Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Так как

то ясно, что

x(k\N)=A{k)x(k

+ l\N)+x(k\k)

—

—A{k)x(k

+ \\k)=A{k)x{k

+ \\N) +

+[I—A(k)<b(k+1,

k)]x(k\k)—A

(k)T(k + \,

k)w(k),

где / — единичная матрица размера «X« .

(6-50)

Рассмотрим случайный

процесс

{x(k\N),

k = N,

N—1, ...,

0}, который описывается

уравнением

(6-50).

Из этого

уравнения

видно,

что x(k\N)

можно

рассма­

тривать как выход

линейной системы

первого

порядка,

работающей в обратном времени и

подверженной

воз­

действию

двух возмущающих

функций. Первой из них

является

ошибка фильтрации

{x{k\k),

/г = 0, 1 . . . } ,

пред­

тельность

с нулевым

средним. Вторая возмущающая

функция

{w(k), /г = 0,

1 ... } является гауссовской белой

X<K\N)

Шк\кѴ-

1-А(ЮФ(к+1,к)

k=N,N-1,...,0

А(к)

63

£YA-+/|A/)

Рис. 6-5.

Структурная схема формирования ошибок опти­

мального

сглаживания на закрепленном

интервале.

уссовская

марковская

последовательность,

то

процесс

с

обратным

временем

{x(k\k),

k = N—1,

Л"—2, ..., 0}

также гауссовский и марковский.

Граничным

условием

для разностного

уравнения

(6-50) является гауссовский

случайный «-вектор

x(N\N)

с

нулевым

средним. Структурная

схема

формирования

ошибки сглаживания изображена

на рис. 6-5.

ß

§ 4-2 показано,

ЧТО выходной сигнал

такой

систе­

мы,

в данном случае

x(k\N),

представляет

собой

гаус-

ка с нулевым

средним.

{x(k\N),

k = N, N—1, . . .

Так как последовательность

. . . 0} не

является гауссовской

марковской,

она не опи­

сывается

полностью своим (нулевым)

математическим

ожиданием

и

корреляционной матрицей

P(k\N)~

= E[x(k\N)x'(k\N)\.

Из § 4-2 известно,

что полное опи­

Хотя матрица P(k\N)

представляет

собой

только

часть

полного описания

случайного

процесса

{x(k\N);

k = N,

N—1, ..., 0}, она

может оказаться

довольно по­

лезной. В частности, она

полностью

описывает

распре­

kŒ{0,

N]. Если матрица P(k\N)

несингулярна, то

плот­

ность

распределения ошибки

сглаживания имеет

вид:

f [x(k

I N)]= r

1

exo[—lrx'(k I N)X

1 1

V

'

n

V (2п)" \P(k\N)\

'

L

2

XP-'ik

I N)x(k

I

tf)J.

Диагональные элементы

матрицы

P(k\N)

представ­

ляют

собой

дисперсии

компонент

случайного

вектора

ошибки

сглаживания

x(k\N).

Сравнивая

их,

например,

с соответствующими элементами матрицы P(k\k),

мож­

но оценить сравнительную точность алгоритмов опти­

мального

сглаживания

на

закрепленном

интервале и

оптимальной фильтрации. В силу этого в дальнейшем

вместо полного вероятностного описания случайного про­

цесса

[x{k\N)\

k = N, N—1,

..., 0} будет рассматривать­

ся только выражение для его корреляционной

матрицы.

Чтобы

получить

это

выражение,

вначале

запишем

уравнение (6-48) в виде

x{k\N)

+Л(ft) x { k +\ I N) = x(k

I k)-\-A(k)x(ft+

1 I ft)

(6-51)

В силу уравнения

(5-10)

E[x(k

I N) x'{k+l

I N)] = 0;

E[x(k

I

ft)jc'(ft+

1 Ift)]=

0

P(k\N)

=P(k\k)

+А (k) [P(k-\-l \N)—P(k

+ 1 \ k)]A'(k).

(6-56)

Уравнение (6-56) представляет собой матричное раз­

ностное

уравнение

первого порядка для

корреляционной

P(k\k) и P(k+l\k),

полученных

из

решения

задачи

оптимальной

фильтрации.

Индекс k

в уравнении

(6-56), очевидно, принимает

значения N—1, N—2,

..., 0.

Граничное условие

для это­

го уравнения

P(k+\\N)=P(N\N)

при

k =

N—\.

Теорема 6-1.

1)

Оптимальное

сглаживание

на

закрепленном

ин­

тервале

списывается

системой

уравнений

x{k

I N)=x(k

I

k)-\-A(k)

[x(k

+

l

I N)

— x(k+l

I

k)\

(6-57)

для

k=N

— 1,

N — 2,

0,

где

x(N

| N)—граничное

ус­

ловие

при k =

ZV — 1.

2)

Матрица

передачи

сглаживающего

фильтра

A (k)

определяется с помощью

соотношения

A(k)=P(k\k)<b'{k

+ \,

k)P~4k

+ \\k).

(6-58)

3)

Ошибка

оптимального

сглаживания

на

закреплен­

ном

интервале

{x(k\N), fe

= iV, JV—1,

. . . , 0 }

представляет

собой

гауссовскую

марковскую

последовательность

вто­

рого

порядка

с нулевым

средним

и

корреляционной

ма­

трицей, описываемой

системой

уравнений

P{k\N)

=P(k\k)

+A(k)

[P(k + \\N)—P(k

+

l\k)]A'(k)

k = N—1,

(6-59)

для

N—2, ..., 0, при

граничном

условии

P(N\N)

для

k=N—l,