Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 163

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

йод злаком свертки. Точпее говоря,

пусть / и

g

удовлетвО-

ряют условиям теоремы 3.8.1,

т — фиксированное дейст­

вительное

число

и

S-z

обозначает

оператор

сдвига:

S t: f{t)

=

f {t —

т).

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

f * D g

 

 

 

и

 

 

(/ *

g)

=

{Df) * g =

 

 

(3)

 

Sx {f * g) =

 

{Sz f) * g =

f *

{Sxg),

 

 

(4)

где равенства снова понимаются в

смысле

пространства

X ' w, z)

(см. теорему

 

3.8.1).

Действительно,

 

для того

(

 

 

 

чтобы доказать (3), применим формулу (1) п. 3.4 и форму­ лу преобразования свертки и напишем

QD {f * g) = s [F {s) G

(*)] = [sF

(s)]G (s) =

=

ß (/ *

 

= ß

 

F (s)lsG (s)}

Dg),

 

[{Df) * g] —

 

 

а затем воспользуемся теоремой единственности. Формулу

(4) можно получить аналогичным образом, используя соотношение (9) п. 3.4.

П р и м е р 3.8.1. Действие многих физических систем состоит и том, что оші устанавливают соответствие между входной пере­ менной / н выходной переменной ѵ, которое осуществляется посред­ ством оператора свертки w*. Это означает, что существует фикси­

рованная обобщенная функция ш, называемая реакцией на еди­ ничный импульс и обладающая следующим свойством: при любой допустимой входной переменной выходная переменная задается сверткой и = w * / (см. например, Земаияп [1], главы 5, 6 и 10).

При определенных условиях мы можем использовать преобразо­ вание Лапласа и формулу преобразования свертки для нахождения возможной входной переменной при известных w и выходной пере­

менной V.

Для того чтобы проиллюстрировать сказанное, предположим, что

w — регулярная обобщенная

функция:

 

w (г) =

1+(i) sin

t.

Тогда простые выкладки показывают, что w преобразуема по Ла­

пласу, Йш = {s: Re s > 0} и

1

ß® = l ä + i •

Предполагая, что / также преобразуема по Лапласу, причем мно­ жество р| Qf не пусто, мы можем применить к ѵ = w * / фор­ мулу преобразования свертки; тогда

(ß®) W = iq r T №/)(*)■

Следовательно, по крайней мере для s ЕЕ &ѵ> П

(2/) («) = (*2 +1) (S*) (*),

107

И, в силу формулы (1) п. 3.4 и теоремы единственности

 

 

d 2v

 

V.

Если V — регулярная

обобщенная функция, вторая производная

/ =

 

+

 

которой нерегулярна, то полученное решение имеет смысл в тер­

минах обобщенных функций, а но обычных, несмотря на то,

что

заданные функции w и и можно

рассматривать как обычиыѳ.

З а д а ч а

3.8.1. Пусть f u g

— элементы 3 ' (ш, г) при неко­

торых и; и г,

ш < г.

Показать, что если f * g = 0 в 3

('w, z),

то /

либо g (или оба элемента вместе)

равны пулю в 3 ' (ш,

z).

 

З а д а ч а

3.8.2.

Показать,

что пространство 3 ’ (ш, z),

где

ti> < z, является коммутативной

алгеброй относительно операции

свертки (см. Земаиян [1], стр. 149—150, где дано определение этой

алгебры).

Содержит

ли она единичный элементѣ (Отметим, что

согласно

предыдущей задаче она не имеет делителей нуля.)

З а д а ч а 3.8.3.

Пусть выражение

 

 

СО

«-'"«('- ѵ)

 

 

/(<)= V—2— СО

определено, как в задаче 3.3.3. Показать, что

ОО

(/*/)(')= 2 вѵй(<-ѵ),

V - — со

где

ОО

Пу= 2 e-Me-l-W.

| А = — оо

Найти также преобразование Лапласа / * /.

3.9.Задача Коши для волнового уравнения

водномерном пространстве

В качестве примера использования введенного выше преоб­ разования Лапласа применим его к решению задачи Коши для волнового уравнения в одномерном пространст­ ве, причем начальные условия будем считать обобщенны­ ми функциями. Пусть X и t — одномерные действительные переменные,— оо х <у оо, 0 < і < о о . Рассмотрим дифференциальное уравнение с частными производными

с2 D l и = D\ и.

(1)

Это — однородное волновое уравнение. Переменные х и t интерпретируются обычно как пространственная и вре­ менная переменные соответственно; с — действительное положительное число, представляющее собой скорость распространения волны.

108

Мы будем искать решение уравнения (1) в виде и — = U( (х), где u t (х) — обобщенная функция на — оо < ; < х - < зависящая от параметра t (индекс t в u t не означает дифференцирования по t). В уравнении (1)

D\ представляет собой оператор обобщенного дифферен"

цирования (п. 2.5), в то время как D\ соответствует диф­ ференцированию по параметру (п. 2.6). Кроме того, мы потребуем выполнения (1) только в смысле равенства в 25'.

Наконец,

наложим

следующие

начальные условия: при

«—>-[- 0 обобщенная функция

ut (х)

сходится

в 25' к / (х),

а

Dili, (х)

сходится

в

25' к g

(х),

где / и

g — заданные

элементы 25'.

