Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 276
Скачиваний: 1
Пример 6-2. Рассмотрим задачу оптимального сглаживания на закрепленном интервале для систем без возмущения, т. е. при Q(k) = =0 для всех А=0, 1 .. . Тогда P(k+<\\k) = Ф ( £ + 1 , k)P{k\к) X Х Ф ' ( £ + 1 , k) и уравнение (6-58) примет вид:
A (ky= P\k |
I к)\Ф' (к+\,кУ[Ф'[(к+ |
|
1,*)]-' X |
||||
Х Р - ' |
(ft I А ) Ф - ' ( А + 1 . А ! ) = Ф ( А . А ! + |
1). |
|||||
Подставляя этот |
результат и |
соотношение |
x (k -J- 1, А) = |
||||
= Ф ( & + 1, ft) x (ft I А) в |
уравнение |
(6-57), |
п о л у ч а е м : |
|
|||
x (ft I N) = |
x (ft I k) + ф (k, k + |
1) [x(k |
+l\N) |
— |
|||
— Ф(к + 1, |
ft)x(ft I k)] = Ф ( £ , ft + |
l)x(ft + |
1 I ІѴ), |
||||
откуда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
x(k |
I УѴ) = Ф ( А , УѴ) x{N |
I УѴ). |
|
В этом случае сглаживание получается из текущей оптимальной оценки в конце интервала [О, N] в результате «обратной» экстраполя ции последней оценки с помощью переходной матрицы состояния.
Соответствующая корреляционная матрица ошибки оценки имеет
вид:
P(k\N)=P(k\k)+<D(k, |
k+l)[P(k+\\N) |
— |
||
—Ф(к+\, |
k)P(k\k)<b'(k+\, |
k)]<b'(k, /г+1) = |
||
= Ф(А, k+l)P(k+l\N)<D'(k, |
k+l) |
|||
или, что то же самое, |
|
|
|
|
Р ( е | Л 0 = Ф ( А , ^)Я(ЛГ [/Ѵ)Ф'(А, |
N). |
|||
6-4. ОПТИМАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ В ЗАКРЕПЛЕННОЙ |
||||
ТОЧКЕ |
|
|
|
|
Оптимальный |
сглаживающий |
фильтр |
Заменяя |
в уравнении (6-34) |
индекс |
N на / |
и на |
|||
поминая, что матрицей |
передачи |
в этом уравнении |
явля |
||||
ется матрица |
M(k\N), |
|
имеем: |
|
|
|
|
x(k\j)=x(k\ |
j |
- l ) - f M ( f e |
I i)z{j |
I / - 1). |
(6-60) |
||
Однако из уравнения (6-44) |
следует: |
|
|
||||
|
M(k |
i /) |
= |
|
* ( / ) ; |
|
(6-61) |
из уравнения |
(6-16) |
|
|
|
|
|
|
I /• - !) = .?(/ I /)-А-(/ I ; — 1)
258
Подставляя эти два результата в уравнение (6-60) и обозначая
Я ( / ) = Г[Л(0, |
(6-62) |
получим алгоритм оптимального сглаживания в закреп ленной точке
x(k I j) = x(k I / - [) + B(j)[x(j |
I j)-x(j |
I y - 1)], (6-63) |
||
где j = k+l, |
k + 2 ... |
Матрица |
B(j) размера nXn, опре |
|
деляемая |
уравнением |
(6-62), |
называется |
матрицей пе |
редачи оптимального фильтра, сглаживающего в за крепленной точке. Алгоритм, очевидно, имеет рекуррент ный характер по у. Матрицу передачи также можно вы
числять |
рекуррентно, |
если заметить, |
что |
уравнение |
|||||||||
(6-62) может быть представлено в виде |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Б(/)=5(у-1)Л(у-1) |
|
|
(6-64) |
||||||
для |
j=k + 2, k + 3, . . ., где |
|
|
|
|
|
), |
|
|||||
|
Л ( / - 1 ) = Р (/ - 11 /-1 ) Ф' (/, /-1 |
) Р-1 (/ I /-1 |
|
||||||||||
а начальное |
условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
B(k+l)=A{k). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Начиная |
вычисления |
с j = k + l, |
из |
уравнения |
(6-63) |
||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(k |
I k + |
l) = |
x{k |
I k)+B(k+l)(x{k+\ |
|
|
I |
ft+1) |
— |
||||
|
|
|
|
|
-x{k+l |
I k)}. |
|
|
|
|
|
|
|
Соответствующее |
натальное |
условие, очевидно, имеет |
|||||||||||
вид x (fe I у — 1) = x (fe Ife)для у — k -J- 1. |
|
|
|
||||||||||
Структурная схема оптимального фильтра (6-63), |
|||||||||||||
сглаживающего |
в |
закрепленной |
точке, |
показана |
на |
||||||||
рис. |
6-7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
уравнений |
(6-60) — (6-62) |
легко |
получить |
дру |
|||||||
гую форму |
алгоритма: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x(k |
I j) = |
x{k I у - |
\)-T-B(j)K(j)~z(j |
|
I у - |
1) |
(6-65) |
|||||
17* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
259 |
Рис. 6-7. Структурная схема оптимального филь тра, сглаживающего в закрепленной точке.
