Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 160
Скачиваний: 0
Поэтому
|
&l |
— у) |
|
(t + |
x + ij) dy. |
|
|||
Ѳд? (т) = |
\ (Af |
ср<Р+2) |
(5) |
||||||
|
О |
|
|
|
|
|
|
< 1 |
|
Кроме того, при любом фиксированном t, всех т и | Af | |
|||||||||
выражение |
|
|
|
{t |
т + |
у) |
I |
(6) |
|
X ь (т) sup |
|
I cp(P+2> + |
|
||||||
|
МСІЛ'І |
A t |
|
В . |
|
|
|
||
ограничено пскоторой постоянной |
Следовательно, |
||||||||
|
|
|
I Иа,ь ( t ) W (Г) I < |
( A t^- y ) d y = - | - | A « В|. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
Х а,ъ |
|
к |
|
|
|
56а,ъ |
|
|
|
|
|
|||
Это |
доказывает, |
что |
0Д, (т) сходится в |
|
к нулю |
при |
||||
A |
|
0. Тем самым формула (3) установлена при |
|
= 1. |
||||||
|
Так как |
|
|
замкнуто относительно дифференциро |
вания (п. 3.4), то мы можем, повторно применяя получен
ный результат, |
написать |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(0 = |
D ^ 1<g |
(т), |
D |
t<р |
(t |
+ |
т)> = |
|
|
|
|
|||||||
= |
D |
к-* |
(g |
(т), |
D l |
<p |
(t |
+ т)> = . . . = |
(g |
(т), |
D f |
ср (< + т)>. |
||||||
Доказательство |
|
закончено. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Л е м м а |
3.7.2. |
Пустъ в дополнение к предположениям |
||||||||||||||||
леммы |
7.3.1 |
выполняется условие а<^ Ъ . |
Тогда \\> Х а>ь- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
||
Д о кD*а з а(t)т е л ь с т в о . |
В силу предыдущей леммы |
|||||||||||||||||
нам нужно просто показать, что при |
любых |
|
функция |
|||||||||||||||
х а>ь (0 |
|
ф |
|
|
ограничена на — оо |
|
< о о . |
Из леммы |
3.7.1и свойства III п. 3.2 вытекает существованиепосто-
янной |
С |
и неотрицательногоI |
целого числа г, |
таких, |
что |
|||||||||
|
||||||||||||||
«а ,Ь ( 0 ^ 4 ( 0 |
I = |
«а,Ь ( 0 < ? W . |
( І + |
Т)> К |
|
|||||||||
|
< |
|
С max |
sup | ха,ь (t) x0)!l (т) |
|
cp {t + x) | = |
|
|||||||
= |
C |
|
0<p<r |
Txa,b(*>Xa,b(T> |
(t |
|
(t |
|
|
|||||
|
0max sup |
\,ba,b |
|
|
|
+ T) ф(Р+,° |
|
+ T) < |
|
|||||
|
|
|
< p < r |
C |
T |
|
(J + T) •«a,b |
|
|
|
||||
|
|
|
< |
|
j^sup |
|
(0y-g,b(T) |
IJ |
0 < p < r |
|
|
(7) |
||
|
|
|
|
Xa,b(f + |
T) |
1 |
maX Та,Ь,р+*(ф)- |
Следовательно, наша лемма будит доказана, если мы уста новим, что положительная функция
|
n, . |
( {) X a,b |
(T ) |
K (t, х ) ѣ - |
Q , 0 |
||
а , Ь (t + |
(8) |
||
|
T) |
ограничена в (t, т)-плоскости.
102
|
При |
t |
> |
О и |
% |
|
|
|
К |
(г, т) = |
1.К (t,При |
t |
> |
О и т |
Ö |
|||||||
|
|
|
> Ö имеемt |
|
||||||||||||||||||
рассмотрим |
два |
|
случая. |
Если |
t |
+ |
т |
О, |
то |
К (t, |
т) |
= |
||||||||||
= |
|
|
< |
1. Если |
|
+ |
т < |
0, |
то |
|
т) = |
|
|
|
< |
1. |
||||||
Таким |
образом, |
|
К |
|
т) ограничена единицей при |
|
t |
О |
||||||||||||||
и |
— оо < т |
|
|
|
К (t, |
|
|
|
|
рассуждения |
|
|
|
|
||||||||
< о о . |
Аналогичные |
показыва |
||||||||||||||||||||
ют, что функция |
|
(t, г) ограничена и в остальной части |
||||||||||||||||||||
(£, т)-плоскости. |
|
Лемма доказана. |
Е = £ а,ь, |
|
|
|
|
сходит |
||||||||||||||
ся |
Л е м м а |
3.7.3. Вели а ^ |
Ъ, |
g |
{фѵ}^=і |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
в Х а>ь к нулю и |
|
|
|
<£(тО. |
|
Фѵ(і + |
т)>, |
то |
|
{ ф Д ^ |
|||||||||||
также сходится в Х афѵ(*) = |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
>ь к нулю. |
|
|
как (8) |
— ограничен |
||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так |
|
ная функция, то наше утверждение следует непосредствен но из (7).
