Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 257

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Структурная схема

полной модели

изображена на

рис. 2-3, причем отличие от изложенного в гл. 2

заклю­

чается в том, что x(io),

w{t) и v(t), t^,to

теперь

имеют

конкретное вероятностное описание.

 

 

Гауссовский марковский процесс второго порядка

Ход рассуждений здесь будет совершенно анало­ гичным ходу рассуждений при исследовании модели состояния вида гауссовской марковской последователь­ ности второго порядка. Поэтому для простоты все мате­ матические ожидания полагаются равными нулю.

Рассмотрим случайный процесс {x(t), t.^to), описы­ ваемый уравнением

 

x=A(t,)x + B(i)x + G(i)w{t)

(4-60)

для ï^ia.

Предполагается, что x(t0) и

x(tß)—случай­

ные /г-векторы, имеющие совместное гауссовское распре­ деление, с нулевыми математическими ожиданиями и

корреляционными

матрицами Е [х (<t) х'(t)]

= Poo, E[x(t) X

Хж'(/)] = Ли и E{x(t)x'(t)]

= Pu\

Ait) и

В(4)—

непре­

рывные матрицы

размера

пХп,

a G(t)

и {w{t),

i^U}

являются теми же, что и раньше, при дополнительном

условии w(t)=0

для

всех t^t 0 .

Процесс {w(t),

t^t0}

не зависит от х(0)

и

х(0).

 

 

 

 

 

Поскольку уравнение

(4-60) второго порядка, ясно,

что для tm>tm-i>..

.ti^U

условная функция распреде­

ления вероятностей x(tm)

при условии x(tm-i),

x(ti)

зависит только от x(tm-i)

и

x(tm-z).

Следовательно,

{x(t), t^to} — марковский

процесс

второго порядка.

Определив n-вектор у

как

х = у, перепишем

уравне­

ние (4-60) в виде

 

 

 

 

 

 

 

y = B(t)x+A{t)y

+

G(t)w(t).

 

Пусть x* — 2«-мерный вектор вида x

У\

Объединяя два последних дифференциальных урав­ нения, получаем:

О

/

0

W(t)

(4-61)

\B(t)A(t)

 

G {Г)

для t^t 0 .

170

Пусть матрица

Ф ( * , т) =

Ф и ( < . ^ ) Ф і 2 ( ' . *)

Ф21 (t,

х) Ф 2 2 (<, x)

 

обозначает

переходную

матрицу

состояния

системы

(4-61) размера

2пХ2п,

где

каждая

из

матриц

Фц(Ъ

х),

і, і— 1, 2, имеет размер пХп.

Ясно, что

 

 

 

 

л

(г) =

Ф п

(*,

Q x {Q +

Ф 1 2

(/,

Q у (Q

+

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

\ <è»{t,*)G

(г) W

 

 

 

 

 

 

Поскольку

случайные

векторы

x(to), y(to)

=x(t0)

и

случайный

процесс {w(x),

x^to)—

гауссовские,

то и век­

тор x(t)—гауссовский

 

для

всех

t^to.

Следовательно,

процесс {x(t),

t^to}

— гауссовский

марковский

второго

порядка.

 

 

 

процесс {x*(t),

 

t^to},

 

 

 

С другой стороны,

 

определяе­

мый уравнением (4-61), очевидно, гауссовский марков­

ский. Это следует из того, что x*(to)

является гауссов-

ским случайным 2 n-мерным вектором

с нулевым сред­

ним и корреляционной матрицей

 

E[x*(Qx*'(Q):

Poo Pol

 

 

F"CI Pn

 

независимым от гауссовского

белого шума [w(i),

t^to}.

Эта модель совпадает с моделью (4-52), только вектор состояния здесь имеет 2 n, а не n компонент.

Отсюда можно заметить, что если входом в систему второго порядка является гауссовский белый шум, а на­ чальные условия, независимые от шума, имеют совмест­ ное гауссовское распределение, выходом системы будет

гауссовский марковский процесс

второго порядка.

 

Далее рассмотрим процесс [x(t),

t^U), описываемый

соотношением

x = F(t)x+G(t)w(t),

 

(4-62)

 

 

 

где

возмущение

системы является

гауссовский

марков­

ским процессом,

удовлетворяющим

уравнению

 

 

 

w = A{t)w +

B(t)t(t)

(4-63)

для

t^to [ср. уравнения (4-46)

и

(4-47)].

