Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 236
Скачиваний: 1
массы M в инерциальной полярной
системе координат с центром в центре планеты (рис. 2-11). Пред положим, что силовое поле плане ты обратно пропорционально квад рату расстояния от ее центра; кро
ме силы притяжения имеются толь
ко две силы тяги ur{t) и ug(t),
векторы начального положения и скорости спутника лежат в плоско сти рисунка. Из элементарной ме ханики известно, что движение
Ось отсчета
Рис. 2-11. Схема системы спут ник — планета.
спутника ограничено этой же плоскостью и описывается двумя диф ференциальными уравнениями:
|
г = гѲ«- \ |
+ |
|
-^ar(t); |
|
||
|
|
6 = - |
ÉL+ |
|
— |
иМ), |
|
где y=GM; здесь G — универсальная |
гравитационная |
постоянная. |
|||||
Обозначая |
х, = г, х 2 = *, |
xa = |
b, xt |
= Ѳ*. и, = иг |
и их = и в , по |
||
лучаем систему |
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
Х\ — Х\\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2-77) |
|
х 3 |
= х 4 |
|
|
|
|
|
|
х 4 |
2*2*4 , |
1 |
|
|
||
|
= — |
|
|
|
|
|
|
аналогичную (2-71).
Вновь обозначая чертой сверху номинальные значения, получаем
соотношения |
|
|
|
|
Дх, = |
Дх,; |
|
|
Ах, • |
|
Д х , + |
|
+ [2*, (t) sA (01 дх* + |
A«i (0; |
|
|
Дх, = |
д х 4 ; |
|
ДХ4 |
2Дг (О М О 1 |
|
Г2*4 (0 1 t |
4 ( 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда ясно, что для этого примера матрицы системы имеют
|
0 |
1 |
О |
|
|
*W + |
о |
2*і(0 |
(О |
F (t) = |
0 |
о |
|
|
|
—2х2 |
(О |
||
|
2*2 (0 х4 (0 |
_ 2 Ж 2s2( / ) |
||
|
*? (0 |
(0 |
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
m |
|
|
|
C(t). |
|
|
|
|
0 |
О |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
m |
|
Номинальные значения х, (^), жа (^), ж3 (^) и (t) получаются в результате решения системы уравнений (2-77) при начальных усло
виях x, (t0) = г (t0); Xj (t0) = г (t0); x, (t0) = Ѳ (t0) и x4 (/„) = Ѳ (t0)
для заданных u, (<) = u, (^) и иг (t) = u2 (0-
Полагая, наконец, чго на спутнике во время его движения изме ряется только расстояние до поверхности планеты, имеем скалярное уравнение измерения
z(t) |
=г(0—n + v(t) |
=Xi(t)— |
r0 + |
v(t), |
|
|
|||
где r0 — радиус планеты. Тогда, |
очевидно, |
|
|
|
|
||||
или |
Az(t)=AXi(t)+Av(t) |
|
|
|
|
||||
Az(t)=\\\ |
0 0 |
0\\Ax(t)+Av(t), |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
где Ах — четырехмерный |
вектор с компонентами |
Ахі, |
Ахг, Ахз и Ахік. |
||||||
Следовательно, для этого |
примера |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Я ( / ) = | | 1 |
0 0 011. |
|
|
|
|
||
Дискретный аналог системы (2-71), (2-72) |
имеет вид: |
||||||||
x(k + l)=f[x(k), |
w(k), |
k+i]; |
|
(2-78) |
|||||
z(k + l)=h[x(k |
+ l), |
ü(k+\), |
k+\]. |
(2-79) |
|||||
Процедура |
получения |
линеаризованных |
уравнений |
||||||
для такой системы точно такая же, за |
исключением то |
||||||||
го, что частные |
производные |
теперь следует |
вычислять |
||||||
только в дискретных |
точках |
k=Q, |
1, .. . |
В |
частности, |
||||
матрица Ф(А + 1, k) |
размера |
пхп имеет вид: |
|
||||||
Ф(к+\, |
|
А)=|!фо-(А+1, А)II, |
|
|
|||||
74
где
М * + 1 , Ч = ( | ; ) і = І ( и .
u=U (k)
a черта сверху обозначает принятые номинальные зна чения.
