Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

X P - i (TV—2 ) /V—3)

P

(TV—21 N—2)

ф '

( І Ѵ — 1,

JV — 2) .

Подстановка

этого

результата

в

уравнение

(6-43)

дает:

M(k\N)

^=E{x(k)x'(N—2\N-3)}X

ХР-1(Ы~2\Ы—

3)P(N—2j/V—2)<b'(N—l,

N—2)

X

X p - i ( N ~ l

I

N—2)

A ( T V — l)K(N)

=

=

£ ] [ * ( £ ) Г

(TV—2 | Л / — 3 ) ] Х

X Р ^ (TV—2 ( УѴ~3) Л (TV—2) Л (/V — 1 ) К

(N).

Продолжая преобразования таким же образом, полу­

чаем:

M(k\N)=B[x{k)x'{k+\\k)]X

ХР^(,к+\\к)А{к

+ \) ...

A{N~2)A(N~\)K(N).

Подставляя

в это

выражение

уравнение

(6-9) и

используя'еще раз уравнение (6-18), имеем:

M{k\N)=P{k\k)0'(k

+ \,

k)X

XP-Hk+])k)A(k

+ l) ... A(N—\)K(N)

=

=A{k)A{k

+ \) ...

A(N—l)K(N).

(6-44)

Возвращаясь

к уравнению

сглаживающего

фильтра

(6-34) и подставляя

в

него уравнения

(6-33)

-и

(6-44),

ления M(k\N)

равна

матрице передачи

P ~PZL,

полу­

чаем:

X {k I N) =

X (k I k) + A {k) [л (k + 1 I N -

I)

-

-x(k+

\

! k)] +

A{k)A{k+\)...A(N-\)K{N)X

Xz{N

\N-i)=x(k

I k)-A(k)x(k

+ l

I k)

+

+ A(k)\x(k+l

\N-\)+A{k+l)...A(N-\)X

X

К (N)z{N

1 JV — 1)].

(6-45)

Заметим, что выражение в квадратных скобках в пра­

вой части

уравнения

(6-45)

равно x(k-\-l

| N).

Чтобы по-

казать это, заменим

в

уравнении

(6-34)

индекс k на

k+\.

Тогда

x{k\+\

\N)=x(k+

\

iN-iy+P-PZl^NlN-l),

(6-46)

где

Prz = E[x(k+

1)?(УѴ I N— 1)];

P^=-E[7{N

I /V — l)~(N

I tf-

1)].

xz

z

z

=

A (fe +

1) Л (fe + 2)... A (N -

1) К {N),

что и требовалось

показать.

Следовательно,

согласно

уравнению

(6-45), для по­

стоянного N иfe= 0, 1, ..., N—1 справедливо соотно­

шение

x(k

I N) =

x{k

I k) — A(k)x(k

+

l

I fe) +

+

Л

+

1 I N) = x{k

I

fe)-M(fe)X

X [Jc(ft + 1 I N) -

x(k

+ 1 1

fe)],

(6-47)

где согласно уравнению (6-18)

A(k)=P(k\k)0'(k+l,

k)P-l(k

+

l\k).

x(N — 1

I N)=x(N

- 1 I N — l)-f-

+ A(N—

\)[x{N\N)-x{N

I N — 1)].

x(N

— - I

I N),

можно

аналогичным

способом

вычислить

оценки

x(N — 2 | N), х(М~3

| N),

х{0

| N).

Следова­

тельно,

индекс

k в уравнении

(6-47) означает k = N — 1,

N — 2,...,Q,

а

граничным

условием

является

текущая

оптимальная

оценка x(N

| N).

Последовательность вы­

числений

схематически

показана

на шкале

времени

рйс. 6-3.

Совершенно ясно, что алгоритм

оптимального

Конец

Начало

1

І4-Н

Ч

1

1

*

время

О

1 Z • • • N-Z N-l

N

\

Рис. 6-3. Последовательность вычислений при оптималь­

ном сглаживании на закрепленном интервале.

сглаживания

на закрепленном интервале

не

рассчитан

на

обработку

данных

в

реальном

масштабе

времени,

ющего на закрепленном интервале,

приведена на рис. 6-4.

Здесь «невязкой»

является разность между оптимальным

сглаживанием на

закрепленном интервале x (k -f-1 | N) и

оптимальным предсказанием x(k-\-\

| k)'Для

каждого зна­

чения k корректирующий член A (k)

[x{k - f - 1

| N)—x(k-\-

;

Х(к\к)

х(к+1\к)

А(к)

53

Х(к+1\Ы)

/ г = / Ѵ - / , . . . , 0

Рис. 6-4.

Структурная

схема

оптимального

фильтра,

сглаживающего

на

закрепленном интервале.

ствии

будет

называться

матрицей

передачи

оптимально­

го

фильтра,

сглаживающего

на

закрепленном

интер­

вале.

Ошибка

сглаживания

и ее корреляционная

матрица

Ошибка оптимального сглаживания на закреплен­

ном интервале по определению

равна:

x(k

I N)=x(k)-x(k

I N).

Подставляя в это выражение уравнение

(6-47), полу­

чаем:

x

ft

I N) =

x (ft I ft) -

A (ft) [Je (ft - f

1 I N) — x(k +

1 I ft)]

(6-48)

Также по определению

jc(ft +

l I JV)==Jc(ft+l)-Jc(ft-f.l

I

N);

x{k+\

I ft) =

JC (ft+ \)-x{k+

1

I

ft),

откуда

x(k+ 1 I N) — x{k-\-1

I ft) = 3c(ft+ 1

I k)-x{k+l

I N).

x{k\N) =£(ft|ft) +A{k)[x(k+\\N)—x(k+\\k)\.

(6-49)