью.

Итак,

наблю­

даемость и управляемость являются дуальными

свойст­

вами линейных

систем.

Исследование

многочисленных

x = f[x, w(t),

u(t),

t];

(2-71)

z(t)=h[x(t),

u{t),

t],

(2-72)

где

t^t0,

a

векторы x, w, и

и v имеют тот же

смысл,

что

и ранее.

Предполагается, что / — n-мерная

вектор-

рывно дифференцируемая по всем компонентам

векто­

ров x, w и и;

h — m-мерная

вектор-функция

указанных

переменных,

непрерывная

и непрерывно

дифференци­

руемая по всем компонентам векторов

х

и ѵ.

Для данного x(t0)

и известных

кусочно-непрерывных

функций

w(t)—w{t)

и u(t)—ïï(t)

из теории

обыкновен­

ных

дифференциальных

уравнений известно,

что

урав­

нение (2-71) можно решить

и получить

некоторое x(t) =

= x(t). Тогда

для известной

кусочно-непрерывной

функ­

ции

v(t)=v{t)

можно

получить

z(t)=z(t),

подставляя

x(t)

wv(t)

в уравнение

(2-72).

Будем

считать x(t),

w(t),

ïï(t),

v{t)

и z(t),

где

t^to,

вести эту линеаризацию,

обозначим:

x(t) =x(t)+Êuc(t);

w{t)

=w(t)

+Aw(t);

u(t)=ïï(t)+&u(t);

v(t)

=v(t)

+Av(t);

z{t)=z(t)+&z{t)

и затем разложим обе части

исходных

систем уравнений

в ряд Тейлора.

Вначале рассмотрим і-е уравнение из системы урав­

нений (2-71)

Xi=fi\x,

w(t),

u(t),

t)

для некоторого і=\,...,п.

Разлагая

его в ряд Тейлора,

получаем:

-f- члены второго порядка,

(2-73)

где

индекс 0 означает, что указанные

частные

производ­

ные

следует вычислять при x=x{t),

w = w(t)

и u = ü~(t).

ков в уравнении (2-73) пренебрежимо малы, и

исполь­

зуя векторно-матричные обозначения, имеем:

Ах,-

дхі

' 'дхп

' ' ' dwp

Aw (t)

+

+

Au (t),

(2-74)

для любого і= 1,..., п, где

Дда,

Д«і

*-

Ах-.

;

Aw —

;

Au —

Дх„

àwp

Систему уравнений (2-74) можно записать

в более

удобном

виде:

Ax = F(t)Ax+G(t,)Aw(t)

+C(t)Au(t),

(2-75)

для t^t0j

где

F (t)

— Wfij(t) II — матрица

размера

пХп

{U){t) =

(dfi/dXj)o;

і,

/ = 1 , . . . , я ) ;

G (t)

=\\gi}

(t) || - м а т р и ­

ца рамера

nXp

(gij(t)

= (âfi/dwj)0;

i = l , . . . , n ;

/ = 1 , . . .

...,p);

C(t)

=\\Cij(t) Il—матрица

размера

nXr

(сц(і)

=

= (dfi/dujjo;

i= 1,...,

«;

/ = 1 , . . . ,

r).

Очевидно, уравнение (2-75)

имеет

ту

же форму,

что

и уравнение (2-1).

Аналогичным

образом получим:

Az{t)=H{t)Ax{t)+A{t)Av{t),

где H (t) = \\hij(t)

II — матрица

размера

m X / i

(hij(t)

=

= {дкі(дх})0;

i = l , . . . ,

m;

/ = ! , . . . ,

n) ;

Л (г) =

Ііа^ (^) || —

матрица

размеіра тХт

(ciij(t)

= (dhifdüj)0;

i—l,...,m,

/ = 1 , . . . , т ) .

Обозначая Аѵ*(t)

=А(t)Аѵ(t),

получим уравнение

Az(t)=H(t)Ax(t)+Av*(t),

(2-76)

имеющее такую же же форму, что и уравнение

(2-2).

Следует

иметь в

виду,

что линеаризованная

система