Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 276

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пример 6-2. Рассмотрим задачу оптимального сглаживания на закрепленном интервале для систем без возмущения, т. е. при Q(k) = =0 для всех А=0, 1 .. . Тогда P(k+<\\k) = Ф ( £ + 1 , k)P{k\к) X Х Ф ' ( £ + 1 , k) и уравнение (6-58) примет вид:

A (ky= P\k

I к)\Ф' (к+\,кУ[Ф'[(к+

 

1,*)]-' X

Х Р - '

(ft I А ) Ф - ' ( А + 1 . А ! ) = Ф ( А . А ! +

1).

Подставляя этот

результат и

соотношение

x (k -J- 1, А) =

= Ф ( & + 1, ft) x (ft I А) в

уравнение

(6-57),

п о л у ч а е м :

 

x (ft I N) =

x (ft I k) + ф (k, k +

1) [x(k

+l\N)

— Ф(к + 1,

ft)x(ft I k)] = Ф ( £ , ft +

l)x(ft +

1 I ІѴ),

откуда следует, что

 

 

 

 

 

 

 

x(k

I УѴ) = Ф ( А , УѴ) x{N

I УѴ).

 

В этом случае сглаживание получается из текущей оптимальной оценки в конце интервала [О, N] в результате «обратной» экстраполя­ ции последней оценки с помощью переходной матрицы состояния.

Соответствующая корреляционная матрица ошибки оценки имеет

вид:

P(k\N)=P(k\k)+<D(k,

k+l)[P(k+\\N)

—Ф(к+\,

k)P(k\k)<b'(k+\,

k)]<b'(k, /г+1) =

= Ф(А, k+l)P(k+l\N)<D'(k,

k+l)

или, что то же самое,

 

 

 

 

Р ( е | Л 0 = Ф ( А , ^)Я(ЛГ [/Ѵ)Ф'(А,

N).

6-4. ОПТИМАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ В ЗАКРЕПЛЕННОЙ

ТОЧКЕ

 

 

 

 

Оптимальный

сглаживающий

фильтр

Заменяя

в уравнении (6-34)

индекс

N на /

и на­

поминая, что матрицей

передачи

в этом уравнении

явля­

ется матрица

M(k\N),

 

имеем:

 

 

 

 

x(k\j)=x(k\

j

- l ) - f M ( f e

I i)z{j

I / - 1).

(6-60)

Однако из уравнения (6-44)

следует:

 

 

 

M(k

i /)

=

 

* ( / ) ;

 

(6-61)

из уравнения

(6-16)

 

 

 

 

 

 

I /• - !) = .?(/ I /)-А-(/ I ; — 1)

258


Подставляя эти два результата в уравнение (6-60) и обозначая

Я ( / ) = Г[Л(0,

(6-62)

получим алгоритм оптимального сглаживания в закреп­ ленной точке

x(k I j) = x(k I / - [) + B(j)[x(j

I j)-x(j

I y - 1)], (6-63)

где j = k+l,

k + 2 ...

Матрица

B(j) размера nXn, опре­

деляемая

уравнением

(6-62),

называется

матрицей пе­

редачи оптимального фильтра, сглаживающего в за­ крепленной точке. Алгоритм, очевидно, имеет рекуррент­ ный характер по у. Матрицу передачи также можно вы­

числять

рекуррентно,

если заметить,

что

уравнение

(6-62) может быть представлено в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

Б(/)=5(у-1)Л(у-1)

 

 

(6-64)

для

j=k + 2, k + 3, . . ., где

 

 

 

 

 

),

 

 

Л ( / - 1 ) = Р (/ - 11 /-1 ) Ф' (/, /-1

) Р-1 (/ I /-1

 

а начальное

условие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B(k+l)=A{k).

 

 

 

 

 

 

 

Начиная

вычисления

с j = k + l,

из

уравнения

(6-63)

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(k

I k +

l) =

x{k

I k)+B(k+l)(x{k+\

 

 

I

ft+1)

 

 

 

 

 

-x{k+l

I k)}.

 

 

 

 

 

 

Соответствующее

натальное

условие, очевидно, имеет

вид x (fe I у — 1) = x (fe Ife)для у — k -J- 1.

 

 

 

Структурная схема оптимального фильтра (6-63),

сглаживающего

в

закрепленной

точке,

показана

на

рис.