 

171

В этих уравнениях х—/г-вектор; w—/7-вектор;

\—q-

вектор; F(t),

G(t),

A(t)

и B(t)—непрерывные

матрицы

размера пХп,

пХр,

рХр

и pXq соответственно.

Пред­

полагается, что X(to) и

w(to)—гауссовские

случайные

векторы с известными математическими ожиданиями и корреляционными матрицами, не обязательно независи­

мые друг от друга. Далее {l(t),

t^to}

— гауссовский

белый шум, независимый от x(t0)

и w(to),

с известными

математическим ожиданием и корреляционной матрицей.

т .

Рис. 4-11. Структурная схема системы (4-62), (4-63).

 

Структурная

схема

формирования

процесса

{x(t),

t^to)

при f i (0, tp?to}

в качестве входного сигнала

по­

казана на рис.

4-11. Система

со входом

\(t)

и выходом

x(t),

очевидно,

имеет второй

порядок, причем

начальные

условия не зависят от входного сигнала и нормально

распределены, а на

вход

подается гауссовский

белый

шум. Следовательно,

{x(t),

t^to} — гауссовский

марков­

ский процесс второго

порядка.

 

Как и в случае дискретного времени, легко показать, что процесс {x*(t), t^to}, где х*—(п + р)-мерный вектор вида

представляет собой гауссовский марковский процесс. Две модели, построенные в этой главе, представляют

собой обобщение моделей систем, введенных в класси­ ческой теории связи и управления (Л. 4-3—4-6]. Класси­ ческая теория основана на независимых работах Винера [Л. 4-8] в США и Колмогорова (Л. 4-9] в СССР.

В упомянутых работах рассматривалась модель ин­ вариантной во времени линейной системы, на вход кото­ рой подавался стационарный белый шум, а воздействие начальных условий считалось пренебрежимо малым,

172

Время

изменялось

в

пределах

— о о < / < о о

и получаю­

щийся случайныйпроцесс являлся

стационарным. Эти

упрощения

позволили

провести

анализ

в частотной

обла­

сти.

В

цитируемой

литературе

[Л.

4-3—4-6] приведены

многочисленные

примеры.

 

 

 

 

 

 

Возможные обобщения такой модели очевидны: рас­

смотрение

системы

и

входного

шума

в

общем

случае

нестационарных

и учет влияния начальных

условий.

Без сомнения, рассмотренные здесь модели не явля­

ются

завершенными.

Скорее

они

представляют

лишь

улучшение

ранних

моделей и

сами

в

будущем

будут

улучшены.

Они

не

учитывают

многих

физических

явле­

ний, которые хотелось бы учесть при анализе и синтезе систем. Тем не менее они позволяют с разумной точно­ стью моделировать многие явления, подобные тем, какие были упомянуты выше.

З А Д А ЧИ К

ГЛ. 4

 

 

 

 

 

4-1. Рассмотреть последовательность

независимых случайных

величин х(\),

х(2),

. ..,

имеющих одинаковое гауссовское

распределе­

ние с нулевым средним

и дисперсией а2.

Очевидно,

{x(k),

k=\, 2, .. .}

и {y(k), k=\,

2,

. . . } ,

где y(k) =х(\)

+х(2)

+ ...

+x{k),

являются

случайными процессами с дискретным временем. Определить для лю­ бого целого k характеристические функции каждого процесса.

4-2. Рассмотреть случайный процесс с дискретным временем, опи­ сываемый соотношением

где х(0)—случайный п-вектор с математическим ожиданием х(0) и корреляционной матрицей Р(0). Определить математическое ожида­ ние, матричную корреляционную функцию и ковариационную матрицу

процесса.

 

что

три

случайных

процесса

{x(t),

te/},

{y{t),

4-3.

Полагая,

te/} и

{z(t),

te/}

попарно

независимы,

показать, что они

не

обяза­

тельно совместно

независимы.

 

 

 

 

 

 

4-4.

Показать, что два взаимно независимых случайных процесса

некоррелированы,

но

обратное утверждение

в общем случае неверно.

4-5. Показать, что стационарный в широком смысле гауссовский

процесс также

является

стационарным в узком смысле.

 

 

 

4-6.

Если

{x(t),

te/}—марковский

процесс,

показать,

что

{x(t),

te/i},

где h — подмножество /, также

марковский процесс.

 

4-7.