 

f u g

— преобразуемые по Лапласу

 

Предполагая, что

 

обобщенные функции с пересекающимися полосами опре­ деления, мы формально получим решение , применив пре­ образование Лапласа. Затем будет показано, что это ре­ шение действительно удовлетворяет дифференциальному

t

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнению (1) и начальным условиям. При примене­

нии

преобразования

Лапласа

 

£

 

мы

рассматриваем

какU

параметрt s

и

 

 

какU t независимую(s)

 

переменнуюt

. В соот­

ветствии с этим мы используем

 

обозначение

£

[uj (х)] —

=

 

( ).

Функция

 

 

 

— обычная по

и s,

 

где 0 <

< £ <

оо,

и s

изменяется

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

определе­

в некоторой Dполосе

ния, которую мы считаем не пустой.

 

коммутируют,

 

Предполагая,

 

 

что

операции

 

£

 

и

 

можно

 

 

 

 

 

 

c*s*U,

(s)

 

D l

Ut (s ) .

 

 

 

 

 

преобразовать

(1)

к

=

виду

 

 

 

 

 

 

 

 

СледовательноUt,

 

(s)

=

 

 

 

 

+

 

 

(s) ecsf.

 

 

(2)

 

А

(s) e~csl

В

 

 

 

G

s)

 

 

 

ЕЕ

 

 

g.

 

(

t

 

при

5 ЕЕ Й/

и

£

 

[g (х)] =

Положим

 

£ [/ (x)]

=

 

 

 

=

 

(

при

s

 

 

 

Q

 

Предполагая

 

далее, что

 

операция

перехода

к

пределу

при

 

 

+

 

0 и £ перестановочны,

получаем при

(s) =

 

 

 

соотношения

+

 

 

 

 

и

 

 

 

 

F

Ut (s)

li^+o =

A

 

(s)

В (s)

 

 

G (s) = D tUt (s) |(_ц-о = —cs А (s) + csB (s).

Эти уравнения можно решить относительно А (s) и В (s) и, подставив результат в (2), получить

U t ( S ) = 4 - [ F (s) - 4 г - ]

+ - y [ F (s) + 4 r ] * “ '•

®

109

Функции

 

F

(s)e_cs'

и

F

(s)ecsl

в

силу іеоремы

3.6.1

представляют

собой

 

преобразование Лапласа

в

полосе

Й/.

Однако

 

паличие множителя s-1

в других слагаемых

выражения

 

(3)

налагает

некоторые

ограничения

на об­

ласть

определения

й и

преобразования

£

 

 

 

х

 

Обоз­

іі

, ( ).

 

начим через

R +

и

R _

полуплоскости

Re s >

 

 

0 п Re s <(

<

0

соответственно.

SЕслиE È R + .й/ f~)

Q e

и

R +

пересекаются,

 

 

то

возьмем

 

Qu =

й/П ^гП -й+-

Заметим

 

 

также,

что

£ ё[1+ (а:)]

=

 

s_1

при

 

 

 

Тогда

обратное

 

преобразо­

вание

Лапласа

 

определяется

уравнением

 

 

£ [1+ (х)

*

*

(я)!

=

s_1G (s)

при

s G

П ^ R+•_ , С другой

стороны,

если

й/

(~|

 

Q g

я

R

+

не

 

пересекаются,

то

 

множество

й/ П О? должно целиком лежать в

 

поскольку все рас­

сматриваемые множества открыты. В этом случае мы возь­

мем

 

R

й и =

й/ П

й

е.

Так

как £ [—1+ (—л:)] =

s_1

при

s е

 

_,

то

 

обратное

 

преобразование

Лапласа

функции

s~xG

(s)

определяется

 

теперь

уравнением £ [—1+

(—х)

*

*

ё

(я)1 =

 

 

(s)

при

 

s G: Йг П 7?_.

 

 

 

 

 

 

Положим

Іг (х) =

 

X)

*

g (х)

в

первом

случае и

/г

 

х)

 

 

1+ (

 

(г) = — 1+ (—

*

g (х)

— во втором. Используя

формулу

 

 

 

 

(9) п. 3.4, мы находим обратное преобразование Лапласа

выражения (3):

(X

 

ct)-\-j

ct)

 

с~гк{х

 

ct)}.

ut (х)

=

[/

(х — ct) —

с_1/і

—

 

(x-f

+

 

-j-

 

 

 

 

 

(4)

Для каждого фиксированного зпачеипя t решение ut (x) явля­

ется вполне определенной обобщенной— оо

функцией на — оо <(

<^:г<^оо,

t.так что она действительно имеет смысл как

обобщенная

функция

на

 

 

 

 

 

 

зависящая

от

параметра

 

 

 

 

обобщенной

 

функции

q

называется

 

 

Первообразной

 

 

 

q.

 

обобщенная

 

 

 

такая

 

функция, производная

 

которой рав­

на

 

 

DВ нашем

случае

h

является

первообразной

 

функ­

ции

g.

Действительно,

как уже было

показано,

D

1+

(х)

=

=

 

—

 

1+ (—

х)

=

б

(х).

Тогда, если

h = \+ * g,

то из

ра­

венств (12) пh.

3.7 и

(3)

п. 3.8

следует, что

 

D h =

(І>1+ *

 

 

 

х)

*

g)

=

б *

g

=

g

и,

 

аналогичноg,

,

h (х) =

—1+ (—

*

g (х).

 

 

Функция

 

в (4) может быть заменена любой другой

первообразной

функции

 

причем

решение

от этого

не

изменится. Действительно, любые две первообразные

мо­

гут отличаться только на постоянную

(Земапян

[1],

п. 2.6),

а эта постоянная выпадает, еслп

h

заменить в

формуле

(4) другой первообразной.

 

 

 

110

Смотрите также файлы