Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Перенося P(it) в

левую часть,

деля обе части

на Ai

и переходя к пределу при M—>-0, получаем

матричное

дифференциальное уравнение

P=F(t)P

+ PF'(t)+G(t)Q(t)G'(t)

(4-55)

при t~^tu. Начальное

условие здесь,

очевидно,

P(t0).

Уравнение (4-55)

по аналогии

с

уравнением

(4-37)

деленности в динамике

системы.

Поскольку

матрица

Р имеет

размер

пХп,

она вклю­

чает п2 элементов. Однако

Р является

корреляционной

и

поэтому

симметрической

матрицей. Это означает, что

в

системе

уравнений

(4-55)

только п(п+\)/2

независи­

мых уравнений.

Уравнение

(4-55)

линейно.

Следовательно, его ре­

определенность

системы

P{t),

связанный

с

неопределен­

ностью информации

о векторе x(U) и о процессе w(t).

После того

как

уравнения (4-54) и

(4-55)

решены

и получены

функции

x(t)

и P(t)

для t^t0,

гауссовский

марковский

процесс

{x(t),

t^to}

можно

описать

его ха­

рактеристической

функцией

фж (s,

i) = exp \\х' (t) s— -^- s'P

(t) s],

где s — действительный п-вектор.

Уравнение

(4-55)

можно

получить и

другим

спосо­

x (0 =

Ф (*, t0) x (О +

jt

Ф (t, x) G (x) w (х) с?х;

'о

ж (0 =

Ф {t, Q * {Q +

С Ф (г, x) G (x) w (x) dx

Тогда

по

определению

Р®

= Е^Ф

(t, Q [x ( g

- * (Q) +

( Ф {t, x) G (x)

X

X

[a» (x) -

w (x)] dz J |

Ф (/, g

[x ( g

-

* (О] +

+

f Ф (t, a) G ( 3 ) [M) (3 ) -

w (,)} <fcJ j=

Ф (f, / 0 )

X

X £{[* ( g

- ж ( у ] [x ( g - * (g]'} Ф'

g

+

t

x ( g ]

w (,)]'}

+

Ф (/, о

f £

{[x ( g -

со -

x

г

X G'(3 ) ф

/

С о) rfj +

[ Ф ( ^ ) С ( т ) £ { [ д а ( х ) -

(x)] [x ( g

-

* ( g ] ' } йхФ' (f, g

+

J f ф

(t, x) G (x)

x

ta

X £ { [ t » (x) — Й? (x)] [w (a) — й> (a)]'} G' (з) Ф' (t,

a) dxifc.

Поскольку x(t0)

не зависит от {w(t),

t^to},

два

сред­

них

слагаемых

в

правой

части

обращаются

в

нуль.

+ Ç Ф (г, x) G (x) Q (x) G' (х) Ф' (f, х) dz.

(4-56)

P (0 =

Ф {t, t0) Р {Q Ф' (t, Q +

Ф ( U 0 ) P (Q Ф' (f, f0 )

+

-Ь Ф (t, t) G (t) Q (t) G' (t) Ф' (t, t) +

J Ф (/, x) G (x) Q (x)

X

to

t

XG' (x) Ф' (/,

x) rfx+

J

Ф (f, т) G (X) Q (x) G' (x) Ф' (/,

x) dz

=

=

Ф

g

P ( g

Ф' (r, g

V ' (0 + f

(о Ф {t, Q P (t0) Ф'

, g

+

+

G (r) Q (0

G' (t) +

J" Ф (f, x) G (x) Q (x) G' (x) Ф' {t, x) d x F

(f) - f

to

t

+

P (0 Ç Ф (f, x) G (x) Q (x) G' (x) Ф' (t, x) dx

=

P (0

Ф (/, tt)

P (Q Ф' (/, /„) +

I' Ф {t, x) G (x) Q (x) G'

X

Х ( * ) ф ' М < ь

ф('. O ^ C . ) Ф'('Л)

+

+

j Ф (/, x) G (x) Q (x) G' (x) ф' (/, x) dz

F'(()

+

+ G(/)Q(/)G '(0,

(4

57)

где

использованы

равенства

Ф(/, т) = Р ( / ) Ф ( ^ ,

т) и

Ф(/,

t)=I,

справедливые для всех t, x~^U.

Наконец,

подставляя

уравнение

(4-56)

в

два первых

слагаемых

в

правой

части уравнения (4-57), получаем

уравнение

P = F(t)P

+

PF'(t)+G(t)Q(t)G'(t),

аналогичное уравнению (4-55).

Выражение (4-56) является, очевидно,

решением

уравнения

(4-55). Однако в общем случае при

вычисле­

нии матрицы P(t)

вряд ли имеет смысл

применять

это

делять Р{і) численным интегрированием

уравнения

(4-55).

Как и в случае дискретного времени, модель легко \

обобщить, включая в нее управляющий вход

x = F(t)x + G(t)w(t) +C{t)u{t),

(4-58)

где

и — /'-вектор,

C(t)—непрерывная

матрица размера

пХг.

Если

u(t),

t^t0

является известной управляющей

функцией,

то, очевидно, {x(t), і^к)

— гауссовский мар­

z(t)=H(t)x(-t)+v(t)

(4-59)

при

t^tß. В

уравнении

(4-59)

z — m-вектор

измерения;

H(t)—непрерывная

матрица

размера тХп;

ѵ — m-век­

тор

ошибки

измерения.

Процесс

ошибок

измерения

{v(ï),

t^t0}

считается

m-мерным

гауссовским

белым

шумом с известным

математическим

ожиданием

E[v(t)]

=

v(t)

и матричной корреляционной

функцией

Е {[V (0 —v{t)]

[V ( т ) - V (т)]'} = R (Oô

(t-x)

для

всех /, x^t0.

Предполагается

также,

что матрица

R(t)

размера тХт

непрерывна

и

положительно

опре­

делена для

всех t~^t0

в

отличие

от матрицы

R(k+l),

деленность

при k = 0,

1 .. .

Причина

такого

различия

станет ясной при изучении задачи оценки.

Далее предполагается, что процесс {v(t),

t^t0} не

зависит

от

x(to),

но

может

быть

коррелированным

с {w(t),

tz^to). Следовательно,

EHx(t0)-x(to)][v(t)-v(t)Y}

= 0

для всех t^to

и

Е {[w (t)-w

(t)][v

(x)-V

(x) }'} = S(t)b {t-x)