Показать, что если у случайного процесса {x(t),

от

te/}

при

любых

tiSiti^tz

из / разность x(tz)—x(ti)

не

зависит

x.(t), то

процесс марковский.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4-8. Для гауссовской марковской модели (4-28) рассмотреть слу­

чай, когда X, Ф и w — скаляры и

 

 

 

 

 

 

 

 

x(k+\)=e~hx(k)+w(k);

k=Q, 1

 

 

 

 

173

Полагая,

что äi (0) =

й> (£) =

0,

£ [ х 2

( 0 ) ] = ° о ' Е[тЦк)]

=

=1 и

Е [х (0) te) (k)] = 0

для

 

всех

£,

получить

соотношение

для

Я[& +1 ) А о2

(ft +

1) =

Е [x2 {k +

1)]

и

рассмотреть

его поведение

при k—>-со.

Сравнить

полученный

результат

с предельным

поведе­

нием P(k+\)

в

случае,

если в

описании процесса

заменить

е~к.

на 1—е- *. Является ли процесс при произвольно большом k стацио­ нарным в широком смысле для какого-либо из этих случаев? Стацио­

нарным в узком смысле?

 

 

х(0) зависит

 

{w(k),

k =

 

4-9. Если в модели

системы (4-28)

от

= 0,

1 . . . } , будет ли

последовательность {x(k), k=Q,

1 ... }

все еще

гауссовской марковской?

Объяснить ответ.

 

 

 

 

 

 

4-10. Показать, что

если

в уравнение (4-28)

добавить

аддитив­

ный

управляющий

входной

сигнал

^(fr-l-l, k)u(k),

где

u(k) —

— \i{x(k),

k], a

(x — известная г-мерная

функция

x(k)

и k, то

после­

довательность

{x(k),

k=0, 1 ... } будет

марковской, но не

обязатель­

но гауссовской.

Привести

пример функции ц, при которой

последова­

тельность

{x(k),

k=0,

1,

... }

будет гауссовской

марковской.

 

 

 

4-11.

Пусть

{x(k),

k=0,

1 ...}—гауссовская

марковская после­

довательность, описываемая уравнением (4-28). Корреляционная ма­ трица последовательности определяется рскѵррентно с использова­

нием соотношения P(k+1)

= Ф ( £ + 1 , k)P(k)<t>'(k+l,

k)+T(k+\,

 

k)X

XQ(k)T'(k+l,

k); k = 0, 1 . . .

 

 

 

а) Для случая, когда матрицы Я(0) и Q(k)

известны

с

ошиб­

ками АР(0)

и AQ(k),

вывести уравнение для ошибки корреляционной

матрицы, описывающее поведение этой ошибки во времени.

 

 

б) Для случая,

когда

матрицы Р(0) и Q(k)

известны

с

доста­

точной точностью, но переходная матрица состояния Ф(&+1, k) опре­ делена с ошибкой АФ( £ + 1 , k), вывести рекуррентное уравнение для ошибки корреляционной матрицы, показывающее, как на вычисление корреляционной матрицы влияет ошибка переходной матрицы со­ стояния.

 

4-12. Показать, что случайный процесс

{x*(k),

k=0,

1 .. .}, рас-

сматривеамый в конце § 4-2, гауссовский

марковский.

 

 

 

 

 

4-13. Рассмотреть модель системы вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(k+l)=<b(k+\,

 

k)x(k)+r(k+l,.k)w(k);

 

 

 

 

 

 

 

z(k+l)=H(k+l)x(k+l)-rv(k+\)

 

 

 

 

 

 

 

для

k=0,

1 . . . Здесь слагаемые, за

исключением

v(k + \),

описаны

в § 4-2, a {v(k+\)t

k=0, 1 ...}—коррелированный процесс,

описы­

ваемый

соотношением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о(й + 1)=Ѳ( £ +1,

k)v(k)+l(k)

 

 

 

 

 

 

для

& = 0,

1, ... ,

где Q(k+\,

k)—матрица

размера

тХт.

Пусть

ѵ(0)—гауссовский

случайный

m-вектор,

независимый

 

от

х(0),

{w(k),

ê = 0 , 1 . . . }

и {£(£), k=0,

1 . . . } , с математическим

ожиданием

ѵ{0)

и корреляционной матрицей Ѵ(0).

 

 

 

 

 

 

 

 

Процесс {£ (%),'£'= 0,*1

... }

не

зависит

от х ( 0 ) ,

ѵ (0)

и

{w(k),

& =

0,

1,...} и явтяется

гауссовской

белой

последовательностью

с математическим ожиданием | (k) и матричной корреляционной

функ­

цией

E'{[$(k)-Ï(k)}

[l(fe)-ï"(fe)]'}=Z(fe)8i f t

для

всех

/,

k =-

174

Смотрите также файлы