Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

где со0 =• у Y/Гд —угловая скорость орбитального движения. Будет ли

такая система полностью наблюдаемой для схемы измерений, пред­ ложенной в задаче 2-8, где Я = | | 1 О О ОН? Будет ли она полностью управляемой? Какой физический смысл имеют два последних резуль­ тата?

2-14. В химическом процессе второго порядка два реагирующих вещества А и В образуют вещество С согласно химической реакции А+В—>-С. Скорость образования вещества. С определяется скаляр­ ным дифференциальным уравнением

простоты предположить, что массу ракеты на рассматриваемом уча­ стке можно считать постоянной.

а) Получить линеаризованные уравнения ракеты для номиналь­ ных условий 7i(t), Ti(t) и й(і), считая все эти функции положитель­ ными.

б) Предполагая, что за ракетой «следят» во время вертикального полета, измеряя дальность г и угол места 0 с помощью станции траекторных измерений (РЛС), расположенной, как это показано на рисунке (/>0 — известное расстояние), получить линеаризованные

78

I

I

I

„-zftt/ss/ AVAW y V w w M

г- I

Рис. 2-14. К задаче 2-15.

уравнения измерения. Предположить, что ошибки измерения аддитив­ ны, т. е.

где Ur(0—ошибка измерения дальности, a fj(0 —ошибка измере­

ния угла места.

Г л а в а т р е т ь я

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В гл. 2 векторы измерения и возмущения дискрет­ ных и непрерывных линейных систем, так же как и век­ тор начального состояния, полагались детерминирован­ ными. В дальнейшем рассматривается вероятностное описание этих векторов. Такой способ описания вызы­ вается тем, что во многих физических системах ожидае­ мые начальные условия, возмущения и ошибки измере­ ния носят скорее вероятностный, чем детерминирован­ ный характер. Поэтому нашей ближайшей задачей является изучение тех аспектов теории вероятностей, которые впоследствии будут использованы для полезного и достаточно полного вероятностного описания поведе­ ния линейных систем.

В настоящей главе представлены основные понятия теории вероятностей, а в заключение подробно рассма­ тривается многомерное гауссовское или нормальное рас­ пределение, играющее в дальнейшем изложении цен­ тральную роль. Кроме того, особое внимание в главе обращено на понятие условного математического ожида­ ния в силу его важности для задач оценки и управления.

79

Предполагается, что читатель имеет некоторое пред­ варительное представление о теории вероятностей и эле­ ментарной теории множеств. Более чем достаточную подготовку могут дать, например, книги Феллера [Л. 3-1, 3-2], Гнеденко [Л. 3-3], Папулиса [Л. 3-4] и Парзена [Л. 3-5].

3-1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ И СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Рассмотрим эксперимент, исход которого является неопределенным, например, бросание игральной кости или измерение шумового напряжения на выходе элек­ тронной цепи в некоторый определенный момент време­ ни. Множество всех возможных результатов такого экс­ перимента называют выборочным пространством экспе­ римента. Обозначим это множество через й, а его эле­ мент через со. Если й имеет конечное или счетное число элементов, оно называется дискретным выборочным про­ странством. В качестве примера можно привести выбо­ рочное пространство игры в рулетку.

Выборочное пространство может быть также несчет­ ным множеством, таким, например, как множество дей­ ствительных непрерывных функций, определенных на

ся происходящим тогда и только тогда, когда наблю­

ство, т. е. множество, не содержащее ни одного исхода эксперимента.

Мы рассмотрели определение вероятности через ин­ туитивное понятие «относительной частоты появления

80

можно показать, что имеются случаи, когда нельзя най­ ти вероятностное пространство, удовлетворяющее аксио­

провести операции объединения и пересечения, то ясно,

ских системах со случайными явлениями обычно встре­

рующих веществ, скорости и т. д. Например, можно ис«

82