|
j=k+1,k+2 ... |
|
x(k\j-r) |
|
|
БЗ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 6-8. Структурная схема варианта оптимального фильтра, |
||||||||||||||
сглаживающего |
в закрепленной |
точке. |
|
|
|
|
|
|||||||
для j = k + \, |
k + 2. . . ., |
имеющую |
то |
преимущество, |
что |
|||||||||
для всех / вектор K(j)z |
|
—1) |
вычисляется |
непосред |
||||||||||
ственно при работе оптимального |
фильтра. Структурная |
|||||||||||||
схема |
такого |
сглаживающего |
фильтра |
приведена |
на |
|||||||||
рис. 6-8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ошибка |
сглаживания |
и ее |
|
корреляционная |
|
|||||||||
матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Анализ |
ошибки |
оптимального |
сглаживания в за |
|||||||||||
крепленной точке проводится в основном |
так же, как и |
|||||||||||||
для сглаживания |
на закрепленном |
интервале в § 6-3. |
||||||||||||
Из |
определения |
ошибки |
оценки |
и |
из |
уравнения |
||||||||
(6-63) |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x{k |
I }) = |
x(k)-x(k |
|
! j) = |
x{k)~x{k |
|
I / — 1) — |
|
||||||
~ |
В (/) [x(j |
I /) -x{j\j~ |
|
1 ) ] = x(k I / — 1) — |
|
|||||||||
|
|
-B(i)[x(i |
|
I j)~x(j |
|
\ |
j-l)]. |
(6-66) |
||||||
Как и в § |
6-3, |
из |
соотношений |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x(j |
I І) — х{і)-х{] |
|
I /) ; |
|
|
|
|||||
|
x(i |
I |
j - l |
) |
= |
x(j)~x(j |
|
|
I / — 1) |
|
|
260
получаем: |
|
|
|
|
|
|
x(j |
I /) - x { |
j \ j - |
= |
I У — 1) — x(j I y). |
(6-67) |
|
Согласно уравнению |
|
(5-61) |
|
|
||
|
x (У I У) Ht-~K(j)H(j)}x(j\j-\)-K(j)v(j). |
|
(6-68) |
|||
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
||
x (у I У - 1 ) |
х (у) = /( (у) Я (у) Ж (у'| у—1) +K{j)v |
(у). (6-69) |
||||
Из |
уравнений (6-67) |
и (6-69) ясно, что |
уравнение |
|||
(6-66) можно представить в виде |
|
|
||||
|
x(k\j)=x(k[j-l)-B(j)K(j)H(j)X |
|
|
|||
|
|
Xx{j\j-l)~B(j)K(j)vU) |
|
(6-70) |
для / = & + ! , k + 2 ...
Уравнение (6-70) представляет собой модель линей
ной |
системы |
первого |
порядка с |
входными сигналами |
||
в |
виде |
гауссовской |
марковской |
последовательности |
||
{£(/1/—О» |
/ = £ + 1 , k + 2 .. .} и гауссовской белой |
после |
||||
довательности |
{У(у), / = & + 1 , k + 2 . . .} с нулевыми |
мате |
матическими ожиданиями. Так как начальное условие
x(k\k) |
—гауссовский случайный вектор с нулевым сред |
||
ним, |
то {x(k\j); |
j=k, k + \, .. .} — гауссовская |
марков |
ская |
последовательность второго порядка с |
нулевым |
средним. Этот результат можно также получить другим способом. Заметим, что
|
|
* ( у | у - 1 ) = Ф ( у , у - 1 ) х ( у - 1 | у - 1 ) + |
|
|
||||
|
|
|
+ Г(/, |
/ - 1 ) а / ( / - 1 ) . |
|
(6-71) |
||
|
Уменьшая в уравнении (6-68) на единицу значения |
|||||||
индексов |
времени и |
подставляя |
полученный |
результат |
||||
в уравнение |
(6-71), получаем: |
|
|
|
||||
|
|
|
= Ф ( / \ |
/ - ! ) [ / - # ( / - і ) Я ( / - і ) ] х |
||||
|
X x (у - 11 у - 2 ) ^ Ф (у, І-\)К |
(У-1 ) ѵ(і-1 |
) |
+ |
||||
|
|
|
+ Г(у, у - І ) ш ( у - І ) |
|
(6-72) |
|||
для |
j = k+l, |
k-\-2 ... |
Начальным |
условием для |
уравне |
|||
ния (6-72) является гауссовский случайный |
|
«-вектор |
||||||
x(k\k— 1) с нулевым |
средним. |
|
|
|
||||
|
Структурная схема системы |
(6-70), (6-72) |
|
показана |
||||
на |
рис. |
6-9. |
Выходным |
сигналом системы, |
очевидно, |
261