|
З А Д А Ч И К ГЛ. 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
2-1. Для |
матриц |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
1 1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1, В = |
; с = 0 3 —2 |
||||||
|
|
|
|
—5 |
3 |
1 |
0 |
2 |
0 |
3 |
1 |
|
определить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
AB, |
ВА |
и |
А2—В; |
|
|
|
|
|
|
||
б) |
С, | С | , |
\С'\, |
adj С и С-»; |
|
|
|
|
|
||||
в) |
|ЛВ|, |
|
(Л5)->; |
|
|
|
|
|
|
|||
г) |
ранги |
ЛВ |
и С; |
|
|
|
|
|
|
|||
д) |
собственные значения и собственные векторы матрицы С; |
|||||||||||
е) |
М~1 |
СМ, |
где |
M — матрица |
размера 3X3, |
столбцы которой |
||||||
являются собственными векторами матрицы С (ортогональна ли ма трица М?) ;
ж) |
Sp |
AB2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з) симметрическую матрицу С* размера 3X3, для которой |
||||||||||||||
х'Сх=х'С*х, |
|
где X — трехмерный |
вектор; |
|
|
|||||||||
и) |
является ли матрица С положительно определенной или нет? |
|||||||||||||
2-2. |
Показать, что для квадратной матрицы А: |
|
||||||||||||
а) |
(А')~і= |
|
( Л - 1 |
) ' , если Л несингулярна; |
|
|
||||||||
б) |
|Л - *| = |
|Л| - » = 1/|Л|, если |
|Л|=^0; |
|
|
|||||||||
в) V* [{У—Ах)' |
В (у—Ах)] |
= |
2 (х'А'ВА—у'ВА)= |
—2 (у—Ах)' |
ВА, |
|||||||||
где В — симметрическая |
матрица; |
|
|
|
|
|||||||||
г) |
Sp (Ахх') |
= |
х'Ах; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
д) |
Ранг |
(AB) |
<g:min [ранг Л, ранг |
В]. |
|
|
||||||||
2-3. |
При каких условиях справедливы следующие утверждения: |
|||||||||||||
а) |
(А—В) |
(А + В) |
=Аг—В2\ |
|
|
|
|
|
||||||
б) |
А = В, |
если |
х |
Ах=х'Вх; |
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
В = С, если |
АВ=АС, |
где |
Л — квадратная |
матрица. |
|
||||||||
2-4. |
Определить |
Л(0, |
І Л ( 0 ^ |
|
и |
ДОг)[Л-»(01 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
л (о = |
|
t + 1 |
sin2 1 |
для матрицы |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2-5. Рассмотреть данную на рис. 2-12 электрическую цепь, где |
||||||||||||||
напряжение |
e(t) |
является |
входной |
(управляющей) переменной, |
а вы |
|||||||||
ходом z(t) |
является |
напряжение, измеряемое на |
резисторе Яг. |
|
||||||||||
а) |
Пусть Х\ = іі, |
Хг=іг |
и х3 |
= ес |
— переменные |
состояния системы. |
||||||||
Записать уравнения системы через переменные состояния, предпола гая, что ошибкой измерения в z(t) можно пренебречь.
б) Записать (но не решать) уравнения, из которых можно опре делить переходную матоииѵ состояния системы, положив /о=0.
75
в) |
Является ли |
система |
полностью |
наблюдаемой? |
полностью |
|||||||
управляемой? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2-6. |
Рассмотреть |
теплообменник, |
|
изображенный |
на рис. 2-13, |
|||||||
в котором входящий |
газ имеет |
температуру |
Ѳі, а выходящий — тем |
|||||||||
|
|
|
|
пературу Ѳг. Для простоты |
||||||||
|
|
|
|
предположить, |
что газ в каме |
|||||||
i,(t) " |
|
|
ре равномерно |
перемешивается, |
||||||||
|
|
так |
что можно |
считать |
темпе |
|||||||
e(t) |
ec(t) |
|
2<t) |
ратуру |
во |
всем |
объеме |
тепло |
||||
|
|
|
|
обменника |
равной 02. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Тепловую |
мощность |
нагре |
||||
Рис. 2-12. К задаче 2-5. |
|
вателя |
q(t) |
можно |
изменять |
|||||||
|
с |
помощью |
напряжения |
пита |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ния |
u(t). |
Предположить, что |
||||||
|
|
|
|
нагреватель не |
сразу |
откли |
||||||
кается |
на изменение |
u(t) и его отклик |
описывается |
уравнением пер |
||||||||
вого порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<? = |
— «<? + |
Р" (О |
|
|
|
|
|
|
||
для /ЗгО, где а, ß, <7(0)>0 и и(0 3*0.
