Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

а <

Re s

< ; b

(см.

п.

3.3,

равенство

(2)

и относящиеся

к нему рассуждения). Доказательство леммыа

завершеноs b .

Возвращаясь к доказательству достаточности условий

теоремы 3.6.1, предположим, что полоса

<1 Re

—

фиксированнаяа Ъ ,

но

произвольная

замкнутая

подполоса

0/. Пусть полином

Q

s

полосе

( ) ие обращается в нуль в

^

Re s

и удовлетворяет условию

F(s)

<

К

a < (R es< )fr,

12 >

К

QW

где

— постоянная. Положим

G (s)

=

F

(s)IQ (s).

Тогда

функция

g

t

обладает всеми

( ),Q определенная формулой (1),

свойствами, сформулированнымиЬ).

в лемме 3.6.1. Положим

далееX

/' (2)(а,

=Ь),

{ D ) g(i),

D

обозначает Xобобщенное' а Ъ)

диф­

X '

(а,где

ференцирование в

Функция

/ также

принадле­

жит

поскольку пространство

( ,

замкну­

то

относительно

дифференцированияs b.

. Из

равенства (1)

п.

3.4

следует,a

что

(£/) (s)

=

Q

(s)

G

(s)

=

F (s)

по

край­

ней мере для

<

Re

<

ЬѵПусть далее {av} и {Ьѵ} — две монотонные последова­

тельности действительных чисел,

такие,

что а ѵ ->■

сц + О

и

X—>a2'

— 0.

В

предыдущем абзацеf v =мыF доказали,

что

для любойbv.пары чисел яѵ и

существует такой элемент

/ѵ 6Е

s (av, &ѵ),

для

которого

XS

b^)

(s)

на

a v <

<

Re

< ;

[X

Согласно

теореме

единственности (теорема

3.5.2)

при

< ѵ

сужёние /ѵ наX (аѵі(a^,bv)

должно совпа­

дать с Дх. Следовательно2 f — F,

{s)существуетs

элемент / е й ' (<Уі, ст2),

сужение

которого

на

каждое

ее й/.

совпадает с /ѵ,

и для которого

при

Возможность та­

кого выбора /, чтобы область

определения

для S/

точно

была бы равна Q/, вытекает из рассмотрения примера

3.3.2.

Этим доказательство теоремы 3.6.1 завершается.

На

основании

только что

установленной

теоремы и

что при любом

выборе

и a2

(щ < п2)

преобразование

Лапласа

определяет взаимно

однозначное отображение

X '

(сті, ст2)

на

пространство

функций,

аналитических

в полосе

<

Re

s

< a2

и удовлетворяющих

условиям

полиномиального

роста,

сформулированным в

теореме

а-{-іоо

а < а < Ь ,

(6)

1(t) = Q ( D l) а —Jіоо

где Df

обозначает

обобщенное

дефференцирование (

X ' (а, Ъ), а интеграл

сходится в обычном смысле

к непре­

рывной

функции, порождающей

регулярный

элемент

рационного

исчисления,

порожденного преобразова­

нием Лапласа.

Рассмотрим

линейное

дифференциальное

уравнение

anD n

+

а0) u(t) = g (t

Lu

(if) А

+ ßn-xö"'1

+ . - .

(

), (7)

где

В (s)

=

ansn

+ апЩв71- 1 +

. . . +

а0,

U

(s)

=

2и,

s

s

G

s

=

2g,

e S j = {s:

er X <

Re

<

ag.}.

( )

Если

В

s

не имеет корнейG

в У 5,В

то ив силу теоремы

( )

3.6.1

существует обобщенная функция

t

преобразо­

( ),

вание

Лапласа которой равно

(s) /

(s)

в У г. Согласно

теореме 3.5.2 и формуле (1) п. 3.4 такая функцияX ' (og„единстog!).­

венна

в

X ’

csg,,

og„)

и удовлетворяет

уравнению (7)

в

(

смысле

дифференцирования и равенства в

т

Если же

В

(s) имеет корни в У г, то их может быть лишь

конечное число.

Поэтому существует

совокупность

в которых функция

G

(s) I В

<

Re s

<

am =

0g,

(s) аналитична и удовлетворя­

ет условиям роста, указанным в теореме 3.6.1. Следоваи

­

тельноX ' ,

для

любой

заданной

подполосьт,

например,

a v<C Re s <X;

'сгѵ+х, существует единственный элемент

(£)

из

(аѵ,ап+1),(s)lBудовлетворяющий уравнениюs < .

(7)

в про­

странстве

G (аѵ, аѵ+1), и преобразование Лапласа

кото­

рого равно

(s)

в a v <

Re

стѵ+і.

При

любом

другом выборе подполосы мы найдем решение,

в общем

цией,

гладкой

па

— с о < ( і < ( е о

и

удовлетворяющей в

Ьи =

ниеобычномЛапласасмыслекоторойуравнениюимеет вид —5 +

s0.)ln Cs с областью опреде­

З а д а ч а

3.6.1.

Найти обобщеішую

функцию, преобразова­

ления

Res >

0.

Здесь

С = еу , у — постоянная

Эйлера (0,5772...).

Использовать

при

этом формулу

ln Cs

., Re s >

0.

£1+ (0 lu£ = — — —

Кроме того,f

полученные результаты будут распростране­

ны*^,наЬ)пространства

X ' (w

, z),

где

w

< z .

(а

Свертка

* g

двух

обобщенных

функций / и

g

в

X ' а ь

< f * gопределяется,

равенством

е £

а,

ь.

ф>

= < f ( t ) , < g

(т), cp

[t

+

т ) » , ф

(1)

исследовать

выражение<g

(т),

Ф (t +

т)>.

(2)

Ф (0 =

Х

Так как пространство

а<ъ,

замкнуто относительно опе­

рации

сдвига (п. 3.4),

то правая

часть (2)

существует

при любом выборе

t

и определяет ф (£) как обычную функ­

цию в

Я 1.

3.7.1.

ь,

Пусть

g е Х'а,

Ф ^

Х а, ь и функ­

койЛ е м м а

t является глад­

ция

ф

определена формулой

(2).

Тогда

ф ( )

функцией и

ф (t +

т)>,

к = 1,

2,

3, . . .

(3)

2>ф (£) =

<g (х),

D f

At Д о к а з а т е л ь с т в о .

При

фиксированном

t

и

=4=

О

<g

(т),

D

,ф (£

+

т)> =

<g (г), ѲЛ( (т)>,

-1- [ф (і + А0 - Ф (01 -

где

Ѳдг (т) =

-ду [ф (£ -j- Д£ -f- т) — ф

-f- x)J —

tф

т).

(4)

(t

D

(t

ф(Р) (t +

т + A t ) = ф(л> (t + т) +

Агф(р+« (t +

X) +

At

p = 0 , 1 , 2 , . . .

.

+ \ ( A t - y ) < f V » * ) ( t

+ %+ y)dy,

о