Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Случайной

величиной

называется

действительная

функция

Х(а),

определенная

на

Çi,

такая,

что

любое

множество

вида

{<в : Х(ау) ^х}

при

действительном х

является

элементом

<F', где

с о е й .

Функция Х(-) может быть как скалярной, так и век­

торной. В

последнем

случае

она

называется

векторной

случайной

величиной

или

просто

случайным

вектором.

В скалярном случае используют термины скалярная

слу­

чайная величина

или просто

случайная

величина.

В дальнейшем О представляет собой «-мерное евкли­

дово

пространство, У—класс

подмножеств

вида

{ш:со<

^ а ,

а е й } , а в

качестве Х(-)

выбирается

тождествен­

ное

преобразование.

Случайный

вектор Х(-)

в

этом

Функция распределения

вероятностей

и плотность

распределения

6*

83

Ясно, что

Эти

два результата следуют

из

основной

теоремы

анализа

и из того, что F(-)—монотонно

неубывающая

функция.

Теперь рассмотрим случай двумерного вектора X и

исследуем

событие

{ x ^ X i s ^ X i + Äxi,

х2<Х2^х2+Ах2},

где

Ахи

Ax 2 >0, в предположении, что функция

f ,

.

"d*F

( х , , х а )

существует и

непрерывна.

Рассматривая

события

на

плоскости

ХіХ2

(рис. 3-1), можно

легко

показать, что

Р'^х^Х^х^

Ах^

х2 < Х2 < хг -f- AxJ

=

— F(xt-\-

Axt,

х2 + Ах,) — F {xlt

х 2

+

Дх2 ) -

- F (*, - f Ах„

х2) +

F (х„ хг).

(3-3)

По

определению

d*F

(х,,х2)

д х , д х г

_ _ j

j m F ( Х . + Д Х , ,

Х г + Д Х г ) — F (Xi,

Х + Д Х г ) — F

( X i - f Д Х , , X g ) + F

( * i . Х г )

Ajt.-H)

Д х , Д Х 2

Лл:,-*0

Следовательно,

|

j m

Я ( Х , <

< X i + A x t , Х г <

Х г <

Х г + Д х а )

=

f(xt,xù

Д х , Д х 2

и можно

записать:

Р (Хі^Хіт^Хіахі,

x2<cXt^x2+dx2)

=

=f(Xi,

x2)dxidx2.

Тогда

для

произвольной

замкнутой

области

R

на

плоскости

где X — двумерный

вектор.

В

частности,

для

R =

=

fê:a<i|<b},

где

S,

а —

я,

6 =

6.

Et

Яг

имеем:

P(a<X<b)J\]f

y

Ä s Ä r

Приведенные здесь рассуждения можно распростра­

нить на

л-мерное евклидово

пространство и получить:

P(XG/?) =

j - . . J / ( S ) Ä x . . . Ä „

и

я

P ( a < X < 6 ) =

а,

ап

... Д„,

(3-4)

где

а,

Ь,

X

и

.| — n-векторы;

R — замкнутая

область

в n-мерном евклидовом пространстве.

Возвращаясь к двумерному случаю, рассмотрим со­

бытие {Ä'isgrxi, Х2<с;оо}. Назовем

функцию

F{xi, o o ) = P ( X i < x b

Х 2 < о о )

маргинальной

функцией

распределения

вероятностей

Х\.

Так как

{Х 2 ^оо} — достоверное

событие,

ясно,

что

Следовательно, F(xi,

<x>)=FXi

(Xi),

т. е. является

про­

сто

функцией

распределения

вероятностей

Х ь

Аналогич­

но,

Р\оо,

Xz) —

FXt(x2).

то

Если существует

плотность

распределения

f(xi,

х 2 ),

очевидно,

что

X,

со

—ОО —00

и отсюда

ясно, что

плотность распределения

со

—со

называемая

маргинальной

плотностью

распределения

вероятностей

Xt,

является просто

плотностью

распреде-

fix,)

"| b-a,x,

Рис. 3-2. Равномерная

Рис. 3-3. Равномер­

ная

плотность

рас­

функция распределения

пределения

вероятно­

вероятностей

случайной

стей

случайной

вели­

величины.

чины.

ранить на «-мерный случаи,

например,

F(x„ х2, со,

ОО) =

Р ( Х 1 < А : 1

, Х 2 < Х 2 ,

Х 3 < О О , ..

и

Xn<oo)

=

F

(xlt

х2)

00

00

0.

если

X] < а, ;

Xt —ах

F(x1)

= l Ьі__йі

•

если

a^x^bù

1,

если

bi <

х3.

Плотность

распределения

X,,

очевидно,

имеет вид:

i

0,

если

Xi < а ,

или хх >

/ (*і) = I

1

•»

если

в, <

Хі <

,

l

Ь1 — я,

изображенный

на рис. 3-3.