6-7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из

уравнений

(6-60) — (6-62)

легко

получить

дру­

гую форму

алгоритма:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(k

I j) =

x{k I у -

\)-T-B(j)K(j)~z(j

 

I у -

1)

(6-65)

17*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

259



Рис. 6-7. Структурная схема оптимального филь тра, сглаживающего в закрепленной точке.

 

j=k+1,k+2 ...

 

x(k\j-r)

 

 

БЗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6-8. Структурная схема варианта оптимального фильтра,

сглаживающего

в закрепленной

точке.

 

 

 

 

 

для j = k + \,

k + 2. . . .,

имеющую

то

преимущество,

что

для всех / вектор K(j)z

 

1)

вычисляется

непосред­

ственно при работе оптимального

фильтра. Структурная

схема

такого

сглаживающего

фильтра

приведена

на

рис. 6-8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ошибка

сглаживания

и ее

 

корреляционная

 

матрица

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Анализ

ошибки

оптимального

сглаживания в за­

крепленной точке проводится в основном

так же, как и

для сглаживания

на закрепленном

интервале в § 6-3.

Из

определения

ошибки

оценки

и

из

уравнения

(6-63)

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x{k

I }) =

x(k)-x(k

 

! j) =

x{k)~x{k

 

I / — 1) —

 

~

В (/) [x(j

I /) -x{j\j~

 

1 ) ] = x(k I / — 1) —

 

 

 

-B(i)[x(i

 

I j)~x(j

 

\

j-l)].

(6-66)

Как и в §

6-3,

из

соотношений

 

 

 

 

 

 

 

 

x(j

I І) — х{і)-х{]

 

I /) ;

 

 

 

 

x(i

I

j - l

)

=

x(j)~x(j

 

 

I / — 1)

 

 

260


получаем:

 

 

 

 

 

x(j

I /) - x {

j \ j -

=

I У — 1) — x(j I y).

(6-67)

Согласно уравнению

 

(5-61)

 

 

 

x (У I У) Ht-~K(j)H(j)}x(j\j-\)-K(j)v(j).

 

(6-68)

Отсюда следует, что

 

 

 

 

x (у I У - 1 )

х (у) = /( (у) Я (у) Ж (у'| у—1) +K{j)v

(у). (6-69)

Из

уравнений (6-67)

и (6-69) ясно, что

уравнение

(6-66) можно представить в виде

 

 

 

x(k\j)=x(k[j-l)-B(j)K(j)H(j)X

 

 

 

 

Xx{j\j-l)~B(j)K(j)vU)

 

(6-70)

для / = & + ! , k + 2 ...

Уравнение (6-70) представляет собой модель линей­

ной

системы

первого

порядка с

входными сигналами

в

виде

гауссовской

марковской

последовательности

{£(/1/—О»

/ = £ + 1 , k + 2 .. .} и гауссовской белой

после­

довательности

{У(у), / = & + 1 , k + 2 . . .} с нулевыми

мате­

матическими ожиданиями. Так как начальное условие

x(k\k)

—гауссовский случайный вектор с нулевым сред­

ним,

то {x(k\j);

j=k, k + \, .. .} — гауссовская

марков­

ская

последовательность второго порядка с

нулевым

средним. Этот результат можно также получить другим способом. Заметим, что

 

 

* ( у | у - 1 ) = Ф ( у , у - 1 ) х ( у - 1 | у - 1 ) +

 

 

 

 

 

+ Г(/,

/ - 1 ) а / ( / - 1 ) .

 

(6-71)

 

Уменьшая в уравнении (6-68) на единицу значения

индексов

времени и

подставляя

полученный

результат

в уравнение

(6-71), получаем:

 

 

 

 

 

 

= Ф ( / \

/ - ! ) [ / - # ( / - і ) Я ( / - і ) ] х

 

X x (у - 11 у - 2 ) ^ Ф (у, І-\)К

(У-1 ) ѵ(і-1

)

+

 

 

 

+ Г(у, у - І ) ш ( у - І )

 

(6-72)

для

j = k+l,

k-\-2 ...

Начальным

условием для

уравне­

ния (6-72) является гауссовский случайный

 

«-вектор

x(k\k— 1) с нулевым

средним.

 

 

 

 

Структурная схема системы

(6-70), (6-72)

 

показана

на

рис.

6-9.

Выходным

сигналом системы,

очевидно,

261