Теплообменник полностью теплоизолирован и единственной поте рей тепла является потеря тепла с истекающим газом. Соответствую щая тепловая мощность составляет <72 —&Ѳ2, где k—представляет со-
£. Выходящий
газ
входящий.—»•
Нагреватель
+ u(t) -
Рис. 2-13. К задаче 2-6.
бой теплопроводность газа. Тепловая мощность входного потока газа равна <7i(t) =&Ѳ4.
Наконец, тепловую мощность поглощения тепла газом в теплооб
меннике можно считать равной (?п(0=сѲ2 , где с — теплоемкость газа.
а) Записать уравнения системы через переменные состояния, счи тая Ѳ2 и q переменными состояния, Ѳі — переменной возмущения, а и — переменной управления в предположении, что измеряется Ѳ2 (0-
б) |
Определить переходную матрицу состояния системы и исполь |
|||||
зовать |
ее для того, |
чтобы |
представить состояние |
системы |
в виде |
|
(2-19). |
|
|
|
|
|
|
в) |
Положить <о=0, <7(0)=0, |
Ѳ2 (0)=0, Ѳ і(г)=0 |
и считать, что |
|||
ошибки |
измерения |
отсутствуют. |
Представить соотношение |
между |
||
входом и выходом системы в виде |
|
|
|
|||
|
|
Ѳ2 (f) = |
(t, |
x) и (х) dt. |
|
|
76
г) Описать уравнения для дискретного аналога системы с интер валом отсчета Т= 1.
д) Является ли непрерывная система, рассматриваемая в задаче, полностью наблюдаемой? полностью управляемой?
е) Является ли дискретная система, рассматриваемая в задаче, полностью наблюдаемой? полностью управляемой?
2-7. В правой части уравнения (2-19) проводится интегрирование
по переменной т. Следовательно, для вычисления интеграла при дан
ных значениях |
t и ta необходимо иметь |
переходную матрицу состоя |
|
ния Ф(/, т) в виде функции от ее второго аргумента. |
|||
а) Показать, что матрица Ф(г, т) должна удовлетворять урав |
|||
нению |
дФЦ, |
-с) |
|
|
|
||
где Ф(Л |
и * о < т < / . |
|
|
б) Пусть |
Ѳ(^, т) обозначает переходную матрицу состояния си |
||
стемы у = —F'(t)y, t^t0, |
где у—ft-вектор. |
Как выглядит соотношение |
|
между Ѳ(^, т) и Ф(^, т)? (Система г/ = —F'(t)y называется сопряжен ной по отношению к системе x = F(i)x.)
2-8. Показать, что результат теоремы 2-1 остается неизменным, если систему (2-37), (2-38) представить в новой системе координат
посредством замены переменных |
вида y=Ax(t), где матрица А раз |
мера пХп несингулярна. Иными |
словами, показать, что наблюдае |
мость является свойством системы, не зависящим от конкретной си стемы координат, в которой она описана.
2-9. Доказать следствие |
2-2, повторяя доказательство теоремы |
2-2 для стационарной линейной системы. |
|
2-10. Является ли система из примера 2-4 полностью наблюдае |
|
мой? |
|
2-11. Вывести уравнение |
(2-69), используя уравнение (2-67). |
2-12. Если непрерывную линейную систему
Аі=Хг\ x2=^—Xi + u(t);
z(t)=xl(t),
где t^O, дискрегизовать с интервалом отсчета Т, будет ли полу ченная дискретная линейная система полностью наблюдаемой и пол ностью управляемой для всех 7">0?
2-13. |
Полагая в. примере 2-8 йх |
(t) = йг (t) = 0, й2 (0 |
= |
і?ѳ (0 = 0 |
и считая, |
что номинальная орбита |
спутника—-круговая |
с |
радиусом |
го, показать, что в этом случае система является стационарной и матрица системы имеет вид:
0 |
|
0 |
0 |
|
0J |
0 |
2ш0 |
0 |
о |
0 |
! |
о |
2ш„ |
0 |
0 |
|
77