|
Теперь |
мы, |
наконец, в |
|
состоянии |
дать определение |
||||||||
свертки. |
Пусть |
/ |
и |
g — |
произвольные |
элементы |
£ а<ь, |
|||||||
где |
а < Ь . |
Сверткой |
f * g |
называется функционалg (t |
на |
|||||||||
Х а,ъ, |
определенный |
формулой (1). Правая часть (1) |
име |
|||||||||||
ет смысл, так как по лемме£ а,ь-3.7.2 функция < |
(т), ф |
+ |
|
т)> |
||||||||||
принадлежит |
£ а>ъ, |
если |
ф Е ^ 0іь. |
Очевидно, |
что этот |
|||||||||
функционал |
линеен в |
|
|
Непрерывность его является |
прямым следствием леммы 3.7.3. Таким образом, нами
доказана |
|
3.7.1. |
|
Если f u |
g |
— |
элементы |
|
Х а,ь> |
||||
а<^Т е о р е м а |
g, |
|
|
выражением |
|
(1), |
|||||||
Ь, то свертка |
определенная |
|
|||||||||||
|
|
£ а,ь- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
также принадлежит/ * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Свертка |
является |
операцией, |
отображающей любую |
||||||||||
упорядоченную |
Хпару |
элементов /, |
g |
е |
Х>'а,ъ {а |
^ |
Ь) |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
в элемент / * |
g |
а,ъ- |
Эта операция |
билинейна |
в следую |
||||||||
|
|
|
|
|
|
щем смысле: если /, g, /і ЕЕ Х а,ь, а и ß — любые комплекс ные числа, то
/ * iag + ßk) = а (/ * g) + ß (/ * h)
и
(ag + ß/г.) * / = а (g * /) + ß (h * /).
При определенных ограничениях введенная выше сверт ка обобщенных функций соответствует обычному понятию свертки обычных функций. Допустим снова, что а Ь, и пусть /, g — такие локально интегрируемые функции, что выражения fj%a,b и glKa,b абсолютно интегрируемы на — оо < ; f < 6 о . Из свойства V п. 3.2 следует, что / и
g |
порождают регулярные |
g |
элементы |
SSaib, |
которые |
мы |
|
также обозначим через |
f u |
соответственно. Тогда |
для |
||||
|
|
103
Любой функции ф GE £а,Ь
<f*g, Ф> = </ (О» <g (Т)> Ф (< + Т) » =
С » |
с о |
(9) |
= ^ dt |
^ f(t)g(x)<p(t + x)dx. |
Подынтегральная функция в правой части локально ин тегрируема по (t, т). Она также абсолютно интегрируема в (t, т)-плоскости. Действительно,
/ (0 ё (т) |
\,ъ Ѵ )\,ъ (т) |
Ка,ь(г + 'Г) Ф (* + 1Г)1- |
|
\,Ъ |
|
*a,bW*a,b М |
(г + т) |
|
|
|
Первый сомножитель в правой части интегрируем в (t, т)- плоскости, в то время как второй и третий непрерывны и ограничены (см. доказательство леммы 3.7.2). Следова тельно, по теореме Фубини мы можем заменить в (9) повтор ный интеграл двойным интегралом в (t, т)-плоскости. Совершая замену переменных х = t, у = t х и заме чая, что якобиан равен 1, получаем для (9) выражение
ОО |
00 f(x)g(y — x)y(y)dxdy. |
5 |
J |
Снова применяя теорему Фубини, мы можем привести
это выражение |
0к0 |
виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
^ |
ФЫ ^ |
f(x)g{y — x)dxdy. |
|
(10) |
||
— ОО |
|
— ОО |
|
|
|
|
|
Интеграл |
|
|
ОО |
|
|
|
|
представляет собой |
5 f(x)g(y — x)dx |
функций / и |
(И) |
||||
обычную свертку |
g. |
||||||
|
|
|
|
|
у, |
поскольку сно- |
|
Эта свертка локально интегрируема посо |
ва в силу теоремы Фубини функция ф (г/) jj / (х) g (у — х) dx
—00
локально интегрируема, и мы можем так выбрать ф (у), что ф {у) = 1 на любом заданном конечном интервале.
104
Более того, поскольку ф (г/) — прозвольный элементѣа>ь»
оо
то хмы можем заключить, что функция |
|
|
(у) |
|
^ |
/ |
іх) g{V — |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— ОО |
|
|
|
|
|
|
|
||
— |
|
|
абсолютно |
|
интегрируема |
|
на — оо |
а<,ьі-/ <С о о . |
||||||||||||||||||||||||||||||
Снова воспользовавшись |
свойством V п. 3.2,Х |
получаем, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
что (11) определяет регулярный элемент |
|
g |
|
|
Таким |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
образом, |
|
обычная свертка (И) |
|
функций / |
и |
|
|
порождает |
||||||||||||||||||||||||||||||
регулярный |
|
элемент |
|
Х а,ь, |
|
Х который |
в |
|
силу |
(10) равен |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
/ * g в смысле равенства в |
|
|
а,ь- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на про |
||||||||||||||||||||||
|
|
Понятие сверткиX ' (w |
легко можно распространитьf * g |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
странство |
X ' |
|
(w, z |
где |
IV |
|
< ; z. В частности, |
если / |
|
и |
g |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
X ' |
w), |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
принадлежат |
|
|
( |
, |
z), то |
|
их |
свертка |
|
|
|
|
определяется |
|||||||||||||||||||||||||
как |
элемент |
|
|
g, z), сужёние |
|
которого |
на любое |
|
про |
|||||||||||||||||||||||||||||
странство |
Х а, ь |
при |
w |
< |
а |
^ |
|
Ъ |
<[ z совпадает со сверт |
|||||||||||||||||||||||||||||
кой |
сужений |
/ |
и |
|
на |
Х а, ъ. |
Другими словами, мы снова |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(1), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
используем |
определение |
где |
|
ф теперь произвольный |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
элемент |
|
X |
(w, |
z). |
Отсюда |
следует, что |
|
свертка |
является |
|||||||||||||||||||||||||||||
X'(w,билинейнойz). |
|
операцией, |
отображающей |
|
любую |
упорядо |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ченную пару |
элементов |
|
X ' |
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элемент |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( , z) в некоторый |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
X ' (w, z) |
|
Кроме |
|
того, |
|
свертка |
|
регулярных |
элементов |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
согласуется с обычным понятием свертки |
|
|
(11) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
соответствующих |
обычных |
|
|
функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Заканчивая этот раздел, мы |
кприведем несколько срав |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
нительно |
|
легко |
устанавливаемых |
|
формул. |
Как |
обычно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
б обозначает дельта-функцию, |
|
|
— положительное целое |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
число и т |
— фиксированное действительное число. Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в смысле свертки |
в |
Х а,ь |
или |
в |
X'(w, |
z), |
где |
а |
|
Ъ |
|
или |
||||||||||||||||||||||||||
w < z , |
|
|
|
|
|
|
|
|
D кб * / = |
|
/, D kf, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 {t —(. |
х) *б) * / = |
f |
{t — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
(t) = |
|
т)z,. |
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
||||||||||
|
Sß'З а д а ч а |
3.7.1. |
Показать, что |
если |
w |
|
{fv}™=1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
< |
|
|
|
S5'(w, |
сходится |
|||||||||||||||||||||||||||||||
в |
|
|
(w, |
z) |
|
к / и |
g e S S ' |
(w, |
z), то {/v* |
g}™= l |
сходится в |
z) |
к |
f*g. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и (14). |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
З а д а ч а |
3.7.2. |
Доказать формулы (12), |
(13) |
|
|
|
|
|
3.8. Преобразование Лапласа свертки
В этом разделе мы выведем формулу преобразования сверт ки (см. ниже формулу (1)), которая показывает, что при преобразовании Лапласа свертка переходит в умножение.
105
Этот |
результат |
будет |
|
затем |
|
применен |
к |
|
исследованию |
||||||||||||||||
Qнекоторыхg = G (s)другихпри sсвойствQg. |
сверткиЕсли множество. |
Qf |
s €Е Qf и |
||||||||||||||||||||||
пустоТ е, отор еf м* аg |
|
|
|
Пустъ |
|
|
F |
(s) |
|
при |
|
||||||||||||||
существует3.8.1. |
|
в смыслеS / = |
свертки в X ' |
(w, z |
|
||||||||||||||||||||
где интервал w |
|
ЕЕ |
|
z образован пересечением |
|
множест |
|||||||||||||||||||
|
|
|
П |
Й# we |
|||||||||||||||||||||
ва |
|
|
|
с |
|
< er ■ < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|||
|
|
|
|
|
|
действительной осью. П ри этом |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
й/ П £2/ Q ( f* g ) = F ( s ) G ( s ) , s ^ Q , |
П Q*. |
|
|
|
(1) |
||||||||||||||||||
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Из |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
g |
определения |
|
преобра |
||||||||||||||||||||
зуемых |
по |
Лапласу обобщенных |
функций |
|
и |
из п. |
3.2 |
||||||||||||||||||
следует, |
что |
сужения |
|
/ |
и |
|
|
на |
X |
(w, z) |
|
принадлежат |
|||||||||||||
X ' |
|
(w, |
z)s. |
Поэтому |
f |
* g |
существует |
|
в смысле |
сверт- |
|||||||||||||||
w |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ки |
в |
X'(w, |
z). |
|
Кроме |
|
того, |
|
для |
любого |
s, |
такого, |
что |
||||||||||||
|
< |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
< |
Re |
z, мы можем в силу формулы (1) и. 3.7, написать |
||||||||||||||||||||||
|
|
8 ( f * g ) |
= |
</ ( t ) ,< g (r ),e - ° < W » |
= |
— F |
|
(s) G (s), |
|
|
|||||||||||||||
что и |
|
|
|
= |
</ (0, e_sl> |
<g |
СО, e-ST> |
|
(2) |
||||||||||||||||
требовалось доказать. |
|
свертки |
показывает, |
что |
|||||||||||||||||||||
|
|
Формула |
преобразования |
|
свертка преобразуемых по Лапласу обобщенных функций
коммутативна и ассоциативна. |
Более |
точно, |
справедлива |
||||||||||||||||
пустоТ е, отор е м аg = |
3.8.2.g |
Пустъ Qf |
= |
F |
(s) |
при |
|
и |
|||||||||||
(коммутативность) |
в смыслеs й/ра |
||||||||||||||||||
Qg |
= |
G s) |
при |
|
s |
£E й г. |
Если |
множество |
Й/ f] й г |
не |
|||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
венства в X ' (w, |
|
|
где |
интервал |
хѵ |
а |
|
z |
образован |
||||||||||
пересечением/ *множества* / |
й/ |
|
р| |
й г с |
действительной осью. |
||||||||||||||
Если, |
|
|
|
не |
|
|
s |
E< |
|
< и пересечение |
|||||||||
кроме тогог,), |
Qh — Н (s) при |
* |
|||||||||||||||||
й/ П |
й 5 П йл |
|
|
пусто, |
|
то |
f |
* |
(g |
h) |
= |
(f * g) * h |
|||||||
ассоциативность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
X ' |
(w', z'), где |
|||||||
|
в смысле равенства й,п |
|
|
|
|||||||||||||||
интервал w' |
< ; а < |
z' образован пересечением множества |
|||||||||||||||||
(i |
|
|
|
|
|
|
|
|
осью. |
|
|
|
|
|
|||||
|
П |
^ с |
действительной) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
й/ П |
|
|
|
|
|
|
Цепочка равенств |
(2) пока |
|||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
|||||||||||||||||
зывает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(f * g) = F (s) G (s) = G (s) F(s) = Q (g * f)
при s €E й/ П Qg. Отсюда в свою очередь в силу теоремы единственности (теорема 3.5.2) вытекает наше первое утверждение. Второе утверждение доказывается анало гично.
К свертке двух преобразуемых по Лапласу обобщен ных функций / и g можно применить операции дифферен цирования или сдвига, действуя ими либо на / либо на g
106